高等數(shù)學(xué)I1試題

1、高等數(shù)學(xué)I（1）試題選編 1求函數(shù)的極限（1）； （2）；（3） ； （4） ；（5）； （6）。2求數(shù)列的極限： （1） ； （2）；（3），其中為正的常數(shù)。3研究并確定。4求之值使5設(shè)，確定之值，使得當(dāng)時為無窮?。划?dāng)時為無窮大。6設(shè)在內(nèi)有定義，且單調(diào)增加，存在，求證在處連續(xù)。7確定的間斷點，并判定其類型。8求 的間斷點，并指出各間斷點的類型。9求的間斷點，并判定其類型。10求的間斷點，并判定其類型。11設(shè)，確定的連續(xù)區(qū)間，并指出間斷點的類型。12寫出分段函數(shù)的表達式。13設(shè)有次多項式，若此多項式的第一個系數(shù)與最后一個系數(shù)異號，求證方程至少有一個正根。14，若在上連續(xù)，且存在，求證

2、在上有界。15求證 在處連續(xù)但不可導(dǎo)。16常數(shù)取何值時 在處連續(xù)且可導(dǎo)？17設(shè)，求。18設(shè)，求。19設(shè)，求。20設(shè)，求。21設(shè)，求。22設(shè)是由方程所確定，求。23，求由所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。24設(shè)，其中存在且，求及。25設(shè)，其中為常數(shù)，求及。26設(shè)是由方程組所確定，求之值。27設(shè)，求。28設(shè)，求。29設(shè)，求。30設(shè)可微，若，試求，使。31求曲線在點處的切線和法線方程。32求方程所表示的曲線在處的切線方程與法線方程。33設(shè)在二階可導(dǎo)，且曲線與拋物線在內(nèi)有一個交點，求證在內(nèi)至少存在一點，使。34設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有。求證存在使（為自然數(shù)）。35設(shè)在上可導(dǎo)，試證明使。36設(shè)在上二階可導(dǎo)，。求證在存

3、在一點，使。37設(shè)在閉區(qū)間上二階可導(dǎo)，且，求證。38求極限。 （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）（其中為不等于零的常數(shù)）。39確定的單調(diào)區(qū)間。40設(shè)可微函數(shù)由方程所確定，試求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。41已知在處有極值，試確定系數(shù)，并求出所有極值與曲線的拐點。42求證方程只有一個正根。43求函數(shù)在上的最大值與最小值。44外切于半徑為1的定圓的等腰三角形，在什么條件下它的面積最小?45欲做一個橫截面為等腰梯形的水槽，且梯形的腰長及下底長均為b。問水槽的兩側(cè)壁間的夾角為何值時，此水槽有最大的橫截面積？46證明不等式：(1)設(shè),求證.；(2)設(shè),求證。47求曲線對應(yīng)于的曲

4、率及曲率半徑。48求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，可導(dǎo)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，極值點，拐點和漸近線。49求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（13） （14） （15） （16）50求下列不定積分：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） 51設(shè)，求。52求下列定積分： （1），其中為正的常數(shù)，為自然數(shù)； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）。53求極限。54研究反常積分的斂散性。55設(shè) ，證明。56設(shè) ，研究。57求極限。58設(shè) ，其中為連續(xù)函數(shù)，且，若在處連續(xù)，求之值。59設(shè)處處連續(xù)且滿足方程，求。

5、60求在上的最小值和最大值。61已知周期為的函數(shù)在上為連續(xù)的奇函數(shù)。求證也是以為周期的周期函數(shù)。62設(shè)，其中處處連續(xù)，求。63設(shè)為任意的二次多項式，試證，利用上述結(jié)果證明：對任意閉區(qū)間，恒有。64證明。（）65設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)減少，證明有。66求下列曲線所圍成的平面圖形的面積： （1） （2）（3） （4）67求過點與且對稱軸平行于軸，開口向下的拋物線，使它與軸所圍成的平面圖形面積最小。68拋物線與圓相交于三點，問為何值時拋物線與公共弦所圍成的平面圖形面積最大？并求此最大面積，其中為定值，且。69已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求：（1）曲邊三角形的面積； （2）該曲邊三角形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋

6、轉(zhuǎn)體的體積V。70求由和它在處的法線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。71求由直線與拋物線所包圍的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。72已知一立體，以長半軸，短半軸的橢圓為底，而垂直于長軸的截面都是等邊三角形，求其體積。73一個瓷質(zhì)容器，內(nèi)壁和外壁的形狀分別為拋物線繞軸的旋轉(zhuǎn)面，容器的外高為10，比重為，把它鉛直地浮在水中，再注入比重為3的重溶液。問要保持容器不沉沒，注入的溶液其最大深度是多少？（長度單位為厘米）74求曲線之全長。75一物體由靜止開始做直線運動，在秒末的速度為，問（1）在第三秒時物體離開出發(fā)點的距離是多少米？（2）需要多長時間走完343米？162求微分方程滿足的特解。

7、163求微分方程滿足的特解。164求微分方程的通解。165求微分方程滿足的特解。166求微分方程滿足的特解。167求的通解。168求的通解。169求微分方程滿足初始條件的特解。170求的通解。171微分方程的哪一條積分曲線以原點為拐點，且在原點處以為其切線？172求微分方程的通解。173求的通解。174求的通解。175求的一個特解。176已知可導(dǎo)，試確定使是全微分方程，并求此全微分方程的通解。177設(shè)曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，其中可導(dǎo)，且，求。178設(shè)是一階線性微分方程的三個相異特解。求證：為一常數(shù)。179設(shè)在左半平面內(nèi)有一條過點的曲線，其上任一點處的切線斜率為，求此曲線方程。180一單

8、擺長為，質(zhì)量為，作簡諧振動，假定其往來擺動的偏角很小。試求其運動方程，并確定每振動一次的時間。參考答案：1（1） （2）2 （3） （4） （5） （6）22（1）1 （2） （3）30 4 57。8。9 10 11的連續(xù)區(qū)間為，12 1617 1819 2021 2223 24250， 26 2728 2930 31切線：；法線：32切線：；法線38（1）1 （2） （3）0 （4）（5） （6） （7）1 （8）39在上單調(diào)增加；在上單調(diào)減少。40在上單調(diào)增加；在上單調(diào)減少。4143 44當(dāng)外切三角形為等邊三角形時面積最小。45 47 48連續(xù)區(qū)間；可導(dǎo)區(qū)間，單減區(qū)間；單增區(qū)間；極小值點，極大值點；上凹區(qū)間，上凸區(qū)間，拐點和；漸近線。49（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）50（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）5152（1） （2） （3）（4） （5） （6）53 54發(fā)散 56不存在57 58