中考數(shù)學壓軸題專項匯編專題平行四邊形的存在性

1、專題23平行四邊形的存在性破解策略以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜臺性較強，對學生分析問題和解決問題的能力要求高，這類題，一般有兩個類型：(1) “三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問題：以A, B, C三點為頂點的平行四邊形構造方法有：_x0001_ 作平行線：如圖，連結 AR BC AC分別過點 A B, C作其對邊的平行線, 三條直線的交點為 D, E, F.則四邊形 ABCD ACBE ABFC勻為平行四邊形.倍長中線：如圖，延長邊 AC AB BC上的中線，使延長部分與中線相等，得點D,E, F,連結DE EF, FD.則四邊

2、形 ABCDACBE ABFC勻為平行四邊形.(2) “兩個定點、兩個動點”的平行四邊形存 .在性問題：先確定其中一個動點的位置，轉化為“三個定點、一個動點”的平行四邊形存在性問 題，再構造平行四邊形.解平行四邊形存在性問題，無論是以上哪種類型，若沒有指定四邊形頂點順序，都需 要分類討論.通常這類問題的解題策略有：(1)幾何法：先分類，再畫出平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質來解答.如圖，若AB/ CD且AB= CD分別過點B, C作一組平行線 BE CF,分別過點 A D作一組平 行線AE DF則 AEBA DFC從而得到線段間的關系式解決問題.A(2)代數(shù)法：先羅列四個頂點的坐標，再分類

3、討論 列方程，然后解方程并檢驗.如圖.已知平行四邊形ABO.連結AC BD交于點O.設頂點坐標為 A(xa,yQ.B (xb,yB),C (xc, yc), D (xd, yD) .利用中點坐標公式求未知點的坐標:Xa+ Xc _ Xb+ Xd 22yA + ycyB + Vd有時候幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又快又好.例題講解例1如圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y = x2 + m奸n經(jīng)過點A(3, 0), B (0, -3),P是直線AB上的一個動點，過點 P作x軸的垂線交拋物線于點 M(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的表達式；(2)是否存在這樣的點 P,使得以點P, M

4、 B, O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在， 請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)將點A, B的坐標代入拋物線的表達式，得 y = x2 2x+3.設直線AB的表達式 為丫=卜* +將點A, B的坐標代入，得 y = x3.(2)存在.因為PM/ OB所以當P陣OB寸，四邊形即為平行四邊形.根據(jù)題意設點P的坐標為(p, p 3),則點M的坐標為(p, p2-2p-3).所以(p- 3)- (p2- 2p- 3) = 3.解得p= 3±V21 ,故滿足條件的點 P的橫坐標為p= 3±"21 . 22例2 邊長為2的正方形OABCE平面直角坐標系中白

5、位置如圖所示，D是OA邊的中點，連結CD點E在第一象限，且 DEL DC DE= DC以直線 AB為對稱軸的拋物線過 C, E兩點. (1)求拋物線的表達式；(2) M為直線上一動點，N為拋物線上一動點，問：是否存在點M N,使得以點 M N, D,E為頂點的四邊形是平形四邊形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明 理由.10 / 8解 (1)如圖1,過點E作EGLx軸于點G易證4OD冬GED(AAS,所以 GE = OD = 1OA= 1 . 2所以點E的坐標為(3, 1).而直線AB為拋物線的對稱軸，直線 AB的表達式為x = 2,所以可設拋物線的表達式為 y=a (x2)

6、2+k,將C, E兩點的坐標代入表達式，得2 , -k -K +a + 4 a1-3 2-3所以拋物線的表達式為 y 1x22 - 1x2 4x233 33(2)存在.1 2 4由題息可設點 M的坐標為(2, m|), N的坐標為 n, n - n 233以點M N, D, E為頂點的四邊形是平行四邊形有以下可能：當DE為平行四邊形的邊時,(i )如圖 2,若 DE MN MD/ NE由平移的性質可得2 1n 3m 0 1 n2 4 n 2 133解得m 1.n 4.此時點M的坐標為(2, 1), N的坐標為(4, 2).(ii )如圖 3,若 DE/ MN ME/ ND.n 1 2 3.由平

