高中物理競賽輔導(dǎo)動(dòng)量 角動(dòng)量和能量

1、 動(dòng)量 角動(dòng)量和能量§4.1 動(dòng)量與沖量 動(dòng)量定理 41 1動(dòng)量在牛頓定律建立以前，人們?yōu)榱肆慷任矬w作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的“運(yùn)動(dòng)量”，引入了動(dòng)量的概念。當(dāng)時(shí)在研究碰撞和打擊問題時(shí)認(rèn)識(shí)到：物體的質(zhì)量和速度越大，其“運(yùn)動(dòng)量”就越大。物體的質(zhì)量和速度的乘積mv遵從一定的規(guī)律，例如，在兩物體碰撞過程中，它們的改變必然是數(shù)值相等、方向相反。在這些事實(shí)基礎(chǔ)上，人們就引用mv來量度物體的“運(yùn)動(dòng)量”，稱之為動(dòng)量。 412沖量要使原來靜止的物體獲得某一速度，可以用較大的力作用較短的時(shí)間或用較小的力作用較長的時(shí)間，只要力F和力作用的時(shí)間的乘積相同，所產(chǎn)生的改變這個(gè)物體的速度效果就一樣，在物理學(xué)中把F叫做沖量。 4

2、13質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理由牛頓定律，容易得出它們的聯(lián)系：對(duì)單個(gè)物體： 即沖量等于動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。 在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，當(dāng)不在一直線上時(shí)，可將矢量投影到某方向上，分量式為： 對(duì)于多個(gè)物體組成的物體系，按照力的作用者劃分成內(nèi)力和外力。對(duì)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)用動(dòng)量定理： 第1個(gè) 外+內(nèi)= 第2個(gè) 外+內(nèi)= 第n個(gè) 外+內(nèi)= 由牛頓第三定律： 內(nèi)+內(nèi)+內(nèi)=0因此得到：外+外+ +外=（+）-（+） 即：質(zhì)點(diǎn)系所有外力的沖量和等于物體系總動(dòng)量的增量。 OB§4，2 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律動(dòng)量對(duì)空間某點(diǎn)或某軸線的矩，叫動(dòng)量矩，

3、也叫角動(dòng)量。它的求法跟力矩完全一樣，只要把力F換成動(dòng)量P即可，故B點(diǎn)上的動(dòng)量P對(duì)原點(diǎn)O的動(dòng)量矩J為 （） 以下介紹兩個(gè)定理：（1）.角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)或某軸線的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)比同點(diǎn)或同軸的力矩，即 （為力矩）。（2）角動(dòng)量守恒定律 如果質(zhì)點(diǎn)不受外力作用，或雖受外力作用，但諸外力對(duì)某點(diǎn)的合力矩為零，則對(duì)該點(diǎn)來講，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩J為一恒矢量，這個(gè)關(guān)系叫做角動(dòng)量守恒定律 即 r×F=0，則J=r×mv=r×P=恒矢量 §4.3動(dòng)量守恒定律 動(dòng)量守恒定律是人們在長期實(shí)踐的基礎(chǔ)上建立的，首先在碰撞問題的研究中發(fā)現(xiàn)了它，隨著

4、實(shí)踐范圍的擴(kuò)大，逐步認(rèn)識(shí)到它具有普遍意義， 對(duì)于相互作用的系統(tǒng)，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可得出物體的總動(dòng)量保持不變。即： +=上式就是動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）動(dòng)量是矢量，相互作用的物體組成的系統(tǒng)的總動(dòng)量是指組成物體系的所有物體的動(dòng)量的矢量和，而不是代數(shù)和，在具體計(jì)算時(shí)，經(jīng)常采用正交分解法，寫出動(dòng)量守恒定律的分量方程，這樣可把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，（2）在合外力為零時(shí)，盡管系統(tǒng)的總動(dòng)量恒定不變，但組成系統(tǒng)的各個(gè)物體的動(dòng)量卻可能不斷變化，系統(tǒng)的內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)量，卻不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。在合外力不為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量就要

