高中物理競賽—靜電場

1、 真空中的靜電場基 本 要 求一、 理解電場強(qiáng)度和電勢這兩個(gè)基本概念和它們之間的聯(lián)系。二、掌握反映靜電場性質(zhì)的兩個(gè)基本定理高斯定理和環(huán)流定理的重要意義及其應(yīng)用。三、掌握從已知的電荷分布求場強(qiáng)和電勢分布的方法。內(nèi) 容 提 要一、 真空中的庫侖定律庫侖定律的適用條件：1. 點(diǎn)電荷；2. 電荷靜止（或低速）。二、電場和電場強(qiáng)度電場 電荷能夠產(chǎn)生電場。電場是一種客觀存在的物質(zhì)形態(tài)。電場對(duì)外表現(xiàn)的性質(zhì)：1. 對(duì)處于電場中的其他帶電體有作用力；2. 在電場中移動(dòng)其他帶電體時(shí)，電場力要對(duì)它做功，這也表明電場具有能量。電場強(qiáng)度的定義式點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式場強(qiáng)疊加原理 電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)等于每個(gè)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)

2、的疊加（矢量和）。幾種常見帶電體的場強(qiáng)1、電荷線密度為的無限長均勻帶電直線外一點(diǎn)的場強(qiáng) 2、電荷面密度為的無限大均勻帶電平面外一點(diǎn)的場強(qiáng)方向垂直于帶電平面。3、帶電Q、半徑為R的均勻帶電導(dǎo)體球面或?qū)w球的場強(qiáng)分布r<R時(shí)， E =0r>R時(shí)，4、帶電Q、體密度為的均勻帶電球體場強(qiáng)分布r<R時(shí)，r>R時(shí)，三、電通量 高斯定理電場線（電力線）畫法 1. 電場線上某點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)場強(qiáng)方向一致；2. 通過垂直于的單位面積的電場線的條數(shù)等于該點(diǎn)的大小。電場線的性質(zhì) 1. 兩條電場線不能相交；2. 電場線起自正電荷（或無窮遠(yuǎn)處），止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)處），電場線有頭有尾，不是閉

3、合曲線。電場強(qiáng)度通量 電場強(qiáng)度通量也可形象地說成是通過該面積S的電場線的條數(shù)。高斯定理 真空中靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面的電場強(qiáng)度通量等于該曲面所包圍的電量的代數(shù)和的1/e 0倍。高斯定理是描寫靜電場基本性質(zhì)的基本定理，它反映了電場與形成電場的場源（電荷）之間的關(guān)系，說明靜電場是有源場。四、靜電場的保守性 環(huán)路定理靜電力做功的特點(diǎn) 電場力做的功只取決于被移動(dòng)電荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置，與移動(dòng)的路徑無關(guān)。靜電場的環(huán)路定理 上式說明靜電場力所做的功與路徑無關(guān)，也說明靜電場是保守力場。環(huán)路定理是靜電場的另一重要定理，可用環(huán)路定理檢驗(yàn)一個(gè)電場是不是靜電場。環(huán)路定理要求電場線不能閉合，說明靜電場是無旋場。五

4、、電勢能、電勢和電勢差保守力做功和勢能增量的關(guān)系 Aa®b = 2(Wb 2 Wa) q0在電場中a、b兩點(diǎn)電勢能之差等于把q0自a點(diǎn)移至b點(diǎn)過程中電場力所做的功。電勢能 選標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)（勢能零點(diǎn)），且取W標(biāo)=0，q0在電場中某點(diǎn)a的電勢能為即q0自a 移到 “標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)”的過程中電場力做的功。電勢能應(yīng)屬于q0和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)共有。電勢差 a、b兩點(diǎn)的電勢差即把單位正電荷自a®b過程中電場力做的功。電勢 電場中某點(diǎn)的電勢等于把單位正電荷自該點(diǎn)移到“標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)”過程中電場力做的功。點(diǎn)電荷電勢公式 電勢疊加原理 電場中某點(diǎn)的電勢等于各電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的疊加（代數(shù)和）。六、場強(qiáng)和

