第十一講四邊形學生版

1、學習改變命運，思考成就未來！：62164116第十一講四邊形一、 基礎知識1.平行四邊形1) 平行四邊形定義:有兩組對邊平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形用”2) 平行四邊形的性質平行四邊形對邊相等平行四邊形對角相等平行四邊形對角線互相平分平行四邊形是中心對稱圖形,對角線的交點是其對稱中心.3) 平行四邊形的判定兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對角相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形根據(jù)定義判定2.矩形1) 矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形,也就是長方形.2) 矩形的性質矩形是特殊得平行四邊,它具備平行四邊形

2、所有的性質,除此之外,矩形還有矩形的四個角都相等且為直角矩形的對角線相等矩形還是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,是它兩組對邊中點所在的直線.3) 矩形的判定我們可以利用矩形的定義來判定一個四邊形是矩形,除此之外,還有:對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形3.菱形1) 菱形的定義:有一組想鄰的邊相等的平行四邊形叫做菱形.2) 菱形的性質菱形是特殊得平行四邊,它具備平行四邊形所有的性質,除此之外,矩形還有菱形的四條邊都相等菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角菱形還是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,是它兩條對角線所在的直線.3) 菱形的判定我們可以利用菱形的定義來判定一個四邊形

3、是菱形,除此之外,還有:四條邊都相等的四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線平分對角的平行四邊形是菱形4.正方形”表示.特有的性質:特有的性質:1) 正方形的定義:四條邊都相等,四個角都是直角的四邊形叫做正方形.正方形既是矩形,也是菱形.2) 正方形的性質正方形既是矩形,也是菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性質.5.梯形1)梯形的定義:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊叫做梯形.或者說:只有一組對邊平行的四邊形叫 做梯形.學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 1 of 8學習改變命運，思考成就未來?。?21641162) 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一個

4、角是直角的梯形叫做直角梯形.3) 等腰梯形的性質等腰梯形是軸對稱圖形.上下底中點所在的直線是對稱軸等腰梯形同一底上的兩個角相等等腰梯形的兩條對角線相等3)等腰梯形的判定我們可以利用等腰梯形的定義來判定一個四邊形是等腰梯形,除此之外,還有:同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形對角線相等的梯形是等腰梯形6.中位線1) 三角形的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線,三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三 邊的一半.2) 梯形的中位線連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線,梯形的中位線平行于梯形的兩底,且等于兩底和的一半.本專題題趨勢為：1. 這一部分在中考重點考查平行四邊形、矩

5、形、菱形、正方形的性質與判定，題型多為填空、選擇和解 答題，證明題隨時出現(xiàn)，但其趨勢在逐年減少.2. 梯形的性質是近幾年中考的重點,題型多為填空、選擇和解答,主要考查學生對基礎知識的掌握程度及推理運算能力.3.對稱及對稱圖形這一知識點近幾年在中有逐年增加的趨勢,是今后中考的熱點,預計這類題的比重將越來越大.目前題型多為填空、選擇,將來也有可能為開放性的圖案設計題,這是中考的一個方向.二、 例題1.選擇題1)(2004.?？?如圖 12-1,在 ABCD 中,對角線 AC 和 BD 相交于 O.如果 AC=12,BD=10,AB= m ,那么Dm 的取值范圍是A.1 < m < 11

6、C.10 < m < 12A()B. 2 < m < 22D. 5 < m < 6OCB圖 12-1,AB 的垂直平分線交對角線ACD2)(2004.重慶)如12-2,在菱形ABCD 中, ÐBAD = 80連結 DF,則ÐCDF 等于F,E 為垂足,)(A. 80°B. 70C圖 12-2AFC. 65D. 60EB3)(2004.北京)如圖 12-3 在菱形 ABCD 中,E 是 AB 的中點,作 EF / BC ,交 ACF.如果 EF=4,那么 CDA的長為A.2C.6()B.4EDD.8FBC學生版圖 12-3學而思教

7、育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講Page 2 of 8學習改變命運，思考成就未來?。?21641164)(2004.河北)如圖 12-4,在梯形ABCD 中, AD / BC ,對角線 AC BD 且AC=12,BD=9,則梯形的中位線長是()A212DA.10B.152C.D.12CB圖 12-45)(2004.黑龍江)若等腰梯形的三邊長分別為 3,4,11,則這個等腰梯形的()A.21B.29C.21 或 29D.21 或 22 或 296)(2004.蘇州)如圖 12-5,梯形 ABCD 的對角線交O,以下四個結論:始終正確的有 () DAOBDCOD; DAODDACB;DC=

8、DC : AB; SDAOD = SDBOC ,O SDDOC : SDAODA.1 個B.2 個C.3 個D.4 個AB圖 12-57)(2004.杭州)如圖12-6,E,F,G,H 分別是正方形ABCD 各邊的中點,要使中間陰影部分小正方形的面積為5,則大正方形的邊長應該是()HDAA. 2 5B. 35GED. 5C.5BCF圖 12-68)(2002.河北)如圖 12-7,E 是邊長為 1 的正方形ABCD 的對角線BD 上一點,且 BE=BC,P 為CE 上任意一點, PQ BCQ, PR BER,則 PQ+PR 的值是()22123223A.B.C.D.DADA120C45BCBQ