5、發(fā)生改變，但在垂直于合外力方向上系統(tǒng)的動(dòng)量應(yīng)保持不變，即合外力的分量在某一方向上為零，則系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量分量守恒。（3）動(dòng)量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實(shí)際問題時(shí)，系統(tǒng)受到的合外力不為零，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，我們?nèi)钥梢园阉?dāng)作合外力為零進(jìn)行處理，動(dòng)量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等時(shí)間極短的問題時(shí)，可忽略外力的沖量，系統(tǒng)動(dòng)量近似認(rèn)為守恒。 （4）動(dòng)量守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，牛頓定律對(duì)于分子、原子等微觀粒子一般不適用，而動(dòng)量守恒定律卻仍適用。因此，動(dòng)量守恒定律是一條基本規(guī)律，它比牛頓定律具有更大的普遍性。 動(dòng)量守恒定律的推廣 由于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系在不受外力的作用時(shí)，它的總動(dòng)量是守恒的

6、，所以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)討論包含了三層含意：圖4-3-2圖4-3-1（1）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是不動(dòng)的，那么在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動(dòng)，即位置不變。（2）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是運(yùn)動(dòng)的，那么在無外力作用的條件下，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心將以原來的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。（3）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在某一個(gè)外力作用下作某種運(yùn)動(dòng)，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)。比如某一物體原來做拋體運(yùn)動(dòng)，如果突然炸成兩塊，那么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運(yùn)動(dòng)。 如果一個(gè)質(zhì)量為的半圓形槽A原來靜止在水平面上，原槽半徑為R。將一個(gè)質(zhì)量為的滑塊B由靜止釋放（圖4-3-1），若不計(jì)

7、一切摩擦，問A的最大位移為多少？ 由于A做的是較復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)，因此很難用牛頓定律來解。由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，可知B一定能到達(dá)槽A右邊的最高端，而且這一瞬間A、B相對(duì)靜止。因?yàn)锳、B組成的體系原來在水平方向的動(dòng)量為零，所以它的質(zhì)心位置應(yīng)該不變，初始狀態(tài)A、B的質(zhì)心距離圓槽最低點(diǎn)的水平距離為：。所以B滑到槽A的右邊最高端時(shí)，A的位移為（圖4-3-2） 如果原來A、B一起以速度向右運(yùn)動(dòng)，用膠水將B粘在槽A左上端，某一時(shí)刻膠水突然失效，B開始滑落，仍然忽略一切摩擦。設(shè)從B脫落到B再次與A相對(duì)靜止的時(shí)間是，那么這段時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)了多少距離？ B脫落后，A將開始做變加速運(yùn)動(dòng)，但A、B兩物體的質(zhì)

8、心仍然以速度向右運(yùn)動(dòng)。所以在時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的距離為：sF0圖4-4-1 §4.4 功和功率441功的概念力和力的方向上位移的乘積稱為功。即 式中是力矢量F與位移矢量s之間的夾角。功是標(biāo)量，有正、負(fù)。外力對(duì)物體的總功或合外力對(duì)物體所做功等于各個(gè)力對(duì)物體所做功的代數(shù)和。 對(duì)于變力對(duì)物體所做功，則可用求和來表示力所做功，即 也可以用F=F（s）圖象的“面積”來表示功的大小，如圖4-4-1所示。 由于物體運(yùn)動(dòng)與參照系的選擇有關(guān)，因此在不同的參照系中，功的大小可以有不同的數(shù)值，但是一對(duì)作用力與反作用力做功之和與參照系的選擇無關(guān)。因?yàn)樽饔昧Ψ醋饔昧ψ龉χ腿Q于力和相對(duì)位移，相對(duì)位移是與

9、參照系無關(guān)的。值得注意的是，功的定義式中力F應(yīng)為恒力。如F為變力中學(xué)階段常用如下幾種處理方法：（1）微元法；（2）圖象法；（3）等效法。圖4-4-2442. 幾種力的功下面先介紹一下“保守力”與“耗散力”。 具有“做功與路徑無關(guān)”這一特點(diǎn)的力稱為保守力，如重力、彈力和萬有引力都屬于保守力。不具有這種特點(diǎn)的力稱為非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球附近一個(gè)小范圍內(nèi)我們認(rèn)為是恒力，所以從高度處將重力為mg的物移到高處。重力做功為：，顯然與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。（2）彈簧彈力的功 物體在彈簧彈力F=-kx的作用下，從位置運(yùn)動(dòng)至位置，如圖4-4-2（a）所示，其彈力變化F=F（x）如圖4-

