算法對(duì)高中數(shù)學(xué)的滲透

1、算法對(duì)高中數(shù)學(xué)的滲透成都市高新實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張平福 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）指出：“算法除作為本模塊的內(nèi)容之外，其思想方法應(yīng)滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問(wèn)題?！毙抡n程不僅開(kāi)設(shè)算法初步專題，而且從內(nèi)容上把算法融入數(shù)學(xué)課程的各個(gè)相關(guān)部分. 在高中數(shù)學(xué)課程中，解一元二次方程組、解二元線性方程組、解一元二次不等式、質(zhì)數(shù)的判定、二分法、判定平面直角坐標(biāo)系中直線與圓的位置關(guān)系、解三角形、求導(dǎo)數(shù)和定積分、建立線性回歸方程等，都是算法的典型案例由此可見(jiàn)，算法思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，算法的學(xué)習(xí)對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著“源”與“流”的關(guān)系.在教學(xué)中，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)與算法的

2、有機(jī)結(jié)合，在學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的過(guò)程中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法思想，使他們看到數(shù)學(xué)在算法設(shè)計(jì)中的作用，以及掌握算法思想對(duì)于提高數(shù)學(xué)能力的重要性。一、在問(wèn)題解決中強(qiáng)化算法意識(shí)、提升算法思想算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又有抽象性、概括性和精確性.在教學(xué)時(shí)盡量根據(jù)問(wèn)題解決情景培養(yǎng)算法思想，以真正提高學(xué)生思維能力.【例1】已知橢圓的離心率為 ，試設(shè)計(jì)求的算法程序框圖.算法分析：信息“橢圓”意味著，離心率需定位方程中4和哪一個(gè)是.可用條件結(jié)構(gòu)表現(xiàn)“橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上”與“與4的大小”之間的依賴關(guān)系，即需判斷與4的大小，并據(jù)此設(shè)計(jì)算法，程序框圖如下.二、波利亞的“怎樣解題表”是數(shù)學(xué)問(wèn)題

3、解決的普適性算法按照波利亞的“怎樣解題”表,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程可以被分解為這樣四個(gè)步驟： 第一，弄清問(wèn)題；第二，擬定計(jì)劃；第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；第四，回顧.就這四個(gè)步驟而言，波利亞指出：“最糟糕的情況是：學(xué)生并沒(méi)有理解問(wèn)題就進(jìn)行演算或作圖.一般說(shuō)來(lái)，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作出某種計(jì)劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無(wú)用處的”.作為新課程的踐行者，數(shù)學(xué)教師需認(rèn)真研讀波利亞的“怎樣解題”.波利亞的“怎樣解題”表未知是什么？已知是什么？滿足條件是否可能？要缺點(diǎn)未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開(kāi)。你能否把它們寫下來(lái)？弄清問(wèn)題第一你必須弄

4、清問(wèn)題你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問(wèn)題？這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述這個(gè)問(wèn)題？回到定義去。如果你解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此相關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，

5、這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它回怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有已知的數(shù)據(jù)？你是否利用了所有條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念？擬定計(jì)劃第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系.如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題.你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一個(gè)步驟你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？第三實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃回顧你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能不能

6、一下子看出它來(lái)?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題?第四驗(yàn)算所得到的解【例2】(2003年全國(guó)卷第21題)已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖15），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：本題高考四川省均分僅1.59，慘不忍睹！很多學(xué)生考后仍然心有余悸地說(shuō)面對(duì)此題無(wú)從下手.此題果真就這樣難嗎？讓我們聽(tīng)聽(tīng)高考場(chǎng)內(nèi)完美解決了此題的同學(xué)談的解題感受：首先，這個(gè)問(wèn)題雖然不好下手，但從問(wèn)題情境看，它不是代數(shù)問(wèn)題、不

