考研輔導(dǎo)線性代數(shù)行列式

1、第一章 行列式 基礎(chǔ)知識概要1.階行列式的定義二階行列式.三階行列式. 對角線法則：階行列式的定義,它是取自不同行不同列的個數(shù)的乘積的代數(shù)和（共項），其中各項的符號為，代表排列的逆序數(shù)，簡記為.階行列式也可定義為，其中為行標(biāo)排列的逆序數(shù).例1.1 計算行列式（1）；（2）.練習(xí)：計算下列行列式（1）；（2）（上三角形行列式）；（3）（下三角形行列式）.2. 行列式的性質(zhì)與計算2.1行列式的性質(zhì)（1）行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等；（2）互換行列式的某兩行(列)得到新行列式則新行列式應(yīng)反號； 特別地：若行列式中有兩行(列)對應(yīng)元素相等，則行列式等于零；（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因數(shù)可以提

2、到行列式的外面； 即以數(shù)乘以行列式等于用數(shù)乘以行列式的某一行或某一列； 特別地：若行列式中有一行(列)的元素全為零，則行列式等于零；（4）行列式中如果有某兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零； 特別地：比例系數(shù)為1（5）若行列式的某一列（行）的元素是兩數(shù)之和，例如，第列的元素都是兩數(shù)之和：，則等于如下兩個行列式之和：.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的倍加到另一行(列)的對應(yīng)元素上，行列式的值不變. 注：（1）交換行列式的第兩行（或列），記作（或）；（2）第行（列）提出公因子，記作（或）；（3）以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作（或）.范德蒙（Vandermonde）行列式注 右

3、邊是“大指標(biāo)減小指標(biāo)”.例1.2 計算行列式.（答：）練習(xí)：計算行列式（1）；（答：40）（2）；（答：48）(3) ；（答：160）（4）；（答：）（5）；（答：）（6）；（答：）（7）；（8）.2.2行列式依行（列）展開余子式： ，代數(shù)余子式：定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即，或.注：此定理的主要作用是降階.推論 行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即，或.例1.3 用降階的方法解例1.2.練習(xí)：用降階的方法求解上面練習(xí)第（1）題.例1.4 設(shè)，求（1）；（2）.解 （1）.（2）因為的大小與元素?zé)o關(guān)，因此

4、，.練習(xí)：（1）設(shè)，則（a）？（b）（c） （答：0，0，0）（2）設(shè)分別為行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式，試求（a）；（b）；（c）.2.3拉普拉斯（Laplace）展開定理定義 在一個階行列式中，任意選定行（比如第行）和列比如列）（）.位于這些行和列的交點上的個元素按照原來的位置組成一個階行列式，稱為行列式的一個階子式，記作，劃去行和列后余下的元素按照原來的位置組成的階行列式，稱為階子式的余子式，記作.在余子式前面加上符號后被稱之為的代數(shù)余子式.記作 ，這里.定理1.2 在階行列式中，任意選定列，則.類似地，任意選定行，則.證 （略）注 這是定理1.2的推廣，它仍然是一種降階的思想.例1.4 在行列式中取定1，2行，得到6個子式， ， ， ， .對應(yīng)的代數(shù)余子式分別是， ，.由Laplace展開定理可知.例1.5 證明.證 由Laplace定理展開，選定第行，得 .注 例1.5的結(jié)論可以簡記為.練習(xí)：1.計算（1）； （2）.2. 設(shè)A為n階方陣，B為m階方陣，則為（ ） （A）, （B）, （C）, （D）. 行列式的計算舉例例1.6 計算階行列式解法1 .解法2如果，則如果，則.綜合、有：.例1.7 計算行列式.解 按第一列展開， 又，. 例1.8 計算. 解法1 依第一行展開 ,