10、4-2（b）所示則該過程中彈力的功W可用圖中斜線“面積”表示，功大小為（3）萬有引力的功 質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在另一質(zhì)量M的質(zhì)點(diǎn)的作用下由相對(duì)距離運(yùn)動(dòng)至相對(duì)距離的過程中，引力所做功為 443.功率作用于物體的力在單位時(shí)間內(nèi)所做功稱為功率，表達(dá)式為求瞬時(shí)功率，取時(shí)間則為式中v為某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，為此刻v與F方向的夾角§45 動(dòng)能 動(dòng)能定理451 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所具有動(dòng)能為: 動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能發(fā)生變化時(shí)，是由于外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做了功，其關(guān)系是: W外=上式表明外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。452質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 若質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)

11、組成，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)都會(huì)受到來自于系統(tǒng)以外的作用力（外力）和系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對(duì)它作用力（內(nèi)力），在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些力都將做功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，選取適當(dāng)?shù)膽T性系，對(duì)其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理外+內(nèi)=對(duì)所有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理求和就有 外+內(nèi)= 若用W外、W內(nèi)、分別表示外、內(nèi)、則上式可寫成W外+ W內(nèi)=-由此可見，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，外力做的功與內(nèi)力做的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理一樣，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理只適用于慣性系，但質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理中的W內(nèi)一項(xiàng)卻是和所選的參照系無關(guān)的，因?yàn)閮?nèi)力做的功取決于相對(duì)位移，而相對(duì)位移和所選的參照系是無關(guān)的。這一點(diǎn)有時(shí)在解題時(shí)十分有效。&

12、#167;46 勢能461 勢能 若兩質(zhì)點(diǎn)間存在著相互作用的保守力作用，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生改變時(shí)，不管途徑如何，只要相對(duì)位置的初態(tài)、終態(tài)確定，則保守力做功是確定的。存在于保守力相互作用質(zhì)點(diǎn)之間的，由其相對(duì)位置所決定的能量稱為質(zhì)點(diǎn)的勢能。規(guī)定保守力所做功等于勢能變化的負(fù)值，即W保=。（1）勢能的相對(duì)性。 通常選定某一狀態(tài)為系統(tǒng)勢能的零值狀態(tài)，則任何狀態(tài)至零勢能狀態(tài)保守力所做功大小等于該狀態(tài)下系統(tǒng)的勢能值。原則上零勢能狀態(tài)可以任意選取，因而勢能具有相對(duì)性。（2）勢能是屬于保守力相互作用系統(tǒng)的，而不是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)獨(dú)有的。（3）只有保守力才有相應(yīng)的勢能，而非保守力沒有與之相應(yīng)的勢能。462 常見的幾種勢

13、能（1）重力勢能 在地球表面附近小范圍內(nèi)，mg重力可視為恒力，取地面為零勢能面，則h高處重物m的重力勢能為 （2）彈簧的彈性勢能 取彈簧處于原長時(shí)為彈性勢能零點(diǎn)，當(dāng)彈簧伸長（壓縮）x時(shí)，彈力F=-kx，彈力做的功為 由前面保守力所做功與勢能變化關(guān)系可知 （3）引力勢能 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M、m相距無窮遠(yuǎn)處，規(guī)定，設(shè)m從無窮遠(yuǎn)處移近M，引力做功W，由于F引=，大小隨r變化，可采用微元法分段求和方式。如圖4-5-1，取質(zhì)點(diǎn)n由A到B，位移為，引力做功很小，、差異很小，則由無窮遠(yuǎn)至距r處，引力功W為 圖4-6-1開始時(shí)，最后相對(duì)距離為=r又有 質(zhì)點(diǎn)與均勻球體間引力勢能，在球體外，可認(rèn)為球體質(zhì)量集中于球心，所以

