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文檔簡(jiǎn)介
1、不 等 式 知識(shí)要點(diǎn)1. 平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):(當(dāng)a = b時(shí)取等)特別地,(當(dāng)a = b時(shí),)例1數(shù)軸穿根法:不等式的解為( )A1x1或x2Bx3或1x2 Cx=4或3x1或x2Dx=4或x3或1x2求定義域的時(shí)候不要寫(xiě)成并集;分子分母同時(shí)約去一項(xiàng)前必須先保證約去的一項(xiàng)不為零例2解關(guān)于的不等式: 分析:本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法,分類(lèi)討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論,得到兩個(gè)不等式組,最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集,得出原不等式的解集。解:當(dāng) 根的分布你還記得嗎。?例3 己知三個(gè)不等式: (1)若同時(shí)滿足、的值
2、也滿足,求m的取值范圍;(2)若滿足的值至少滿足和中的一個(gè),求m的取值范圍。分析:本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對(duì)值不等的解法,以及數(shù)形結(jié)合思想,解本題的關(guān)鍵弄清同時(shí)滿足、的值的滿足的充要條件是:對(duì)應(yīng)的方程的兩根分別在和內(nèi)。不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解:記的解集為A,的解集為B,的解集為C。解得A=(-1,3);解得B=(1) 因同時(shí)滿足、的值也滿足,ABC 設(shè),由的圖象可知:方程的小根小于0,大根大于或等于3時(shí),即可滿足(2) 因滿足的值至少滿足和中的一個(gè),因此小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而
3、說(shuō)明:同時(shí)滿足的x值滿足的充要條件是:對(duì)應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-,0)和3,+)內(nèi),因此有f(0)0且f(3)0,否則不能對(duì)AB中的所有x值滿足條件不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系例6若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且1f(-1)2,3f(1)4,求f(-2)的范圍分析:要求f(-2)的取值范圍,只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù),所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫(xiě)出來(lái)即可求得f(-2)的表達(dá)式,然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組),即可求解解:因?yàn)閥=f(x)的
4、圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范圍是6,10解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob,作出不等式組()所表示的區(qū)域,如圖6中的陰影部分因?yàn)閒(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6,當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(3,1)時(shí),分別取得f(-2)的最小值6,最大值10即f(-2)的取值范圍是:6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而1f(-1)2,3f(1)4, 所以 33f(-1)6 +得43
5、f(-1)+f(1)10,即6f(-2)10說(shuō)明:(1)在解不等式時(shí),要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解:2b,84a12,-3-2b-1,所以 5f(-2)11常見(jiàn)題型:例1已知(為常數(shù)),求的最小值例2已知 ,且,求的最小值例3當(dāng)時(shí),求證:例4 在某兩個(gè)正數(shù)之間插入一個(gè)正數(shù),使成等比數(shù)列;若另外插入兩個(gè)正數(shù),使成等差數(shù)列,求證:大家來(lái)挑錯(cuò)!分析:結(jié)合上一系列題目中的(5)-(7)題可知,本題的解答忽略了對(duì)基本不等式使用時(shí)必須是正數(shù)這一點(diǎn)注意事項(xiàng)。本題的解答在使用基本不等式時(shí)沒(méi)有找到定值條件,只是盲目的套用基本不等式的形式,導(dǎo)致所得結(jié)果并不是最小的值。提醒同學(xué)注意:在使用基本不等式求最值為
6、題時(shí),式中的積或和必須是定值。本題的解答沒(méi)有注意本身的限制,使得基本不等式的等號(hào)無(wú)法取得。提醒同學(xué)注意:最值是否存在要考慮基本不等式中的等號(hào)是否能取得,在什么情況下取得 (x+y)()9. (想一想錯(cuò)在何處?)例4(2007山東卷)函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為_(kāi).【思路點(diǎn)撥】先用恒過(guò)定點(diǎn)這一條件建立一個(gè)關(guān)系式, 再用均值不等式求最值.【解析】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),即,【點(diǎn)評(píng)】本題是用函數(shù)、方程作為隱性條件建立等量關(guān)系式,利用均值不等式求最值的問(wèn)題.題目小巧而靈活多變,是立意很好的題目.含絕對(duì)值的不等式解法(一)主要知識(shí):1絕對(duì)值的幾何意義:是指數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;是指數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 2當(dāng)時(shí),或,; 當(dāng)時(shí),(二)主要方法:1解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào),將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元一次(二次)不等式(組)進(jìn)行求解;2去掉絕對(duì)值的主要方法有:(1)公式法:,或(2)定義法:零點(diǎn)分段法;(3)平方法:不等式兩邊都是非負(fù)時(shí),兩邊同時(shí)平方(三)例題分析:例1解下列不等式:(1);(2);(3)解:(1)原不等式可化為或,原不等式解集為(2)原不等式可化為,即,原不等式解集為(3)當(dāng)時(shí),原不等式可化為,此時(shí);當(dāng)時(shí),原不等式可化為,此時(shí);當(dāng)時(shí),原不等式
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