7、移的性質可得 1 2 4 n n 2 0 m 1.33解得m 3.n 0.此時點M的坐標為（2, 3）, N的坐標為（0, 2）.當DE為平行四邊形的對角線時，如圖 4.由平行四邊形對角線互相平分性質可得1 3 2 n.1 2 40 1 m n n 2.33解得m132.此時點M的坐標為1 一一 22,1 , N的坐標為 2,-.33例3如圖，拋物線2x bx c的頂點為D(1, 4),與y軸父于點C (0, 3),與x軸交于A, B兩點（點（1）求拋物線的表達式；A在點B的左側）.（2）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點 邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點 I:F,使以

8、A, C, E, F為頂點的四F的坐標；若不存在，請說明理由.解 （1）將點C, D的坐標代入拋物線的表達式,得 y x2 2x 3.（2）存在.令 x2 2x 3 0,解得 x1 1,x23.所以點A的坐標為（一3, 0）, B的坐標為（1,由點F在拋物線上可設點 F的坐標為 m,m2 2m 3 .方法一：如圖1、圖2,當AC為平行四邊形的邊是,圖1過點F作FP垂直于拋物線的對稱軸，垂足為P.易證 PE陣 O（A.所以P曰A0= 3,從而點F的坐標為（2, 5）或（一4, 5）.如圖3,當AC為平行四r邊形的對角線時，過點F作FP± y軸于點P.令拋物線的對稱軸交 x軸于點Q,易可

9、 PC自 Q以所以PF= AQ= 2,從而點F的坐標為（2, 3）,此,時點F與點C縱坐標相同，所以 點E在x軸上.方法二：如圖圖33,當AC EF為平行四邊形的對角線時,xE m 3 0, 可得2yE m 2m 303 .又因為點E在拋物線的對稱軸上，所以m 2,則點F的坐標為（2, -3）.如圖1,當AE CF為平行四邊形的對角線時,可得XeVem+3, m2 2m 5.又因為點E在拋物線的對稱軸上，所以m= - 4,則點F的坐標為（2, -3）.如圖2,當AF, CE為平行四邊形的對角線時，x 3 m,可得 E 2 yE m 2m.又因為點E在拋物線的對稱軸上，所以 m 2.則點F的坐標

10、為（2, 5）.綜上可得，滿足平行四邊形的點 F的坐標為（2, 3） （4, 5） （2, 5） 進階訓練1 .如圖，四邊形 ABC虛直角才!形，AD/ BC ZrB= 90° , AD= 24cm, BO 28cm,點P從點A出發(fā)，沿AD以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，沿 CB以3cm/s的速度向 點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.問：從運動開始，經(jīng)過多 長時間，四邊形 PQCD；為平行四邊形？2 .如圖，拋物線 y = ax2 +bx+ c 過 A (3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) 三點，拋物 線的頂點位P.(1)

11、 r求拋物線的表達式；(2)直線y=2x+ 3上是否存在點 M使得以A, P, C, M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由.3 .如圖，在矩形 OABg，OA= 5, AB= 4,點D為邊AB上一點，將 BCD替直線C所疊， 使點B恰好落在OAa上的點E處，分別以OC OA所在的直線為x軸.y軸建立平面直角坐 標系.若點N在過O D. C三點的拋物線的對稱軸上，點 M在拋物線上，問是否存在這樣的 點M與點N,使彳#以M N, C, E為頂點的四邊形是平行四邊形 ？若存在.請求出 M點坐標; 若不存在，請說明理由.答案：存在滿足條件的點M其坐標為(2,

12、16), (6, 16)或(2, 16).33提布:易證 DA歷EOC從而點D的坐標為(-3-5),得到過點 O D, C的拋物線的 2解析式為y=&x2+3x-再分類討論，由對角線互相平分，中點橫縱坐標相等列出方程， 33從而找到符合條件的點 M (參考例3的方法二)4 .如圖，拋物線與 x軸交于點A (5, 0), B (3, 0),與y軸交于點C (0, 5).有一寬度 為1,長度足夠的矩形(陰影部分)沿 x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點 P, Q.交直線 AC于點M N.在矩形的平移過程中，當以點P, Q M N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點 M的坐標.答案：點 M的坐標為（2, 3）, （-2-76,3-<6）或（-2+76,3+6提示.由點A, B, C的坐標可得拋物線的表達式為y= -X2-X+5,直線AC的表達式為33 .一 ._de。de ey=x+5,設點 M的坐標