14、引力勢能為 rR R為球半徑 質(zhì)量M，半徑為R的薄球殼，由于其內(nèi)部引力合力為零，故任意兩點(diǎn)間移動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m，引力均不做功，引力勢能為恒量，所以質(zhì)量m質(zhì)點(diǎn)在薄球殼附近引力勢能為 = §47 功能原理和機(jī)械能守恒定律471 功能原理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有保守力作用和非保守力作用時(shí)，內(nèi)力所做功又可分為而由保守力做功特點(diǎn)知，保守力做功等于勢能增量的負(fù)值，即 于是得到用E表示勢能與動(dòng)能之和，稱為系統(tǒng)機(jī)械能，結(jié)果得到 外力的功和非保守力內(nèi)力所做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能原理?？梢缘玫剑ㄍ饬ψ稣κ刮矬w系機(jī)械能增加，而內(nèi)部的非保守力作負(fù)功會(huì)使物體系的機(jī)械能減少）。

15、 功能原理適用于分析既有外力做功，又有內(nèi)部非保守力做功的物體系，請(qǐng)看下題：圖4-7-1 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個(gè)質(zhì)量為m的木塊（圖4-7-1）開始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。然后加一個(gè)水平向右的恒力作用于木塊上。（1）要保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊，此恒力F不得小于多少？（2）用這個(gè)力F拉木塊，當(dāng)木塊的速度再次為零時(shí)，彈簧可能的伸長量是多少？ 題目告知“開始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明確切的位置，也就是說木塊在該位置時(shí)所受的靜摩擦力和彈簧的形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時(shí)，木塊在O點(diǎn)，那么當(dāng)木塊在O點(diǎn)右方

16、時(shí)，所受的彈簧的作用力向右。因?yàn)槟緣K初始狀態(tài)是靜止的，所以彈簧的拉力不能大于木塊所受的最大靜摩擦力。要將木塊向右拉動(dòng)，還需要克服一個(gè)向左的靜摩擦力，所以只要F2，即可保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊。 設(shè)物體的初始位置為，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在此過程中，外部有力F做功，內(nèi)部有非保守力f做功，木塊的動(dòng)能增量為零，所以根據(jù)物體系的功能原理有可得因?yàn)槟緣K一開始靜止，所以要求 可見，當(dāng)木塊再次靜止時(shí)，彈簧可能的伸長是 472 機(jī)械能守恒定律 若外力的與非保守內(nèi)力的功之和為零時(shí)，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，這就是機(jī)械能守恒定律。 注意：該定律只適用于慣性系，它同時(shí)必須是選擇同一慣性參照系。

17、在機(jī)械能守恒系統(tǒng)中，由于保守內(nèi)力做功，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能則保持不變。下面介紹一例由機(jī)械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流體 不可壓縮的、沒有粘滯性的流體，稱為理想流體。定常流動(dòng) 觀察一段河床比較平緩的河水的流動(dòng)，你可以看到河水平靜地流著，過一會(huì)兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速?zèng)]有什么變化。河水不斷地流走，可是這段圖4-7-2河水的流動(dòng)狀態(tài)沒有改變。河水的這種流動(dòng)就是定常流動(dòng)。流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過空間各點(diǎn)的流速雖然可以不同，但如果空間每一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變，這樣的流動(dòng)就叫做定常流動(dòng)。自來水管中的水流，石油管道中石油的流動(dòng)，都可以看做定常流動(dòng)。流體的流動(dòng)可以用流線形象地表示

18、。在定常流動(dòng)中，流線表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4-7-2是液體流過圓柱體時(shí)流線的分布。A、B處液體流過的橫截面積大，CD處液體流過的橫截面積小。液體在CD處流得急，流速大。AB處的流線疏，CD處的流線密，這樣，從流線的分布可以知道流速的大小。流線疏的地方，流速小；流線密的地方，流速大。伯努利方程 現(xiàn)在研究理想流體做定常流動(dòng)時(shí)流體中壓強(qiáng)和流速的關(guān)系。圖4-7-3表示一個(gè)細(xì)管，其中流體由左向右流動(dòng)。在管的處和處用橫截面截出一段流體，即處和處之間的流體，作為研究對(duì)象。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為，方向垂直于向右。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對(duì)研究