7、是立體幾何問(wèn)題，肯定是解析幾何問(wèn)題；其次，既然這是解析幾何問(wèn)題，那就應(yīng)該在坐標(biāo)系環(huán)境下求解，因此要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；第三，給出的圖形太對(duì)稱了，有助于建立坐標(biāo)系，不妨如下圖建系；開(kāi)始結(jié)束問(wèn)題的信息輸入：這是解析幾何問(wèn)題，需建立坐標(biāo)根據(jù)圖形的對(duì)稱性建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)置點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、O的坐標(biāo)建立直線OF和GE的方程，用交軌法求點(diǎn)P的軌跡方程根據(jù)點(diǎn)P的軌跡方程判斷點(diǎn)P的存在性第四，建立坐標(biāo)系的目的是什么呢？當(dāng)然從問(wèn)題情境看可以設(shè)置點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、O的坐標(biāo)（事實(shí)上只需設(shè)元引參：設(shè)=k，進(jìn)而確定相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)）；第五，不妨回到問(wèn)題中來(lái)：結(jié)論需要我們做什么呢？若存在兩個(gè)定點(diǎn)使P

8、到這兩點(diǎn)的距離的和為定值的話，點(diǎn)P的軌跡不就是橢圓嗎？因此問(wèn)題的核心是求點(diǎn)P的軌跡方程;第六，根據(jù)前面五點(diǎn)可知，只需建立直線OF和GE的方程，用交軌法解決即可. 我們?cè)谫潎@這位同學(xué)聰明機(jī)智的同時(shí)，更應(yīng)該看到他思維過(guò)程中算法思想的影子.我們不妨用算法的框圖來(lái)描述解決此問(wèn)題的思維過(guò)程和邏輯關(guān)系如右.事實(shí)上，上述框圖中的前三步應(yīng)該容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步驟就比較自然了.解：如圖建立直角坐標(biāo)系，按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 三、算法思想也是思想實(shí)驗(yàn)【例3】(2002年全國(guó)卷文科22)給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），要求用其中

9、一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積大小.圖一圖二分析：要求用正三角形紙片剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等，除了給出的標(biāo)準(zhǔn)答案外，其實(shí)還有一種更簡(jiǎn)單自然的方法（如右圖）.這種做法應(yīng)該更容易想到，所用知識(shí)更少.像這樣的動(dòng)手實(shí)踐的問(wèn)題，其實(shí)更需要學(xué)生在平時(shí)積累的直接經(jīng)驗(yàn)，這也是新課程標(biāo)準(zhǔn)所強(qiáng)調(diào)的（即動(dòng)手實(shí)踐能力）.而這一算法思想古人早就應(yīng)用其解決實(shí)際問(wèn)題。在九章算術(shù)中卷一“方田”第25題：今有圭田廣十二步，正

10、從二十一步，問(wèn)為田幾何？注文中的“以盈補(bǔ)虛”就是劉徽的“出入相補(bǔ)”法，在高考中從代數(shù)角度也進(jìn)行了考查，如上海高考試題：已知函數(shù)的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積是A4B8C2D4四、 數(shù)學(xué)問(wèn)題是算法思想培養(yǎng)的素材【例4】設(shè)實(shí)數(shù)m>n,m+n=8,mn=12,求m和n.解析：算法一：（傳統(tǒng)方法）m、n是方程x2-8x+12=0的根，利用求根公式或十字相乘法知m=6,n=2.算法延伸：在等差數(shù)列中，則_.思路：由等差數(shù)列性質(zhì)知，可知是方程 的兩個(gè)根，故，得，或。算法二：（構(gòu)造共軛）m+n=8,mn=12（m+n）2=64m2+2mn+n2=64m2)-2mn+n2

11、=16 (m-n)2=16m-n=4 m=6,n=2.應(yīng)用示例：設(shè)是第二象限的角，sin+cos=,則tan=_.思路：由算法二方法構(gòu)造共軛式：sin-cos=，得算法三：（增量代換）m+n=8m超過(guò)4的的部分正好是n少于4的部分，據(jù)此設(shè)m=4+t,n=4-t,代入mn=12 (4+t)(4-t)=12t2=4t=2 m=6,n=2。應(yīng)用示例：（1）已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi).（2）（06江蘇）某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則xy的值為（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4思路：（1）令，則，所以時(shí)取最小值2。（2

12、）本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法，所涉及的是初中知識(shí)，而不是離散型隨機(jī) 變量分布列的期望（平均）與方差。樣本平均數(shù)為 樣本方差為解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出即可，由，設(shè)x=10+t, y=10-t,代入得：，故，選D五、利用算法思想提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)【例5】(09福建理15)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)

