浙江大學2001常微分期終試卷

1、浙江大學2001級微積分（上）期終考試試卷系_ 班級_ 學號_姓名_ 考試教室_題 號一二三四五六七八總分復核得 分評卷人得分一、選擇題：（每小題2分，共8分）在每題的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確那項的代號填入空格中1.設(shè)，其中，互不相等，且 ，則的值等于（ ）. （A）. （B）. （C）. （D）.2.曲線，當時，它有斜漸進線（ ）.（A）. （B）. （C）. （D）.3.下面的四個論述中正確的是（ ）.（A）.“函數(shù)在上有界”是“在上可積”的必要條件；（B）.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，那末是 在處取到極值的充分條件；（C）.“函數(shù)在點處可導”對于“函數(shù)在點處可微”而言既非充分也非必要

2、；（D）.“函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)”是“在區(qū)間上原函數(shù)存在”的充要條件.4.下面四個論述中正確的是（ ）.（A）.若，且單調(diào)遞減，設(shè)，則；（B）.若，且極限存在，設(shè)，則；（C）. 若，則；（D）. 若，則存在正整數(shù)，當時，都有.得分二、填空題：（每空格2分，共12分）只填答案1.=_；=_.2.函數(shù)可導，則=_.3.=_.4.=_；=_.得分三、求極限：（每小題7分，共14分）1.數(shù)列通項，求.2.求.得分得分四、求導數(shù)：（每小題7分，共21分）1.，求.2.求，.3.函數(shù)由確定，求得分五、求積分：（每小題7分，共28分）1.求.2.求.3.求.4.計算.得分六、（6分）下面兩題做一題，其中學過常微

3、分方程的專業(yè)做第1題，未學常微分方程的專業(yè)做第2題.1.求解常微分方程：2.有一半徑為4米的半球形水池注滿了水，現(xiàn)要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱內(nèi)，問至少要做多少功？得分七、（6分）在平面上將連結(jié)原點與點的線段（即區(qū)間）作等分，分點記作，對，過作拋物線的切線，切點為.1.設(shè)的面積為，求；2.求極限.得分八、證明題（5分）設(shè)在上連續(xù)，且，.證明：對任意，且，必有.浙江大學2001級微積分（下）期終考試試卷系_ 班級_ 學號_姓名_ 考試教室_題 號一二三四五六總分復核得 分評卷人得分一、填空題：（每小題3分，共15分）只填答案1.設(shè)一平面經(jīng)過原點及點，且與平面垂直，則此平面的方程是_。2.

4、設(shè)，可微，則=_。3.曲面在點的法線方程是_。4.函數(shù)關(guān)于的冪級數(shù)展開式是_，且展開式的收斂區(qū)間為_。5.設(shè)則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點處收斂于_。得分二、選擇題：（本題共5小題，每小題3分，共15分）在每題的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確那項的字母填入括號中1.設(shè)直線，設(shè)平面，則直線（ ）（A）平行于 （B）在上 （C）垂直于 （D）與斜交2.考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：在點處連續(xù)；在點處的兩個偏導數(shù)連續(xù)；在點處可微；在點處的兩個偏導數(shù)存在，若用“”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì)，則有（ ）（A） （B） （C） （D）3.已知：為某函數(shù)的全微分，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）4.

5、設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（ ）（A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性與有關(guān)5.設(shè)則div(grad )為（ ）（A） （B） （C） （D）得分三、（每小題8分，共24分）1.設(shè)，其中具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，具有二階導數(shù)，求，通項.2.設(shè)由方程所確定，其中為可微函數(shù)，求，.3.在第一卦限內(nèi)作球面的切平面，使得該切平面與三坐標平面所圍成的區(qū)域的體積最小，求切點坐標.得分得分四、（每小題8分，共16分）1.求二重積分，其中是由曲線，直線，所圍成的平面區(qū)域.2.求三重積分，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面與平面所圍成的空間區(qū)域.得分五、（每小題8分，共16分）1.求曲線積分，其中是拋物線上自點

6、到點的一段有向弧.2.求曲面積分，其中是曲面介于平面與平面之間的部分，法線朝上，為連續(xù)函數(shù).得分六、（第1小題8分，第2小題6分，共14分）1.求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域及和函數(shù).2.證明級數(shù)當時收斂，當，且時發(fā)散.浙江大學2002級微積分（上）期終考試試卷學院_ 班級_ 學號_姓名_ 考試教室_題 號一二三四五六七八總分復核得 分評卷人得分一、填空題：（每題4分，共12分）只填答案1.舉出符合各題要求的一例，并將其填入空格內(nèi)。（1）在點不連續(xù)，但當時極限存在的函數(shù)有_；（2）屬“”或“”未定型，且其極限存在，但極限不能用洛必達法則求得的極限有_；（3）原函數(shù)不存在，但其原函數(shù)不能用

7、初等函數(shù)表示的函數(shù)有_;（4）有界，但不可積的函數(shù)有_；2.已知拋物線過點，且在該點的曲率圓方程是：.則=_，=_，=_,曲線在（1，2）處的曲率k_.3.設(shè).（1）=_；（2）=_；（3）=_；得分二、選擇題：（每題3分，共12分）在每題的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確那項的字母填入括號中1.設(shè)，且在內(nèi)二階可導，又，則在內(nèi)的單調(diào)性和圖形的凹向是（ ）. A.單調(diào)增，向下凹 B.單調(diào)減，向下凹 C.單調(diào)增，向上凹 D.單調(diào)減，向上凹2.函數(shù)在點的以下結(jié)論正確的是（ ）A.若，則必是一極值；B.若，則點必是曲線的拐點；C.若極限存在（為正整數(shù)），則在點可導，且有；D.若在處可微，則在的某

