第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題

1、第10煉函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點講解與分析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)y f x x D ,我們把方程f x0的實數(shù)根x稱為函數(shù)y f x x D的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù) f x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f a f b 0,那么在 開區(qū)間a,b內(nèi)至少有函數(shù)f x的一個零點，即至少有一點x0 a,b，使得f x0 0。(1) f x在a,b上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提(2)零點存在性定理中的幾個“不一定”(假設f x連續(xù))若f a f b 0 ,則f x的零點不一定只有一個，可以有多個若f a f b 0 ,那么f x在a,b不一定有零點若f x在a,b有零點，則

2、f a f b不一定必須異號3、若f x在a,b上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)， 則fafb 0 f x在a,b的零點唯一4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系設函數(shù)為y f x ,則f x的零點即為滿足方程f x 0的根，若 f x g x h x ，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)間x h x ,即方程的根在坐標系中為 g x ,h x交點的橫坐標，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。(詳見方法技巧)二、方法與技巧：1、零點存在性定理的應用：若一個方程有解但無法直接求出

3、時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程1ln x x 0 ,無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù) fx ln x x,由f1 0, f -0即可判2、.一 .、，1定其零點必在 ,1中22、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用（1）函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變

4、形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)） 或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含x的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡

5、（作圖問題詳見：1.7函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點所在區(qū)間一一零點存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線y a與函數(shù)y x3 3x的圖象有三個相異的交點，則 a的取值范圍為（）.A.2,2B,2,2C. 2,D., 2思路：考慮數(shù)形結(jié)合，2y 3x 3 3 x 1 x3x 1 ,故 y x 3x 在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為先做出y x3 3x的圖像，. 一,1 ,令y 0可解得：x

6、1或,1,1, 單調(diào)遞增，在1,1做出草圖。而y a為一條水平線，通過圖像可得,y a介于極大值與極小值之間，則有f 12,極小值為f 12,- 106 -在三個相異交點。可得：a 2,2答案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象, 對于含有參數(shù)的函數(shù)， 先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2:設函數(shù)f x2x x a在0,2上2x 2x 2ln x 1 ,若關于x的方程f x恰有兩個相異實根，則實數(shù) a的取值范圍是 思路：方程等價于：x2 2x 21n x 1a x 21n x 1 ,即函數(shù) y a與 g x x 21n x 1g x的單調(diào)性并作出草圖:令g x 0

7、解得：x1 21n2, g 0減， 在 1,20,g 22 21n3 ,由圖像可得，水平線 y a位于g 1 ,g 2之間時，恰好與 g x有兩個不同的交點。 1 21n2 a 2 21n3答案：1 21n2 a 2 21n3小煉有話說：（1）本題中的方程為x2 2x 21n x 1x2 x a,在構(gòu)造函數(shù)時，進行了x與a的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含x所以為一條水平線，便于上下平移，進行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關于 x的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)閍 x 21n x 1 ,構(gòu)造函數(shù)g x x 21n x 1并進行數(shù)形結(jié)

8、合。(2)在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時也要注意a能否取到邊界例3：已知函數(shù)kx 2,x 0 kIn x,x 0k有三個零點，則實數(shù)值。k的取值范圍是A. k 2B.C. 2 kD. k 2思路：函數(shù)yk有三個零點，等價于方程k有三個不同實數(shù)根，進而等價于f x與yk圖像有三個不同交點,作出f x的圖像，則k的正負會導致f x圖像不同，且會影響yk的位置，所以按k 0,k 0進行分類討論，然后通過圖像求出k的范圍為k 2 。答案：D小煉有話說：(1)本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點方程的根函數(shù)圖象的交點，運用方程可進行等式的變形進而構(gòu)造函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，解決這類

9、問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。(2)本題所求k在圖像中扮演兩個角色，一方面決定f x左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與 x軸的關系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進行數(shù)形結(jié)合。例4:已知函數(shù)f x滿足f xf 3x ,當 x 1,3 , f x lnx,若在區(qū)間 1,9 內(nèi),函數(shù)g x f x ax有三個不同零點，則實數(shù) a的取值范圍是(A.B.In 3 1,9 3eC.In 3 1,9 2eD.ln3ln3思路：Q f x f3x f xx ,當 x 3,9 時，f x f - In 二，所 333In x,1 x 3x，而g x f xax有三

10、個不同零點y f x 與y axln-,3 x 93有三個不同交點，如圖所示，可得直線y ax應在圖中兩條虛線之間，所以可解得:ln31a 93e答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點。x(1)如何利用f x f二，已知x 1,3 , f x的解析式求x 3,9 , f x的解析3(2)參數(shù)a的作用為直線 y ax的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個交點時a的范圍例5 ：已知函數(shù)f (x)是定義在 ,00, 上的偶函數(shù)，當x 0時，2|x1| 1,0 x 2f(x) 1，則函數(shù)g(x) 4f (x) 1的零點個數(shù)為()-f x 2 , x 22A. 4B. 6C. 8D. 10思路：由f x為偶函數(shù)可得