19、對(duì)象的壓強(qiáng)為，方向垂直于向左。 經(jīng)過很短的時(shí)間間隔，這段流體的左端由移到。右端由移到。圖4-7-3兩端移動(dòng)的距離分別為和。左端流入的流體體積為，右端流出的流體體積為，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，記為。 現(xiàn)在考慮左右兩端的力對(duì)這段流體所做的功。作用在液體左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的總功 （1） 外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的機(jī)械能是到這段流體的機(jī)械能，末狀態(tài)的機(jī)械能是到這段流體的機(jī)械能。由到這一段，經(jīng)過時(shí)間，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定常流動(dòng)，流體的密度和各點(diǎn)的流速?zèng)]有改變，動(dòng)能和重力勢能都沒有改變，所以這一段的機(jī)械能

20、沒有改變，這樣機(jī)械能的改變就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能。 由于，所以流入的那部分流體的動(dòng)能為 重力勢能為流出流體的動(dòng)能為 重力勢能為機(jī)械能的改變?yōu)?（2） 理想流體沒有粘滯性，流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩端受的力所做的總功W等于機(jī)械能的改變，即 W= （3）將（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得圖4-7-4 （4）和是在流體中任意取的，所以上式可表示為對(duì)管中流體的任意處： 常量 （5） （4）式和（5）式稱為伯努利方程。 流體水平流動(dòng)時(shí)，或者高度差的影響不顯著時(shí)（如氣體的流動(dòng)），伯努利方程可表達(dá)為 常量 （6） 從（6）式可知，在流動(dòng)的

21、流體中，壓強(qiáng)跟流速有關(guān)，流速v大的地方要強(qiáng)p小，流速v小的地方壓強(qiáng)p大。知道壓強(qiáng)和流速的關(guān)系，就可以解釋本節(jié)開始所做的實(shí)驗(yàn)了。經(jīng)過漏斗吹乒乓球時(shí)，乒乓球上方空氣的流速大，圖4-7-5壓強(qiáng)小，下方空氣的壓強(qiáng)大，乒乓球受到向上的力，所以會(huì)貼在漏斗上不會(huì)掉下來。向兩張紙中間吹氣，兩張紙中間空氣的流速大，壓強(qiáng)小，外邊空氣的壓強(qiáng)大，所以兩張紙將互相貼近。同樣的道理，兩艘并排的船同向行駛時(shí)（圖4-7-4）如果速度較大，兩船會(huì)互相靠近，有相撞的危險(xiǎn)。歷史上就曾經(jīng)發(fā)生過這類事故。在航海中。對(duì)并排同向行駛的船舶，要限制航速和兩船的距離。伯努利方程的應(yīng)用： 球類比賽中的旋轉(zhuǎn)球和不轉(zhuǎn)球的飛行軌跡不同，是因?yàn)榍蛑車?/p>

22、氣流動(dòng)情況不同造成的。圖4-7-5甲表示不轉(zhuǎn)球水平向左運(yùn)動(dòng)時(shí)周圍空氣的流線。球的上方和下方流線對(duì)稱，流速相同，上下不產(chǎn)生壓強(qiáng)差。現(xiàn)在考慮球的旋轉(zhuǎn)，致使球的下方空氣的流速增大，上方流速減小，周圍空氣流線如圖乙所示。球的下方流速大，壓強(qiáng)小，上方流速小，壓強(qiáng)大。跟不轉(zhuǎn)球相比，圖4-1-6乙所示旋轉(zhuǎn)球因?yàn)樾D(zhuǎn)而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。 例：如圖4-7-6所示，用一彈簧把兩物塊A和B連接起來后，置于水平地面上。已知A和B的質(zhì)量分別為和。問應(yīng)給物塊A上加多大的壓力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后會(huì)出圖4-7-6現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況？彈簧的質(zhì)量略去不計(jì)。設(shè)彈簧原長為，建立如圖4-7-7所示的坐

