223向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1.1.掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義；掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義；2.2.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算律，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算；掌握向量數(shù)乘運(yùn)算律，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算；3.3.理解兩個(gè)向量共線的條件，能表示與某個(gè)非零向量共理解兩個(gè)向量共線的條件，能表示與某個(gè)非零向量共線的向量，能判斷兩個(gè)向量共線；線的向量，能判斷兩個(gè)向量共線；4.4.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)類比和化歸思想通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)類比和化歸思想 （重點(diǎn)）（重點(diǎn)）（重、難點(diǎn)）（重、難點(diǎn)）如何求作兩個(gè)非零向量的和向量？如何求作兩個(gè)非零向量的和向量？首尾相接首尾連首尾相接首尾連OBABOAabO OA AB B

2、abab如何求作兩個(gè)非零向量的差向量？如何求作兩個(gè)非零向量的差向量？首同尾連指被減首同尾連指被減BAOBOAO OA AB Bababab問(wèn)題：?jiǎn)栴}：一只兔子向東一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為一只兔子向東一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為 ，那么，那么它在同一方向上按照相同的速度行走它在同一方向上按照相同的速度行走3 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是量怎樣表示？是 嗎？兔子在相反方向上按照相同的速度嗎？兔子在相反方向上按照相同的速度行走行走3 3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是 嗎嗎? ? 你能你能用圖形表示嗎？用圖形表示嗎？a3a3a與與的關(guān)系：的關(guān)系

3、：s = tv思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量 ，如何求作向量，如何求作向量 和和（ ）（ ） （ ）？）？O OA AB BC CO OM MN NP PO C =uuu r向量數(shù)乘的定義向量數(shù)乘的定義aaaaaaaaaaaaaaaaa （ ）（）（ ）（）（ ）OP =uu u raaa思考思考2 2：向量向量 和（和（ ）（）（ ）（）（ ）分別如何簡(jiǎn)化其表示形式？分別如何簡(jiǎn)化其表示形式？aaaaaa思考思考3 3：向量向量3 3 和和3 3 與向量與向量 的大小和方向有什么關(guān)的大小和方向有什么關(guān)系？系？O OA AB BC CO OM MN NP Paaaaaaaaaa 記為記

4、為3 ，（ ）（ ）（ ）記為記為3 .aaaaaaaa思考思考4 4：設(shè)設(shè) 為非零向量，那么為非零向量，那么 還是向量嗎？還是向量嗎？它們分別與向量它們分別與向量 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？a2a2a3和-a2a3a2a-思考思考5 5：一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一個(gè)的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘. .記作記作 ，該向量的長(zhǎng)度，該向量的長(zhǎng)度及方向與向量及方向與向量 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？（1 1）| |=|=| | |；（2 2）00時(shí)時(shí), 與與 方向相同；方向相同； 00時(shí)時(shí), 與與 方向相反；方向相反； =0=0時(shí)

5、時(shí), = .= .aaaaaaaaaa0思考思考6 6：如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)M M為為ABCABC的重心，的重心，D D為為BCBC的中點(diǎn)，那么的中點(diǎn)，那么向量向量 與與 ， 與與 分別有什么關(guān)系？分別有什么關(guān)系？BD BC ADDM A AB BC CD DM M1B DB C2=uuu ruuu rA D3D M= -uuu ruuur向量數(shù)乘的運(yùn)算律及共線向量基本定理向量數(shù)乘的運(yùn)算律及共線向量基本定理思考思考1 1：你認(rèn)為你認(rèn)為2 2（5 5 ），），2 2 2 2 ， 可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？a（3+2 ） aab-2-2 (5(5 )= -10)= -10 ；2

6、2 2 2 = = 2(2( + + ) )； (3(3 ) ) =3 =3 2a.2aaaaaabb思考思考2 2：一般地，設(shè)一般地，設(shè)，為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則( ) )，() ，( ) )分別等于什么？分別等于什么？abaaaa2a6)2(3a)2(3aa6= =1( a)()a （ ）(23)aa2a32 ()aaa（）(23)23 ?aaaa2()22 ?abab3()abab（ ）abba22abA Aa2b2B BC CD DE E提升總結(jié)：提升總結(jié)：1()()aa （）2 ()aaa（）3()abab（ ）思考思考3 3：對(duì)于向量對(duì)于向量 （ 0 0）和）和 ，若存在實(shí)數(shù)，若存在實(shí)

