高中數(shù)學(xué)橢圓超經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)典型例題講解

1、學(xué)生姓名性別男年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師上課時(shí)間2014年12月13日第（ ）次課共（ ）次課課時(shí)： 課時(shí)教學(xué)課題 橢圓教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)選修2-1橢圓知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)()，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.講練結(jié)合一.橢圓的定義方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是 2若的兩個(gè)頂點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為 知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。講練結(jié)合二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)1.若方程+=1（1）表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值是 .（2）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 ，短軸長(zhǎng)等于 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,焦距是 ，離心率等于 ,3橢圓的焦距為，則= 。4橢圓的一個(gè)

3、焦點(diǎn)是，那么 。講練結(jié)合三待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4. 已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線(xiàn)x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上

4、點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足|x|a，|y|b。（3）頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱(chēng)軸與橢圓的交點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。線(xiàn)段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)

5、兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。注意：橢圓的圖像中線(xiàn)段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；講練結(jié)合四焦點(diǎn)三角形1橢圓的焦點(diǎn)為、，是橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)是 。2設(shè)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上的任一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是多少？的面積的最大值是多少？3設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)若，求的面積五離心率的有關(guān)問(wèn)題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)

6、軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率 講練結(jié)合六.最值問(wèn)題1.橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)2、橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2，A(3，1)點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_(kāi)，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求|PA|的最大值 最小值 。4.設(shè)F是橢圓=1的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,3)在橢圓內(nèi),在橢圓上求一點(diǎn)P使|PA|+2|PF|最小,求P點(diǎn)坐標(biāo) 最小值 .知識(shí)點(diǎn)四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，

7、焦距范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a、b，一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大

8、小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ab0，ac0，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上

9、。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓（ab0）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為（kb2）。此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)： 若把曲線(xiàn)方程中的x換成x，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；若把曲線(xiàn)方程中的y換成y，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；若把曲線(xiàn)方程中的x、y同時(shí)換成x、y，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。8如何解

10、決與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？ 與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線(xiàn)段、，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)閏2=a2b2，ac0，用a、b表示為，當(dāng)越小時(shí)，橢圓越扁，e越大；當(dāng)越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0e1。課后作業(yè)1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|+|PF2|=16，則點(diǎn)P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線(xiàn)段 D 直線(xiàn) 2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1

11、、F2，CD為過(guò)F1的弦，則CDF1的周長(zhǎng)為_(kāi) 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-14、求滿(mǎn)足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6 (2)長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，1) (3) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_(kāi)6.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于P點(diǎn)。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_(kāi)7、已知正方形ABCD，則以

12、A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為_(kāi)橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿(mǎn)足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12，那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 11已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且，弦AB過(guò)點(diǎn)，則的周長(zhǎng) 12.在橢圓+=1上求一點(diǎn)P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)的距離的兩倍 13、中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為,那么這個(gè)橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離,則橢圓的離心率=_.15、橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,準(zhǔn)線(xiàn)方程為,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為10和14,則橢圓方程為 _.16.已知P是橢圓上的點(diǎn),若P到橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為8.5,則P到左焦點(diǎn)的距離為_(kāi).17橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若使最小，則最小值為