11、：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可,當x 0,2時，可以利用y 2x利用圖像變換作出圖像,八，,1 八，、x 2時，f x f x 2 ,即自變量差2個單位，函2數(shù)值折半，進而可作出2,4 , 4,6 ,的圖像，g x11的零點個數(shù)即為 f x根的個數(shù)，即f x與y 的44交點個數(shù)，觀察圖像在 X 0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得 X 0時，也有5個交點。共計10個交點答案：D小煉有話說：1 , ，一(1) f x - f x 2類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關系。依然可以考慮利用周期 2性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可(2)周期性

12、函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準確標出，便于數(shù)形結(jié)合。(3)巧妙利用f X的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負半軸可用對稱性解決 例6:對于函數(shù)f X ,若在定義域內(nèi)存在 實數(shù)x,滿足f x奇函數(shù)”，若f X4X m2x1 m2 3為定義域R上的 局部奇函數(shù)”，則實數(shù) m的取值范圍是（）A.1.3 m 1,3C. 2 2 m 2.2B. 1.3 m 2.2D. 2.2 m 1.3思路：由“局部奇函數(shù)”可得:4X 2m 2X m2 3 4 x 2m 2 x m2 3 0 ,整理可得：4X 4 x 2m

13、2X 2 x 2m2 6 0,考慮到 4X 4 x可將2X 2 x視為整體，方程轉(zhuǎn)化為:2o2x 2 x 2m 2X 2 x 2m2 8 0 ,利用換元設t 2X 2X(t 2),則問題轉(zhuǎn)化為只需讓方程,2_,_2_.t 2mt 2m 8 0存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進行分類討論。設2 一 _ 2 _ _g t t 2mt 2m 8 0。(1)若方程有一個解，則有相切(切點x m大于等于2)或相交(其中交點在x 2兩側(cè))，即 0或 g 20,解得：m 2J2或 1 J3 m 1 J3m 202.2 m 2,2(2)若方程有兩解，則g 2 0,解得： m 1 百,m 1 百 1

14、73 m 2 J2 ,m 2m 2綜上所述：1 、, 3 m 2,2答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實質(zhì)為方程的根的問題，在化簡時將2乂2 x視為整體，進而將原方程進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關于2x 2 x的二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，進行求解。已知函數(shù)y f x的圖像為R上的一條連續(xù)不斷的曲線，x 0時，A. 0思路:即為方程0,0 ,則關于x的函數(shù)g x1 ，的零點的個數(shù)為(xxf x f xxf X的零點個數(shù)0,結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為xf x 1 ,即只需求出h x的零點個數(shù)，當 x 0時,上單調(diào)遞增；同理可得：h x在 ,0上單調(diào)遞減,xf x可設0,h

15、x minh 01 0,所以不存在零點。答案: 小煉有話說:(1)本題由于f x解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點存在性定理進行解決。一“*, f x(2)所給不等式f x x0呈現(xiàn)出f x輪流求導的特點，猜想可能是符合導數(shù)的xf x乘法法則，變形后可得 x的零點問題可利用方程進行變形，從而與條件中的xf x相聯(lián)系，從而構(gòu)造出例8 :定義域為R的偶函數(shù) fx滿足對xR,有 fx2 f x f 1 ,且當x 2,3 時，f x 2x2 12x 18,若函數(shù) y f x loga x 1 在 0, 上至少有三個零點，則a的取值范圍是()A 0弓B. 0，-1

16、C. 0弓D. 4思路：f x 2 f x f 1體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差f 1 ,聯(lián)想到周期性，考慮先求出f 1的值，由f x為偶函數(shù)，可令x 1 ,得f 1 f 1 f 1f x 2 f x , f x為周期是 2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)y f xloga x 1有三個零點，可將零點問題轉(zhuǎn)化為方程f x loga x 10即f x loga x 1至少有三個根，所以f x與y loga x 1有三個交點。先利用f x在x 2,3的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得：a 1時，不會有3個交點，考慮0 a 1的圖像。設 g x logax , 則y loga |x 1

17、 g x 1 ,利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當 x 2時，y loga x 1的圖像 在 f x 上 方 即 可， 即loga |2 1 f 22 loga 3c .2 , 1八2 loga a 2 所以 F 3 a答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點:(1) f x的周期性的判定:f x 2 f x f 1可猜想與f x周期性有關，可帶入特殊值，解出f 1 ,進而判定周期，配合對稱性作圖(2)在選擇出交點的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合,則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，f x的圖像可做，且y loga |x 1可通過圖像變換做出例9:已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx 2f x ,當