9、圖 12-8圖 12-7學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 3 of 8ERP學習改變命運，思考成就未來?。?21641169)(2004.)下列說法中,錯誤的是()A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形C.四個角都相等的四邊形是矩形B.兩條對互相垂直且平分的四邊形是菱形D.鄰邊相等的四邊形是正方形.10)(2003.重慶)已知,如圖 12-8,梯形 ABCD 中, AD / BC , ÐB = 45° , ÐC = 120 , AB = 8 ,則 CD 的長(為)8 6A.38 2C.3B. 4 6D. 4 22.(杭州“求是杯”競

10、賽)如圖 12-9,以DABC 為邊 AB,AC 為腰直角三角形 ACE,O 為 DE 的中點,OA 的延長線交 BC 于 H.外作等腰直角三角形 ABD,和等求證: OA BC .DOE1A3C2HB圖 12-9E3.(北京數(shù)學競賽)如圖 12-10,在 DABC 中, ÐACB = 90 , ÐBAC = 30分別以 AB,AC 為DABC 的外側作正 DABE 和 DACD ,DE 與 AB 交于 F,求證:EF=FD.BACD圖 12-104.(第九屆“希望杯”數(shù)學邀請賽)如圖 12-11,在 ABCD 中, ÐABC = 75 , AF BC, 垂足為F

11、,AF 交 BD 于 E,若 DE = 2AB ,求ÐAED 的度數(shù).DAEBCF圖 12-11學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 4 of 8,學習改變命運，思考成就未來?。?216411652,自頂點 D 作 DE AB , DF BC ,E,F5. (1997.競賽)已知平行四邊形 ABCD 的為垂足.若 DE = 5, DF = 8 ,求 BE + BF 的長.6.(1991.第四屆“祖沖之”數(shù)學邀請賽)如圖 12-13,點 M,N 分別在正方形 ABCD 的邊 BC,CD 上.已知 DMCN 的周長等于正方形 ABCD 周長的一半,求ÐM

12、AN 的度數(shù).NDCMAB圖 12-137.(1981.北京數(shù)學競賽)如圖 12-14,正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中點,F 是 DA 的中點,連結 BE 與 CF 相交于 P,求證:AP=AB.EDCFAB圖 12-148.(1991.)如圖 12-15,正方形 ABCD 中,AK 和 AN 是ÐDAB 內(nèi)的任意二射線. BK AK ,BL AN , DM AK , DN AN ,試證: KL = MN.DCAB圖 12-15學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 5 of 8NKLMP學習改變命運，思考成就未來?。?21641169.(1999.第

13、十屆“希望杯”邀請賽)如圖 12-16,在等腰梯形 ABCD 中, CD / AB ,對角線 AC, BDDC相交O , ÐACD = 60 ,點 S , P, Q 分別為OD, OA, BC 的中點.SOQ(1)求證: DPQS 為等邊三角形;(2)若 AB = 5, CD = 3, 求 DPQS 的面積;(3)若 DPQS 的面積與 DAOD 的面積的比是 7:8,求梯形上,下兩底的比CD : AB .PAB圖 12-1610.(1995.)如圖 12-17 在梯形 ABCD 中, AB / CD ,ABS1Os2記 S梯形 = S, SDAOB = S1, SDDOC= S2

14、,S1 +S2 與 S 的大小,并說明理由.試DC圖 12-17補充：例1.正方形 ABCD 的邊長為 a求內(nèi)接正三角形 AEF 的邊長學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 6 of 8學習改變命運，思考成就未來！：62164116例 2 如圖已知：四邊形 ABCD 中，ABDADB15 o ,CBD45 o ，CDB30 o求證：ABC 是等邊三角形例3 在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。AD三.練習題1.(2004. 重慶 ) 如圖NMD 是 DABC 的邊12-18, 已知AB上一點, CN / AB ,DN 交 AC 于 M.若

15、 MA=MC,求證: CD = ANCB圖 12-18ED2.(2005.湖州)如圖 12-19,在平行四邊形 ABCD 中,CÐB, ÐD 的平行線分別交對邊E, F ,交四邊形的對角GHG, H .求證: AH = CG .(并寫出依據(jù)的定理)線 ACA圖 12-19BFP3.(2004.重慶)如圖 12-20,已知四邊形 ABCD 是等腰梯形,AB = DC , AD / BC , PB = PC .求證: PA = PD .ADBC圖 12-20學而思教育06 年秋季班講義初三聯(lián)賽班第十一講學生版Page 7 of 8學習改變命運，思考成就未來?。?21641164

16、.(2004.呼和浩特)如圖 12-21,已知梯形 ABCD 中, AD / BC ,AD = 2, BC = 4 ,對角線 AC = 5, BD = 3 ,試求此梯形的面積.ADBC圖 12-21F5.(2005.陜西)如圖 12-22,直線CF 垂直且平分 ADE,四邊形 ADCB 是菱形,BA 的延長線交 CEF,連結 AC.圖 12-22(1) 圖中有幾對全等三角形,請把它們都寫出來; (2)證明: DABC 為正三角形.證明: (1)圖中有 4 對全等三角形,分別為DABC DCDA , DAEF DDEC ,DDEC DAEC , DAEF DAEC .(2) CF 垂直平分 AD , AC = CD .又 四邊形 ABCD 是菱形, AB = BC =