13、，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_(kāi).解析：這是歷史上著名的斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問(wèn)題的根本，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 利用算法初步案例1的思想首先求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡(jiǎn)單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，即設(shè)第次報(bào)數(shù)、第次報(bào)數(shù)、第次報(bào)數(shù)分別為，則有，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可見(jiàn)余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在一個(gè)周期內(nèi)只有第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都是3

14、的倍數(shù)，五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)完100個(gè)數(shù)共經(jīng)歷12.5個(gè)周期，其中第4，8，12，16，96，100個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，他報(bào)數(shù)的位置為1，6，96.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)有多少項(xiàng)是4的倍數(shù)，易知時(shí)是4的倍數(shù)，即甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為5次.我們?cè)诳纯此拇?6年理科12題：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為（A） （B） （C） （D）【考查目的】本題考查排列組合、概率及分類的思想方法【解法】從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)一共有：= 9×9×8648（個(gè)）因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)能被3整除當(dāng)且僅當(dāng)

15、其各位數(shù)字之和能被3整除，所以我們將0到9這10個(gè)數(shù)字按被3除所得余數(shù)分成1，4，7；2，5，8；0，3，6，9三組來(lái)考慮組成三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字不含0，3，6，9，這時(shí)三個(gè)數(shù)字之和要能被3整除只能是1，4，7或2，5，8的組合，共有2個(gè)；三個(gè)數(shù)字中有且只有0，3，6，9中的一個(gè)，這時(shí)三個(gè)數(shù)字之和要能被3整除，其余兩個(gè)數(shù)字只能分別是1，4，7和2，5，8兩組中各取一個(gè)，共個(gè)，除去0在首位的個(gè)，還有198個(gè)；三個(gè)數(shù)字中有且只有0，3，6，9中的兩個(gè)，這時(shí)組成的三位數(shù)三個(gè)數(shù)字之和都不能被3整除；三個(gè)數(shù)字都取自0，3，6，9，共個(gè)，這時(shí)三個(gè)數(shù)字之和必可被3整除，除去0在首位的個(gè)，還有18個(gè)故能被3整除的

16、共有12+198+18228個(gè)不能被3整除的有648228420個(gè)因此概率P【點(diǎn)評(píng)】本題是當(dāng)年四川高考理科選擇題的壓軸題求能被3整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是一個(gè)常規(guī)題，求能被3整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)難度就增加了不少，如果再與概率綜合，隨著需要考慮的情況復(fù)雜性的增加，需根據(jù)算法思想進(jìn)行正確清晰的分類，對(duì)思維能力的要求很高。本題對(duì)高分考生的區(qū)分度明顯高于對(duì)全體考生的區(qū)分，是一個(gè)難題六、利用算法思想提高學(xué)生問(wèn)題解決能力算法是思維的條理化和邏輯化，其基本思想是程序化、按部就班. 我們可以利用這一算法思想擬訂解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維流程或解題步驟，幫助我們走出思維混亂、表述不清的困境.【例6】(09海南寧夏理

17、17)為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖）飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟解析： 這是一個(gè)以三角為背景考查算法思想的一個(gè)好題，需要一定的算法分析能力。方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)到，點(diǎn)的俯角；點(diǎn)到，的俯角；的距離（如圖所示）第一步：計(jì)算由正弦定理；第二步：計(jì)算由正弦定理；第三步：計(jì)算由余弦定理方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)到點(diǎn)的俯角；點(diǎn)到，的俯角；的距離（如圖所示）第一步：計(jì)算由正弦定理；第二步：計(jì)算由正弦定理；第三步：計(jì)算由余弦定理七、算法思想本身就貫穿新課程教材在學(xué)習(xí)算法初步之前我們實(shí)際上已經(jīng)滲透了大量的算法思想，如四則運(yùn)算的過(guò)程、求解方程、不等式的步驟等等，完成這些工作都需要一系列程序化的步驟，這就是算法的思想。人教A版教材充分關(guān)注算法的思想方法滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中，在教材正文及小貼士、思考、閱讀與思考、信息技術(shù)應(yīng)用等欄目設(shè)計(jì)了大量利用算法解決相關(guān)問(wèn)題的情景，如人教A版數(shù)學(xué)5第三章不等式中，第二單元一元二次不都是的解法正文(P78)用一個(gè)程序框圖