23、標(biāo)，以k表示彈簧的勁度系數(shù)，則有 取圖中O點(diǎn)處為重力勢能零點(diǎn)，當(dāng)A受力F由O點(diǎn)再被壓縮了x時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為 圖4-7-7撤去F當(dāng)A上升到最高處即彈簧較其自然長度再伸長時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為 A在x處時(shí)，其受力滿足 ，以式的代入上式，乃有 當(dāng)F撤去A上升到處時(shí)，彈簧的彈力大小為，設(shè)此時(shí)B受到地面的支持力為N，則對(duì)于B應(yīng)有 要B對(duì)地?zé)o壓力，即N=0，則上式變?yōu)?因?yàn)锳由x處上升至處的過程中，對(duì)此系統(tǒng)無外力和耗散力作功，則其機(jī)械能守恒，即 = 聯(lián)立解式，可得 。 顯然，要出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，應(yīng)為（。當(dāng)F=（時(shí)，剛好能出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，但B不會(huì)離開地面；當(dāng)F（時(shí)，B將出現(xiàn)離開地面向上跳起的情況

24、。 §48 碰撞 質(zhì)量和的兩個(gè)物塊，在直線上發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞前后速度分別為和及和，碰撞前后速度在一條直線上，由動(dòng)量守恒定律得到根據(jù)兩物塊在碰撞過程中的恢復(fù)情況，碰撞又可分類為下列幾種（1）彈性碰撞在碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由動(dòng)能守恒有結(jié)合動(dòng)量守恒解得對(duì)上述結(jié)果可作如下討論，則，即交換速度。若，且有=0，則，即質(zhì)量大物速度幾乎不變，小物以二倍于大物速度運(yùn)動(dòng)。若，且=0，則，則質(zhì)量大物幾乎不動(dòng)，而質(zhì)量小物原速率反彈。（2） 完全非彈性碰撞 兩物相碰粘合在一起或具有相同速度，被稱為完全非彈性碰撞，在完全非彈性碰撞中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，損失機(jī)械能最大。 碰撞過程中

25、損失的機(jī)械能為圖4-9-1（3 ）一般非彈性碰撞，恢復(fù)系數(shù)一般非彈性碰撞是指碰撞后兩物分開，速度，且碰撞過程中有機(jī)械損失，但比完全非彈性碰撞損失機(jī)械能要小。物理學(xué)中用恢復(fù)系數(shù)來表征碰撞性質(zhì)?；謴?fù)系數(shù)e定義為 彈性碰撞， e=1。完全非彈性碰撞 ，e=0。一般非彈性碰撞 0e1。（4） 斜碰兩物碰撞前后不在一條直線上，屬于斜碰，如圖4-9-1所示設(shè)兩物間的恢復(fù)系數(shù)為e，設(shè)碰撞前、速度為、，其法向、切向分量分別為、，碰后分離速度、，法向、切向速度分量、，則有若兩物接觸處光滑，則應(yīng)有、切向速度分量不變 、若兩物接觸處有切向摩擦，這一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向沖量便不可忽略

26、。§49 質(zhì)心及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)491 質(zhì)心及質(zhì)心位置 任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中都存在著一個(gè)稱為質(zhì)心的特殊點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)與內(nèi)力無關(guān)，只取決于外力。當(dāng)需要將質(zhì)點(diǎn)組處理成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，它的質(zhì)量就是質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量。當(dāng)需要確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就設(shè)想把質(zhì)點(diǎn)組所受的全部外力集中作用在質(zhì)心上。 注意：質(zhì)心是一個(gè)假想的質(zhì)點(diǎn)。 設(shè)空間有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量、位置分別記作、，質(zhì)量組質(zhì)心記為C，則質(zhì)量、位置。 在、直角坐標(biāo)系中，記錄質(zhì)心的坐標(biāo)位置為492、質(zhì)心的速度、加速度、動(dòng)量質(zhì)心速度，在空間直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心速度可表達(dá)為質(zhì)心的動(dòng)量，質(zhì)心的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)組中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。質(zhì)心的加速度由上式可見，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組所受合外力為零時(shí)，質(zhì)

