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1、紹興文理學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(數(shù)學(xué)專業(yè))考試時(shí)間:2006年5月13日下午2.005.00一、填空題(每一小題4分,滿分20分)1.2廣義積分 .3曲線的水平漸近線方程為 .4設(shè)函數(shù)在處連續(xù),則 .5設(shè)函數(shù)由方程確定,則= .二、選擇題(每一小題4分,滿分20分)1某些理發(fā)師留胡子,因此,某些留胡子的人是喜歡穿白衣。應(yīng)該補(bǔ)充下列哪一前提,能使上述論證成立。( )(A)某些理發(fā)師喜歡穿白衣 (B)某些喜歡穿白衣的理發(fā)師不留胡子(C) 所有理發(fā)師都喜歡穿白衣 (D) 所有喜歡穿白衣的人都是理發(fā)師 【 】2設(shè)函數(shù)可微,則等于 (A). (B) (C) (D) 【 】3設(shè)是奇函數(shù),除外處處連續(xù)
2、,是其第一類間斷點(diǎn),則是(A)連續(xù)的奇函數(shù).(B)連續(xù)的偶函數(shù)(C)在間斷的奇函數(shù)(D)在間斷的偶函數(shù). 【 】4設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若,則(A) (B)(C) (D) 【 】5設(shè)函數(shù)為已知可導(dǎo)奇函數(shù),為的反函數(shù),則( )。(A); (B); (C) ; (D)。 【 】三 解答題(共8小題,滿分60分)1(6分)已知,其中由方程組確定,求。2(6分) 證明:當(dāng)時(shí)有。3(8分)試確定常數(shù)A,B,C的值使得,其中是當(dāng)。4(8分)設(shè)數(shù)列滿足。()證明存在,并求值; ()計(jì)算。5(6分)。6(8分)已知曲線的方程為,()過點(diǎn)(-1,0)引的切線
3、,求切點(diǎn),并寫出切線的方程;()求此切線與(對(duì)應(yīng)于的部分)及軸所圍成的平面圖形的面積。7(8分)設(shè)連續(xù),且,是曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。()求,并證明當(dāng)時(shí),等價(jià);()求。8(6分)設(shè)在上可微,證明存在一點(diǎn),使得。紹興文理學(xué)院第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(數(shù)學(xué)專業(yè))參考解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題(每一小題4分,滿分20分)12 ; 2 ; 3; 4; 5二選擇題(每一小題4分,滿分20分)1(C); 2.(C); 3.(B); 4.(A); 5.(A)。三解答題(共8小題,滿分60分)1(6分)解:。2(6分)證:令,只需證明單調(diào)增加(嚴(yán)格),因?yàn)椋?單調(diào)減少(嚴(yán)格),又,故 單調(diào)增加(嚴(yán)格),。得證。3(8分)解:泰勒公式代入已知等式得,整理得,比較兩邊同次冪函數(shù)得B+1=A;C+B+=0;式-得;代入得,代入得。4(8分)解:()由得,因此當(dāng)有,即單調(diào)下降,又得有下界,這樣存在,記=A,有()為的,5(6分)解:原式= 6(8分)解:(I),得切線方程為,設(shè),則,得,點(diǎn)為(2,3),切線方程為。(II)設(shè)L的方程,則,由,由于(2,3)在L上,由,所以。7(8分)解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在點(diǎn)的切線為 。求此切線在x軸上的截距:令,得,于是得到,, 所以 ,當(dāng)時(shí)。由Tayl
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