7、數(shù)，使使 = ，則向量，則向量 與與 的方向有什么關(guān)系？的方向有什么關(guān)系？baabaab思考思考4 4：若向量若向量 （ 0 0）與）與 共線，則一定存在實(shí)數(shù)共線，則一定存在實(shí)數(shù)，使，使 = 成立嗎？成立嗎？aabba思考思考5 5：綜上可得向量共線定理：向量綜上可得向量共線定理：向量 （ 0 0）與）與 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，使 = . . 若若 ，上述定理成立嗎？，上述定理成立嗎？aabbaa0共線共線一定存在一定存在不成立不成立A AB BP PO O思考思考6 6：若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使，使 ，則，則A A、B B、C C三點(diǎn)的三點(diǎn)的位置關(guān)系如

8、何？位置關(guān)系如何？ABBC 1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu rABBC A A、B B、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線思考思考7 7：如圖，若如圖，若P P為為ABAB的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則 與與 、 的關(guān)系的關(guān)系如何？如何？OB OAOP思考思考8 8：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量對(duì)于任意向量 、 ，以及任意實(shí)數(shù)以及任意實(shí)數(shù)、x x、y y，(x(x y y ）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？aa (x (x y y ）=x=x yy . . ababbb 例例1.1.計(jì)算計(jì)算（1 1）（）（3 3

9、）4 4 ； （2 2）3 3（ ）2 2（ ） ；（3 3）（）（2 2 3 3 ）（）（3 3 2 2 ）. .aaaaaac1( 3 4)a12a;23a3b2a2ba5b;32a3bc3a2bca5b2:c. 解（ ）原式（ ）原式（ ）原式bbbbc向量與實(shí)數(shù)之間可以像多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算向量與實(shí)數(shù)之間可以像多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算. .23O O例例2.2.如圖，已知任意兩個(gè)非零向量如圖，已知任意兩個(gè)非零向量 試作試作 你能判斷你能判斷A A、B B、C C三點(diǎn)之間的位三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？置關(guān)系嗎？為什么？A AB BC CAC2AB 分析：A A、B B、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線

10、a,b ，OAa b ，OBab OCab 2 ，3 .baabbb解：解：分別作向量分別作向量 ，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A A、C C作直線作直線AC.AC.觀察發(fā)觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量現(xiàn)，不論向量 怎樣變化，點(diǎn)怎樣變化，點(diǎn)B B始終在直線始終在直線ACAC上，猜上，猜想想A A、B B、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. . 事實(shí)上，因?yàn)槭聦?shí)上，因?yàn)镺A OB OC 、 、AB OB OAa2b(ab)b, =- ACOCOA =a3b(ab) =2b, AC=2AB. ABC. 而于是所以， 、 、 三點(diǎn)共線a b 、例例3.3.如圖，如圖，ABCDABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M M，且且 =

11、 = ， = = ，試用，試用 , , 表示表示 、 、 和和 . .ABuuu rADMA MBM CMD ABCD ACABADab, DBABADab. : 在平行四邊形中，又平行四邊形的兩條對(duì)角線互解相平分，1MAAC2111 (ab)ab;222 brabraM MA B A B D CD Cabr1111MBDB(ab)ab;2222 111MCACab;222 111MDMBDBab.222 1.,R,()(1) 0,a0, aa;(5)0,a0, aa;A.2B.3 C.4 D.5 已知?jiǎng)t在以下各命題中正確的說(shuō)法共有與 方向一定相反與 方向一定相同與 是共線向量與方向一定相同與

12、方向一定相反個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)D D3.3.計(jì)算：計(jì)算：11(2a8b)(4a2b)322.(20122.(2012聊城模擬）聊城模擬）在在ABCABC中，已知中，已知D D是是ABAB邊上的一邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)， , ,若若 ，則，則 等于等于（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.DBAD2CBCACD31323131322b aA A4.4.根據(jù)下列各小題中給出的條件，分別判斷四邊形根據(jù)下列各小題中給出的條件，分別判斷四邊形ABCDABCD的的形狀，并給出證明形狀，并給出證明. .1(1)ADBC;(2)ADBC3(3)ABDC,ABAD 且簡(jiǎn)析簡(jiǎn)析: :（1 1）平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等）平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等. .（2 2）梯形，一組對(duì)邊平行且不相等）梯形，一組對(duì)邊平行且不相等. .（3 3）菱形，一組對(duì)邊平行且相等，一組鄰邊相等）菱形，一組對(duì)邊平行且相等，一組鄰邊相等. .5.5.如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)M M是是ABAB的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)N N在線在線段段BDBD上，且有上，且有BN= BDBN= BD，求證：，求證：M M、N N、C C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .31ABCDMN提示：設(shè)提示：設(shè) ，AB=a BCb, 則則 11ab ,631ab2M C113ab63（） .MN 一、一、 的定義及運(yùn)算律的定