18、 x 1,3 時，1 x2, xt 1 |x 21,1,x 1,30,若方程3f xx恰有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)t的取值范圍是（A.40,-3B.,2 3C.4,3 D.3f x ,即f x的周期為4 ,所解方程可視為y f x與g xx的交點，而t的作用為3影響y t 1 x 2圖像直線的斜率，也絕對此段的最值 x（ymaxt）,先做出y 的圖像，再根據(jù)三個交點的條3件作出f x的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在 x 2處，f x的圖像高于g x圖像且在的圖像低于 g x圖像即可所以有22，即 2 t 23f 6g 6f 2g 2答案：Bf(6) f(2) tf(2) t 2 3例10: （20

19、14甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) f xsin x 1,x 02的圖像loga x a 0,a 1 ,x 0上關于y軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（A.B.C.D.,30,3思路：考慮設對稱點為Xo, Xo ,其中Xo0 ,則問題轉(zhuǎn)化為方程f x0sin-x1 loga x有三個根，所以問題轉(zhuǎn)化為fx0至少有三個解。即g x sin1與h x loga x有三個交點，先做出 y sinx 1的圖像,2a 1 ,進一步觀察圖像可得：只要通過觀察可知若y loga x與其有三個交點，則0h 5 ,則滿足題意，所以sin5,八，,1.一 1 loga52 log a 5 loga log

20、 a 52a答案:三、近年模擬題題目精選:1、已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當 x 0,1時，f （x）jx,那么在區(qū)間(1,3)內(nèi),關于x的方程f （x）kx k(kR）有4個根,則k的取值范圍是（）A.C.1 一0 k 或 k42、（2014吉林九校聯(lián)考二模,16）若直角坐標平面內(nèi) A,B兩點滿足條件：點 A,B都在函f x的圖像上；點 A,B關于原點對稱，則稱A,B是函數(shù)f x的一個“姊妹點對”A,B與B,A可看作同一點對），已知fx2 2x,x馬x 0 ex的“姊妹點對”有3、（2015,天津）已知函數(shù)2, 函數(shù)gx 2,恰有4個零點，則b的取值范圍是（A.74,B.7,47C.

21、0,4D.74,24、(2015,湖南）已知f3x , x2x ,x若存在實數(shù)b ,使函數(shù)g xf x b有兩個零點，則a的取值范圍是5、(2014,新課標全國卷I）已知函數(shù)f3_ 2. 一_ _ . .ax 3x 1 ,若f x存在唯一的零點xo ,則a的取值范圍是（A. 2,B. 1,C.D.6、(2014,山東)已知函數(shù) f X1，g若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù) k的取值范圍是(c 1A. 0,2B. 2,1C.1,2D.2,7、(2014,天津)已知函數(shù) f X3x ,xR,若方程10恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù) a的取值范圍是8、（2015,江蘇）已知函數(shù) f X0,02 X2,

22、x1實根的個數(shù)為9、已知函數(shù)3 ax3x21 ,若f x存在唯一的零點x0,且x0 0 ,則a的取值范圍是(A. 2,B.1,C.D.10、對于函數(shù) fx,gx,設m x | f x 0 ,n x | g x 0 ,若存在 m,n使得m n 1,則稱f x與g x互為“零點關聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)f xlog2 x 1e1、與2g X X ax a 3互為“零點關聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()77A. 2,B. ,3C. 2,3D. 2,43311、已知偶函數(shù)f(x)滿足對任意x R ,均有f(1 x) f (3 x)且2f (x) m(1 X ),X 0,1,若方程3 f (x) x恰有5個實

23、數(shù)解，則實數(shù) m的取值范圍 X 1,X (1,212、(2016,河南中原第一次聯(lián)考) 已知函數(shù)f x cos2x asinx在區(qū)間0,n n N內(nèi)恰有9個零點，則實數(shù)a的值為13、(2014,四川)已知函數(shù) f Xex ax2 bx 1,a,b R,e 2.71828L 為自然對數(shù) 的底數(shù)1 )設 g x 是函數(shù) f x 的導函數(shù)，求函數(shù)g x 在區(qū)間 0,1 上的最小值(2)若f 10,函數(shù)f x在區(qū)間0,1內(nèi)有零點，求a的取值范圍習題答案:1、答案：B解析：根據(jù)周期性和對稱性可作出f x的圖像，直線f (x) kx k(k R)過定點 1,0結(jié)合圖像可得:若(1,3)內(nèi)有四個根，可知 k