8、領(lǐng)域內(nèi)有界。3.設(shè)當時，都是無窮?。ǎ?，則當時，下列表達式中不一定為無窮小的是（ ）.A.； B.； C.； D.4.設(shè)函數(shù)在處（ ）.A.不連續(xù)； B.連續(xù)，但不可導； C.可導，但導數(shù)不連續(xù)； D.可導，且導數(shù)連續(xù)。得分三、求極限：（每小題7分，共14分）1. .2. .得分得分四、求導數(shù)：（每小題6分，共18分）1.設(shè).求.2.求，.3.函數(shù)由所確定，求，.得分五、求積分：（每小題6分，共24分）1. .2. .3. .4. .得分六、（10分）下面兩題做一題，其中學微積分（甲）的專業(yè)做第甲題，學微積分（乙）的專業(yè)做第乙題。（甲）：（1）在拋物線上找一點，過點作拋物線的切線，使此切線與拋

9、物線及兩坐標軸所圍成的區(qū)域面積最小，求點坐標。 （2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，極限，存在，且兩者異號，證明方程在內(nèi)至少有一個實根。（乙）：設(shè)有一邊界有兩條拋物線與所圍成的平板。 （1）畫出平板的圖形，并計算其面積； （2）將此平板鉛直置于水中，水平面在處，試求平板一側(cè)所受到的水的靜壓力。得分七、（5分）設(shè)數(shù)列由下式給出：，證明數(shù)列極限存在，并求得分八、證明題（5分）設(shè)在內(nèi)二階可導，且，證明：對于任意的，且及，恒有.浙江大學2002級微積分（下）期終考試試卷系_ 班級_ 學號_姓名_ 考試教室_題 號一二三四五六總分復核得 分評卷人得分一、選擇題：（本題共5小題，每小題3分，共15分）在每題的四個選

10、項中，只有一個是正確的，請把正確那項的字母填入括號中。1.二元函數(shù)在點處可微是在該點兩個偏導數(shù)都存在的（ ）（A）充分條件而非必要條件 （B）必要條件而非充分條件（C）充分必要條件 （D）既非充分條件又非必要條件2.二元函數(shù)，在點處（ ）（A）連續(xù)、偏導數(shù)存在 （B）連續(xù)、偏導數(shù)不存在（C）不連續(xù)、偏導數(shù)存在 （D）不連續(xù)、偏導數(shù)不存在3.設(shè)直線與，則與的夾角為（ ）（A） （B） （C） （D）4.下列級數(shù)中收斂的級數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）5.設(shè)力作用在一質(zhì)點上，該質(zhì)點從點沿直線移動到點，則此力所作的功為（ ）（A） （B） （C） （D）得分二、填空題：（每小題3分，共24

11、分）只填答案1.設(shè)一平面經(jīng)過原點及點，且與平面垂直，則此平面的方程是_。2.與矢量，矢量都垂直的單位矢量是_。3.設(shè)方程確定，則_。4.曲面在點處的切平面方程是_。5._。6.設(shè)曲線，則=_。7.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_。8.設(shè)，則的麥克勞林級數(shù)展開式為_。得分三、計算（每小題8分，共16分）1.設(shè)，具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求，。2.設(shè)函數(shù)，（1）在點處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大；（2）求在點處的最大方向?qū)?shù)。得分得分四、計算（每小題8分，共16分）1.計算三重積分，其中是由與所圍成的區(qū)域。2.求平面含在橢圓柱面內(nèi)的面積。得分五、計算（每小題8分，共16分）1.計算，其中沿上

12、半圓周從點到點。2.求曲面積分，其中為球面的外側(cè)。得分六、（第1小題7分，第2小題6分，共13分）1.求冪級數(shù)的和函數(shù)，并指出收斂域。2.就的不同取值，討論級數(shù)的收斂性。浙江大學20032004學年第一學期期末考試微積分試卷開課學院： 理學院 任課教師：_姓名：_專業(yè)：_學號：_考試時間：120分鐘題序一二三四五六總分得分評卷人復評人得分評閱人一、填空題（本大題24分，每個空格4分）、1.設(shè)若在處可導，則_，_；2.函數(shù)的圖形有鉛直漸近線_和斜漸近線_；3._；4.設(shè)在連續(xù)，且，則=_.得分評閱人二、（本大題9分）、設(shè)，.求常數(shù)，使，. 得分評閱人三、計算題（本大題40分，每小題5分）、1.

13、2. 3. 4. 設(shè)，求5. 6. 設(shè)滿足，求曲線在處的切線方程.7. ，求8. 得分評閱人四、（本大題12分）設(shè)為曲線在點處的切線，為曲線的另一條切線，且與直線垂直.（1）求直線和的交點坐標；（2）求曲線與切線和所圍成的平面圖形的面積，試問當為何值時，該面積最?。康梅衷u閱人五、（本大題8分）、設(shè)在上連續(xù)，、分別是在上的最大值和最小值.證明：存在，使得.得分評閱人六、（本大題7分）、設(shè)，. 證明：在中有唯一的零點，即存在唯一的，使.浙江大學20032004學年第二學期期末考試微積分課程試卷開課學院： 理學院 任課教師：_姓名：_專業(yè)：_學號：_考試時間：120分鐘題序一二三四五六總分評卷人得分一、填空題（每個空格5分，滿分30分）（1）點到直線的距離_.（2）設(shè)，則_.（3）冪級數(shù)的收斂范圍是_.（4）設(shè)一矢量場，它在某點的矢量大小與該點到原點的距離平方成正比（比例常數(shù)為），方向指向原點，則=_.（5）設(shè)，且是的傅里葉級數(shù)，