27、心將保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同樣，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理也可表述為外力的沖量的矢量和等于質(zhì)心動(dòng)量的增量。493、質(zhì)心的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能以二個(gè)質(zhì)點(diǎn)為例，質(zhì)量、兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于靜止參照系速度、，質(zhì)心C的速度，二質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心速度是和，可以證明有 即二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心動(dòng)能之和。 §410天體的運(yùn)動(dòng)與能量4101、天體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒二體系統(tǒng)的機(jī)械能E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與各天體的動(dòng)能之和。僅有一個(gè)天體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，則E為系統(tǒng)的萬有引力勢能與其動(dòng)能之和。由于沒有其他外力作用，系統(tǒng)內(nèi)萬有引力屬于保守力，故有機(jī)械能守恒，E為一恒量，如圖4-10-1所示，設(shè)M天體

28、不動(dòng)，m天體繞M天體轉(zhuǎn)動(dòng)，則由機(jī)械動(dòng)能守恒，有圖4-10-1當(dāng)運(yùn)動(dòng)天體背離不動(dòng)天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不斷增大，而將不斷減小，可達(dá)無窮遠(yuǎn)處，此時(shí)而0，則應(yīng)滿足E0，即例如從地球發(fā)射人造衛(wèi)星要掙脫地球束縛必有圖4-10-2我們稱=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為倍。另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬有引力屬于有心力，所以對(duì)m而言，遵循角動(dòng)量守恒 或 方向的夾角。它實(shí)質(zhì)可變換得到開普勒第二定律，即行星與恒星連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過面積等。 4102、天體運(yùn)動(dòng)的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬有引力作用下運(yùn)動(dòng)，其圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲線。i）橢圓軌道如圖4-7-1所示

29、，設(shè)橢圓軌道方程為 （a>b）則橢圓長，短半軸為a、b，焦距，近地點(diǎn)速度，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度，則有或由開普勒第二定律： 可解得代入E得ii)拋物線設(shè)拋物線方程為太陽在其焦點(diǎn)（）處，則m在拋物線頂點(diǎn)處能量為可以證明拋物線頂點(diǎn)處曲率半徑，則有得到圖4-10-3拋物線軌道能量 iii）雙曲線設(shè)雙曲線方程為焦距，太陽位于焦點(diǎn)（C，0），星體m在雙曲線正半支上運(yùn)動(dòng)。如圖4-10-3所示，其漸近線OE方程為y=bx/a，考慮m在D處與無窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有考慮到當(dāng)，運(yùn)動(dòng)方向逼近漸近線，焦點(diǎn)與漸近線距為故有 或 聯(lián)解得雙曲線軌道能量小結(jié) 橢圓軌道 拋物線軌道 雙曲線軌道以下舉一個(gè)例子質(zhì)量為m的宇宙飛船繞地球中心0作

30、圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R，飛船軌道半徑為2R。圖4-10-4現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上，如圖4-10-4所示，求（1）轉(zhuǎn)移所需的最少能量；（2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處A和B的速度變化各為多少？解: （1）宇宙飛船在2R軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力，令其速度為，乃有 故得 此時(shí)飛船的動(dòng)能和引力勢能分別為所以飛船在2R軌道上的機(jī)械能為同理可得飛船在4R軌道上的機(jī)械能為 以兩軌道上飛船所具有的機(jī)械能比較，知其機(jī)械能的增量即為實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移所需的最少能量，即 （2）由（1）已得飛船在2R軌道上運(yùn)行的速度為 同樣可得飛船4

31、R軌道上運(yùn)行的速度為 設(shè)飛船沿圖示半橢圓軌道ACB運(yùn)行時(shí)，在A、B兩點(diǎn)的速度分別為。則由開普勒第二定律可得 又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運(yùn)行中機(jī)械能守恒，故應(yīng)有聯(lián)立以上兩式解之可得故得飛船在A、B兩軌道交接處的速度變化量分別為 a圖4-10-5 例如：三個(gè)鋼球A、B、C由輕質(zhì)的長為的硬桿連接，豎立在水平面上，如圖4-10-5所示。已知三球質(zhì)量，距離桿處有一面豎直墻。因受微小擾動(dòng)，兩桿分別向兩邊滑動(dòng)，使B球豎直位置下降。致使C球與墻面發(fā)生碰撞。設(shè)C球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計(jì)，各球的直徑都比小很多，求B球落地瞬間三球的速度大小。 解： （1）球碰墻前三球的位置 視A、B、C三者為一系統(tǒng)，A、C在水平面上滑動(dòng)時(shí)，只要C不與墻