5、電勢的關(guān)系 電勢梯度等勢面 電勢相等的點(diǎn)組成的面。等勢面和電場線的關(guān)系 等勢面與電場線處處垂直；電場線從高電勢處指向低電勢處；等勢面密處場強(qiáng)大。場強(qiáng)和電勢梯度的微分關(guān)系 或 解題方法與例題分析一、求場強(qiáng)的方法在普通物理學(xué)中，求解靜電場的場強(qiáng)的基本方法通常有以下三種：1. 用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理求場強(qiáng)；2. 由高斯定理求場強(qiáng)，這種方法只能求解一些典型的對(duì)稱性分布的帶電體的場強(qiáng)；3. 已知或求出電勢分布U后，再由求場強(qiáng)。熟練掌握求解靜電場場強(qiáng)的這三種方法是學(xué)好電磁學(xué)的關(guān)鍵。1. 用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理求場強(qiáng)原則上說，用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理可以求任何帶電體所產(chǎn)生的場強(qiáng)。帶電體

6、可以分為連續(xù)和非連續(xù)帶電體，非連續(xù)帶電體（如電偶極子）的場強(qiáng)的求解方法較簡單，本書主要介紹連續(xù)帶電體的場強(qiáng)的求解方法積分法。用積分方法求任意帶電體的場強(qiáng)的基本思想是把帶電體看作電荷元的集合（電荷元可以是線元、面元或體元）。在電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)為各電荷元在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。積分法解題的主要步驟如下：將帶電體分成無數(shù)的電荷元，每一電荷元可視為點(diǎn)電荷，任一電荷元在空間某點(diǎn)場強(qiáng)為由場強(qiáng)的疊加原理，帶電體在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把矢量積分化為分量積分式，如取直角坐標(biāo)系，則Ex=Ex ，Ey=Ey ，Ez=Ez。根據(jù)積分式中各變量之間的關(guān)系，找出統(tǒng)一變量，由選定的坐標(biāo)系和帶電體的形狀確定積分

7、限，注意積分要遍及整個(gè)帶電體。進(jìn)行積分求得Ex 、E y 、Ez，再求出E 。在某些情況下，可把電荷連續(xù)分布的帶電體看作由許多微小寬度的帶電直線（或圓環(huán)）或者具有微小厚度的圓盤（或球殼）所組成。如無限大均勻的帶電直圓柱體可看作無限多圓盤所組成，這時(shí)可以取帶電圓盤為電荷元，以便求出無限大帶電圓柱體軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。這樣取電荷元的好處是可以把二重積分或三重積分化為單重積分來做，使運(yùn)算簡化。2. 由高斯定理求場強(qiáng)用高斯定理求場強(qiáng)必須要根據(jù)電場的對(duì)稱性，選擇適當(dāng)?shù)母咚姑媸箞鰪?qiáng)E能提到積分號(hào)外。用高斯定理求場強(qiáng)的步驟大體如下：分析給定問題中電場的對(duì)稱性，如電場強(qiáng)度分別具有球?qū)ΨQ性、平面對(duì)稱性（無限大均勻

8、帶電的平板或平面）以及軸對(duì)稱性（無限長均勻帶電的圓柱體、圓柱面或直線等）時(shí)，能用高斯定理求解；選擇適當(dāng)?shù)母咚姑?，使場?qiáng)E能提到積分號(hào)外面。如電場具有球?qū)ΨQ性時(shí)，高斯面選與帶電球同心的球面；電場具有軸對(duì)稱性時(shí)，高斯面取同軸的柱面；電場具有平面對(duì)稱性時(shí)，高斯面取軸垂直于平面并于平面對(duì)稱的柱面；求出高斯面所包圍的凈電荷q，代入高斯定理的表示式求出場強(qiáng)的大小。由場強(qiáng)的對(duì)稱性確定場強(qiáng)的方向。3. 求電勢分布U后，由求場強(qiáng)因?yàn)殡妱菔菢?biāo)量，已知電荷分布用積分求電勢比用積分求場強(qiáng)更為方便，所以對(duì)不能用高斯定理求場強(qiáng)的情況，先求電勢的函數(shù)式，再用上述關(guān)系求電場強(qiáng)度往往是比較方便的。例1 長厘米的直導(dǎo)線AB均勻地

