隨機(jī)變量及其分布方法總結(jié)經(jīng)典習(xí)題及解答

1、 概率、統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)方法總結(jié)一、離散型隨機(jī)變量及其分布列1. 離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。常用大寫英文字母X、Y等或希臘字母、等表示。 2.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為： x1，x2，x3，取每一個(gè)值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機(jī)變量的分布列 3. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： Pi0，i1，2， P1+P2+=1.常用性質(zhì)來(lái)判斷所求隨機(jī)變量的分布列是否正確！二、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型 考點(diǎn)一: 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)1隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為P(n)(n1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P()

2、的值為 ABCD答案：D考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量及其分布列的計(jì)算2有六節(jié)電池，其中有2只沒電，4只有電，每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試，不放回，直至分清楚有電沒電為止，所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列。解：由題知2，3，4，5 表示前2只測(cè)試均為沒電， 表示前兩次中一好一壞，第三次為壞， 表示前四只均為好，或前三只中一壞二好，第四個(gè)為壞， 表示前四只三好一壞，第五只為壞或前四只三好一壞第五只為好 分布列為2345P三、 條件概率、事件的獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布與超幾何分布1條件概率：稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。2. 相互獨(dú)立事件：如果事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概

3、率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。如果事件A、B是相互獨(dú)立事件，那么，A與、與B、與都是相互獨(dú)立事件兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。我們把兩個(gè)事件A、B同時(shí)發(fā)生記作A·B，則有P（A·B）= P（A）·P（B）推廣：如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即：P（A1·A2··An）= P（A1）·P（A2）··P(An)3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn): 在同樣的條件下，重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中，每一

4、次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.4.如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式：Pn（k）=CP k（1p）nk,其中，k=0,1,2，,n.5.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二

5、項(xiàng)分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)6. 兩點(diǎn)分布： X 0 1 P 1p p 7.超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則其中，。稱分布列 X 0 1 m P 為超幾何分布列， 稱X服從超幾何分布。 四、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型 題型1. 條件概率例1 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)，每位數(shù)字都可從09中任選，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：按第一次不對(duì)的情況下，第二次按對(duì)的概率；任意按最后一位數(shù)字，按兩次恰好按對(duì)的概率；若他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率解析：設(shè)事件表示第次按對(duì)密碼事件表示恰好按

6、兩次按對(duì)密碼，則設(shè)事件表示最后一位按偶數(shù)，事件表示不超過2次按對(duì)密碼，因?yàn)槭录c事件為互斥事件，由概率的加法公式得：說明：條件概率相當(dāng)于隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間發(fā)生了變化，事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率可以看成在樣本空間為事件A中事件B發(fā)生的概率，從而得出求條件概率的另一種方法縮減樣本空間法題型2.相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例2某公司是否對(duì)某一項(xiàng)目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定他們?nèi)硕加小巴狻?、“中立”、“反?duì)”三類票各一張投票時(shí)，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對(duì)該項(xiàng)目投資；否

7、則，放棄對(duì)該項(xiàng)目投資（）求此公司一致決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率；（）求此公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率；解析：（）此公司一致決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率P= ()3（）此公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率為PC32()2()C33()3答: （）此公司一致決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率為（）此公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率為.說明： 除注意事件的獨(dú)立性外, 還要注意恰有次發(fā)生與指定次發(fā)生的區(qū)別, 對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說,前者的概率為,后者的概率為題型3: 兩點(diǎn)分布與超幾何分布的應(yīng)用例3 高二（十）班共50名同學(xué)，其中35名男生，15名女生，隨機(jī)從中取出5名同學(xué)參加學(xué)生代表大會(huì)，所取出的5名學(xué)生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布如何？解析

8、：從50名學(xué)生中隨機(jī)取5人共有種方法，沒有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名學(xué)生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布為：X012345P題型4: 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的應(yīng)用例題4：在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列；（2）放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列.解：（1）不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)服從參數(shù)為10,2,3超幾何分布：P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列為012（2）放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)B（3,0.2）：P（=k）=C

9、·0.83k·0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列為0123C0.83C0.82·0.2C0.8·0.22C0.23五、離散型隨機(jī)變量的期望和方差1數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望2.期望的一個(gè)性質(zhì): 3.若B（n,p），則E=np 4.方差: 5.標(biāo)準(zhǔn)差:叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差6.方差的性質(zhì)： ； 7.若B(n，p)，則np(1-p) 六、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型題型一：離散型隨機(jī)變量的期望與方差 例題1：為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳

10、，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為。（）求n,p的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率解析： (1)由得,從而的分布列為0123456(2)記”需要補(bǔ)種沙柳”為事件A, 則 得 或 例題2：一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查（取出的產(chǎn)品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品.（1）求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率；（2）記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)

11、為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，. 即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為 （2）的可能取值為1，2，3 =，=，=， 的概率分布列為：123= 七、正態(tài)分布1. 正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：式中是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)（期望值）與標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)時(shí)得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)： 曲線位于x軸上方，與x軸不相交； 曲線是單峰的，關(guān)于直線x 對(duì)稱； 曲線在x處達(dá)到峰值； 曲線與x軸之間的面積為1；3. 是參數(shù)與圖象的關(guān)系: 當(dāng)一定時(shí)，曲線隨質(zhì)的變化沿x軸平移； 當(dāng)一定時(shí)，曲線形狀由確定：越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；越小，曲線越“高瘦”，表示總體分

12、布越集中。(1)P=0.683；(2)P=0.954 (3)P=0.997八、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型考點(diǎn)一： 正態(tài)分布的應(yīng)用例題1：某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是 （ ）A該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分；B分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同；C分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同；D該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10.答案：B例題2：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則c= ( )A.1 B.2 C.3D.4答案:B九、獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析1、獨(dú)立性檢驗(yàn)：列聯(lián)表：為了研究事件與的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到一張列聯(lián)表，如

13、下表所示 合計(jì)合計(jì)卡方統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是 經(jīng)過對(duì)統(tǒng)計(jì)量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個(gè)臨界值：與.當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，事件與無(wú)關(guān).2、相關(guān)性檢驗(yàn)對(duì)于變量與隨機(jī)抽取到的對(duì)數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù) r具有以下性質(zhì)：當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|1,并且|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱;相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) 根據(jù)小概率與在附表中找出的一個(gè)臨界值 根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出值 用統(tǒng)計(jì)判斷.當(dāng)時(shí)有95%的把握說兩個(gè)變量間具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)時(shí)二者無(wú)相關(guān)關(guān)系。十、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型1.獨(dú)立性檢驗(yàn)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科文科男1310女720已知P（3.841）0.05，P（6.635）0.01.根據(jù)表中