24、1 一0,1 。若直線與f2,3相切，聯(lián)立方程:x 2ky2kx k0可得：k.3 ,時，解得62,3,綜上所述：k0,42、答案:解析：關于原點對稱的兩個點為x, y 和 x, y，不妨設x0,則有2xe,2x 2x從而x22x與，所以“姊妹點對”的個數(shù)為方程 e2xV的個數(shù)，即曲線 e2x與2 一二的交點個數(shù)，作出圖像即可得有兩個交點 e3、答案:解析：由x 2,所以f(x)f(x)f(2f(2f (x) g(x)f(x) f(2x)4、答案：ax)x)f(x)2,2 xf(2得f(2 2,x),x5x2, x08,x(x2)02,xx) b,所以b 0有4個不同的解，即函數(shù)由圖象可知7

25、b 2.4,0 U 1,2,15.10.5-2r4 6851015x恰有4個零點等價于方程b與函數(shù)y f (x)f(2 x)的圖象解析：g x f x b由兩個零點，即方程 f x b有兩個根，從而y f x與y b有兩個交點。可在同一直角坐標系下作出yx3, y x2,觀察圖像可得：a 0時，水平線與y x2有兩個交點，故符合題意；當 01時，f x為增函數(shù)，所以最多只有個零點，不符題意;1時，存在水平線與32 一 _. 、 . .x , y x分別有一個交點，共兩個符合題意。綜上所述:,0 U 1,5、答案：C解析：ax3 3x2t,依題意可知y a與y3 -.3t t應在有唯一交點且位于

26、t0的區(qū)域。設3t t3 ,所以g t一一 2一3 3t23 1g t 在 1,0 , 0,1單增，在,1, 單減，g 12,g 12,作出圖像可知只有當a 2時,3t3 .t有唯一交點，且在0的區(qū)域。6、答案：B解析：方法一：方程有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有兩個不同交點,其中k為直線的斜率。通過數(shù)形結(jié)合r r ,1即可得到k 1,12方法二：本題還可以先對方程進行變形，再進行數(shù)形結(jié)合,kx中0顯然不是方程的解，當x0時,x 2 1，設 h x x1一,x x1,x轉(zhuǎn)化為y k與y交點為2個。作出圖像后即可觀察到k的范圍7、答案：0,1 U9,解析：方程為:3xa x 1 , x 1顯然不

27、是方程的解,所以x 1時，ax2 3xx 15有4個交點即可，作出圖 5 ，令tx 1像數(shù)形結(jié)合即可得到a 0,1 U 9,8、答案：4解析：方程等價于 f x g x1,即 fx g x 1 或 fxg x 1共多少個根，y 1 g x1,0 x 1x2 1,1 x 2 ,數(shù)形結(jié)合可得：f x與y 1 g x有兩個交7 x2,x 2點；y 1 g x以共計4個9、答案：C1,0 x 1x2 3,1 x 2 ,同理可得f x與y 1 g x有兩個交點，所 _2_5 x ,x 2解析：ax3 3x2 1 0 a313 人 1,令t -,依題意可知at33t只有一個零點t0且t0 0 ,即y a與

28、g t,3t 3t只有一個在橫軸正半軸的交點。g t 3t2 3可知g t在1 , 1, 減，在 1,1增，g 12作出圖像可得只有a 2時，y a與g t.3t 3t只有一個在橫軸正半軸的交點。10、答案：C解析：先從f x log2 x 1e1 x入手，可知f x為單增函數(shù)，且f 10,所以f x有唯一零點x 1 ,即m 1 ；所以1 n 10 n 2,即gxx2 ax a 3在2x2 34rr0,2有零點?？紤]方程x ax a 3 0 a x 1 2,即y a與x 1x 14,，一，r r2,3y x 1 匚 2在0,2有公共點即可，數(shù)形結(jié)合可得:x 14 .15 X11 4 15 8

29、3 7、二）U （二, 二）666解析：當m 0時，方程恰有5個解 方程3m1 (x 4)2 x有兩個解且方程3m1 (x 8)2 x無解，考慮這兩個方程的判別式可得15 48 3 7m ;由對稱性，當m 0時，方程恰有5個解的范圍是 8 36,15 4 ，一;所以m的取值氾 6圍是8 3 7415415 8 3 76,6)U(6,6)12、答案：a 1解析：由 f(x) 0 ,得 cos2x asinx 0 ,即2g(x) 2sin x asin x 1, 令 t sinx , 則2g(x) 2t at 1 .考察x (0,2 )的函數(shù)g(x)的零點個數(shù)，即如下圖所示為t sinx, x (0,2 )的圖象，易知：(1)方程2t2 at 1 0的一個根為1,另一個根為(1,0)時，g(x)在(0,2 )內(nèi)有三個零點，.此時2 1 a 1 1