9、分布著線密度為的電荷。求：（1）在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線一端B相距R處P點(diǎn)的場強(qiáng)； A dx O B P x R （a）R´A dx B x （b）圖81（2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距處Q點(diǎn)的場強(qiáng)。解 （1）如圖81（a）所示，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為x軸正方向。直導(dǎo)線上任一dx線元到A點(diǎn)距離為x，其電場強(qiáng)度為而各段在P處產(chǎn)生場強(qiáng)方向相同（沿x軸正方向），故總場強(qiáng)為方向沿x軸正方向。（2）若以導(dǎo)線AB中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖81（b）所示。dx線元在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場為（方向如圖所示）由于對(duì)稱性，其疊加場強(qiáng)沿y正方向，水平方向相互抵消。在Q點(diǎn)的場強(qiáng)為方向沿y軸正方向。當(dāng)導(dǎo)線l為無限長

10、時(shí)，由上式可求得場強(qiáng)為。圖82例2 一帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，其電荷線密度為=0sin，式中為半徑R與x軸所成的夾角， 0為一常數(shù)，如圖82所示，試求環(huán)心O處的電場強(qiáng)度。解 在處取電荷元，其電量為它在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)為在 x、y 軸上的兩個(gè)分量， 所以 例3 利用帶電量為Q、半徑為R的均勻帶電圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)公式推導(dǎo)一半徑為R、電荷面密度為的均勻帶電圓盤在其軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)，并進(jìn)一步推導(dǎo)電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)。解 設(shè)盤心O點(diǎn)處為原點(diǎn)，x軸沿軸線方向，如圖83所示，在任意半徑r處取一寬為dr的圓環(huán)，其電量圖83當(dāng) R 時(shí)，即為“無限大”帶電平面例4 如圖84所示

11、，一厚為a的無限大帶電平板，電荷體密度r = kx (0xa)， k為一正值常數(shù)。求： （1）板外兩側(cè)任一點(diǎn) M1、M2的電場強(qiáng)度大?。唬?）板內(nèi)任一點(diǎn)M的電場強(qiáng)度；（3）場強(qiáng)最小的點(diǎn)在何處。圖84解 （1）在x處取厚為dx的平板，此平板帶電量電荷面密度為 則 （2）板內(nèi)任一點(diǎn)M左側(cè)產(chǎn)生的場強(qiáng)方向沿x軸正向M右側(cè)產(chǎn)生的場強(qiáng)方向沿x軸負(fù)向所以 （3）E = 0 時(shí)場強(qiáng)最小，即例5 如圖85所示，圓錐體底面半徑為R，高為H，均勻帶電，電荷體密度為，求頂點(diǎn)A處的場強(qiáng)。圖85解 在離頂點(diǎn)A為x處選厚為dx的薄圓盤，此圓盤半徑為r。由圖知即 此薄圓盤的帶電量 電荷面密度 =電量/面積=利用例3均勻帶電圓

12、盤在軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)結(jié)果可得此薄圓盤在A點(diǎn)的場強(qiáng)此題也可以在柱面坐標(biāo)系中用三重積分來計(jì)算。 O b y Y圖86例6 半徑為R、長為的均勻帶電圓柱體，電荷體密度為，求圓柱體軸線上O點(diǎn)的場強(qiáng)。設(shè)O點(diǎn)離圓柱體近端的距離為b，如圖86所示。解 用積分法求解這題目時(shí)，如取點(diǎn)電荷為積分元，則要用三重積分。但是我們?nèi)A盤為積分元，用圓盤在軸線上一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的公式，只要計(jì)算定積分就可以求得圓柱體軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。如圖86取坐標(biāo)，距O點(diǎn)的距離y處，一厚度為dy的圓盤在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小dE = 方向與Y軸相反，式中是厚度為dy的圓盤上的電荷面密度，和圓柱體的電荷密度的關(guān)系=所以有dE = =（b）例7

13、如圖87（a）所示，在XY平面內(nèi)有與Y軸平行、位于x= a/2和x=- a/2處的兩條無限長平行的均勻帶電細(xì)線，電荷密度分別為和-，求Z軸上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。（a） 圖87解 過Z軸上任一點(diǎn)(0，0，z)分別以兩條帶電細(xì)線為軸作單位長度的圓柱形高斯面，如圖87（b）所示，按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為式中正負(fù)號(hào)分別表示場強(qiáng)方向沿徑向朝外和朝里，如圖所示，按場強(qiáng)疊加原理，該處合場強(qiáng)的大小為 方向如圖所示或用矢量表示例8 真空中有一高h(yuǎn)=20cm、底面半徑R=10cm的圓錐體。在其頂點(diǎn)與底面中心的中點(diǎn)上置一q =10-6C 的點(diǎn)電荷，求通過該圓錐體側(cè)面的電場強(qiáng)度通量。 （a）

14、（b）圖88解 以頂點(diǎn)與底面圓心的中點(diǎn)為球心，為半徑做一球面?？梢钥闯觯ㄟ^圓錐側(cè)面的電通量等于通過整個(gè)球面的電通量減去通過以圓錐底面為底的球冠面的電通量。整個(gè)球面的電通量為通過球冠面的電通量 式中S為球冠面面積 S=2pr(r- h/2)，S0為整球面積。通過圓錐側(cè)面的電通量二、求電勢的方法在普通物理學(xué)范圍內(nèi)，求解靜電場電勢的基本方法通常有以下兩種：1. 用點(diǎn)電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強(qiáng)；2. 已知或求出場強(qiáng)分布E后，再由UP=求電勢。熟練掌握求解靜電場電勢的這兩種方法是對(duì)學(xué)好電磁學(xué)大有裨益的。1. 用點(diǎn)電荷電勢公式和電勢疊加原理求場強(qiáng)把帶電體看為由許多電荷元組成的，帶電體在電場中某點(diǎn)產(chǎn)

15、生的電勢為各電荷元在該點(diǎn)產(chǎn)是的點(diǎn)勢dU的疊加，即U=用積分求電勢的步驟和用積分求場強(qiáng)相同，只是U =是一個(gè)標(biāo)量積分，不用取分量式。2. 已知或求出場強(qiáng)分布E后，再由UP =，求電勢對(duì)有限大小的帶電體，通常選無限遠(yuǎn)為電勢的零點(diǎn)，所以有 UP=用上式求電勢時(shí)應(yīng)注意：選擇適當(dāng)?shù)穆窂?，因?yàn)樯鲜龇e分與路徑無關(guān)，我們?nèi)》e分路徑時(shí)，總是設(shè)法選取使積分計(jì)算比較簡便的路徑；對(duì)于在積分路徑上不同區(qū)域內(nèi)場強(qiáng)的函數(shù)形式不同的情況，積分必須分段進(jìn)行。如從r到R范圍內(nèi)的場強(qiáng)為E1(r)，從R到“無窮遠(yuǎn)”處場強(qiáng)為E2(r)，則P點(diǎn)的電勢UP（r）=1(r)dr+2(r)dr對(duì)能用高斯定理求場強(qiáng)的問題，用這種方法求電勢比較方

16、便。例9 一根長為L的細(xì)棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心O點(diǎn)的電勢。解 半圓形導(dǎo)線半徑：O點(diǎn)電勢由電勢迭加原理求解。 ， 例10 如圖89所示，兩個(gè)均勻帶電的同心球面，半徑分別為R1和R2，帶電量分別為q1和q2。求場強(qiáng)和電勢的分布。 S1 圖89解 （1）對(duì)稱性分析：場強(qiáng)沿徑向；離球心O距離相等處，場強(qiáng)的大小相同?？梢妶鰪?qiáng)具有球?qū)ΨQ性可以用高斯定理求場強(qiáng)。（2）選擇高斯面：選與帶電球面同心的球面作為高斯面。 當(dāng)r>R2時(shí)，取半徑為r的高斯面S1，如圖所示。由高斯定理因?yàn)閳鲇猩鲜龅膶?duì)稱性，所以解得 當(dāng)R1<r<R2時(shí)，取半徑為r的高斯面S2，如圖所示。由

17、高斯定理 因場強(qiáng)有球?qū)ΨQ性，故解出 當(dāng)r<R1時(shí)，取半徑為r的高斯面S3，如圖所示。由高斯定理因場強(qiáng)是球?qū)ΨQ的，則有所以 E=0從上面計(jì)算的結(jié)果得到場強(qiáng)的分布為知道了場強(qiáng)分布，可以從電勢的定義出發(fā)求出空間的電勢分布當(dāng)r>R2時(shí)當(dāng)R1<r<R2時(shí)當(dāng)r<R1時(shí)當(dāng)然，也可以用電勢疊加原理來求電勢的分布，把空間各點(diǎn)的電勢看為兩個(gè)帶電球殼在空間產(chǎn)生的電勢的疊加，求得的結(jié)果和從電勢定義出發(fā)求得的結(jié)果相同。如果我們對(duì)一個(gè)均勻帶電球面在空間產(chǎn)生的電勢分布的函數(shù)關(guān)系比較熟悉，那么用后一種解法是比較方便的。習(xí) 題一、填空題1、兩個(gè)正點(diǎn)電荷所帶電量分別為q1和q2，當(dāng)它們相距r時(shí)，兩電

18、荷之間相互作用力為F= 。若q1+q2=Q，欲使兩電荷間的作用力最大，則它們所帶電量之比q1：q2= 。2、四個(gè)點(diǎn)電荷到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離均為d，如圖810所示，則O點(diǎn)的電場強(qiáng)度E= 。y +2q+2q O -q x-q圖810 P·B·A·q' 圖811 ·q3、真空中兩塊互相平行的無限大均勻帶電平面，其中一塊的面電荷密度為+,另一塊的面電荷密度為+2，兩極板間的電場強(qiáng)度大小為 。4、半徑為R，均勻帶電Q的球面，若取無窮遠(yuǎn)處為零電勢，則球心處的電勢V0= ；球面外離球心r處的電勢Vr= 。若在此球面挖去一小面積S（連同其上電荷），則球心處的電勢V

19、0= 。二、選擇題1、邊長為a的正方體中心放置一個(gè)電荷Q，通過一個(gè)側(cè)面的電位移矢量通量為： A.； B.； C.； D. 2、如圖811所示，閉合面S內(nèi)有一點(diǎn)電荷q, P為S面上一點(diǎn)，S面外A點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q'，若將q' 移到S面外另一點(diǎn)B處，則下述正確的是： A.S面的電通量改變，P點(diǎn)的場強(qiáng)不變；B.S面的電通量不變，P點(diǎn)的場強(qiáng)改變；C.S面的電通量和P點(diǎn)的場強(qiáng)都不變；D.S面的電通量和P點(diǎn)的場強(qiáng)都改變。3、關(guān)于電場強(qiáng)度定義式E=F/q0，指出下列說法中的正確者： A.場強(qiáng)E的大小與檢驗(yàn)電荷q0的電量成反比；B.對(duì)場中某點(diǎn)，檢驗(yàn)電荷受力F與q0的比值不因q0而變；C.檢驗(yàn)電荷受

20、力F的方向就是場強(qiáng)E的方向；D.若場中某點(diǎn)不放檢驗(yàn)電荷q0，則F=0，從而E=0。4、電場強(qiáng)度定義式E=F/q0,這一定義的適用范圍是： A.點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場； B.靜電場； C.勻強(qiáng)電場； D.任何電場。5、在SI制中，電場強(qiáng)度的量綱是： A.； B.； C.； D.。6、若將負(fù)點(diǎn)電荷q從電場中的a點(diǎn)移到b點(diǎn)，如圖812所示，則下述正確的是： A.電場力作負(fù)功；B.電場強(qiáng)度Ea<Eb；C.電勢能減??；-QA O B CD圖813D.電勢Va<Vb。 ·a ·b 圖8127、一電量為-Q的點(diǎn)電荷位于圓心O處，A、B、C、D為同一圓上的四個(gè)點(diǎn)，如圖813所示?，F(xiàn)將

21、一實(shí)驗(yàn)電荷從A點(diǎn)分別移到B、C、D各點(diǎn)，則： A.從A到B，電場力做功最大；B.從A到C，電場力做功最大；C.從A到D，電場力做功最大；D.從A到各點(diǎn)，電場力做功相等。三、判斷題（ ）1、閉合曲面內(nèi)的電荷的代數(shù)和為零，閉合曲面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)一定為零。（ ）2、閉合曲面上各點(diǎn)的場強(qiáng)為零，閉合曲面內(nèi)一定沒有電荷。（ ）3、閉合曲面上各點(diǎn)的場強(qiáng)僅由面內(nèi)的電荷決定。（ ）4、通過閉合曲面的電通量僅由面內(nèi)的電荷決定。（ ）5、凡是對(duì)稱分布的均勻帶電系統(tǒng)都可以通過高斯定理求它的電場強(qiáng)度。四、計(jì)算題1、用細(xì)的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，棒兩端點(diǎn)間的縫隙為1cm，棒上均勻分布著3.12×10-9C的正電荷。求圓心處場強(qiáng)的大小和方向。2、半徑為R的非金屬