泛函分析答案

1、泛函分析答案：1、 所有元素均為0的n×n矩陣2、 設(shè)E為一線性空間，L是E中的一個子集，若對任意的x,yL，以及變數(shù)和均有xyL，則L稱為線性空間E的一個子空間。子空間心室包含零元素，因為當(dāng)和均為0時，xy0L，則L必定含零元素。3、 設(shè)L是線性空間E的子空間，x0EL,則集合x0+L=x0+l,lL稱為E中一個線性流形。4、 設(shè)M是線性空間E中一個集合，如果對任何x,yM，以及1，0，0的和，都有xyM，則稱M為E中的凸集。5、 設(shè)x,y是線性空間E中的兩個元素，d(x,y)為其之間的距離，它必須滿足以下條件：（1） 非負(fù)性：d(x,y)0，且d(x,y)0x=y（2） d(x,

2、y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(y,z) for every x,y,zEn維歐幾里德空間常用距離定義：設(shè)x=x1,x2,xnT,y=y1y2,ynTd2(x,y)=()1/2 d1(x,y)= dp(x,y) = ( )1/p d(x,y)= 6、距離空間(x,d)中的點列xn收斂到x0是指d(xn,x0)à0(nà)，這時記作，或簡單地記作xnàx07、設(shè)|x|是線性空間E中的任何一個元素x的范數(shù)，其須滿足以下條件：（1）|x|0,且|x|0iff x=0 （2）|x|=|x|,為常數(shù)（3）|x+y|x|+|y|,for e

3、very x,yE8、設(shè)E為線性賦范空間，xnn=1是其中的一個無窮列，如果對于任何>0,總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N,m>N時，均有|xm-xn|<,則稱序列xn是E中的基本列。若E的基本列的收斂元仍屬于E，則稱E為完備的線性賦范空間，即為Banach空間。線性賦范空間中的基本列不一定收斂。9、有限維的線性賦范空間必然完備，所以它必定是Banach空間。10、如果內(nèi)積空間能在由內(nèi)積誘導(dǎo)的賦范空間完備，則此內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。11、L2（a,b）為定義在(a,b)上平方可積函數(shù)空間，即設(shè)f(t)L2（a,b）, 。當(dāng)L2（a,b）中內(nèi)積的定義為（f,g）=

4、(其中f(t),g(t)L2（a,b）)時其為Hilbert空間。 12、算子表示一種作用，一種映射。設(shè)X和Y是給定的兩個線性賦范空間，集合DX，若對D中的每一個x，均有Y中的一個確定的變量y與其對應(yīng)，則說這種對應(yīng)關(guān)系確定了一個算子T，記為y=T(x)，y為x的像，x為y的原像。13、算子的范數(shù)：設(shè)T為有界線性算子，則對一切xD(T)，使不等式|Tx|YM|x|X的正數(shù)M的下確界稱為T的范數(shù)，|T|=sup|Tx|/|x|,|x|0。直觀的理解就是|x|的最大放大率。14、根據(jù)線性算子零空間的定義：對線性算子T：EàE1，必有T0=0，則稱集合xE|Tx=0為T的零空間，它是E的線性

5、子空間，并不一定是值域E1的子空間。15、如果存在一正常數(shù)M，使得對每一個xD(T)，都有|Tx|YM|x|X，則稱T為有界算子。無界算子：設(shè)算子T：C10,1àC0,1定義為：(Tx)(t)=x'(t),則T是線性算子，若視C10,1為C0,1的子空間，則T是無界的。16、設(shè)Tn=L(X，Y)，TL(X，Y)，如果對任何一個xX，均有|Tnx-Tx|à0(nà)，則Tn弱收斂于T。17、L(X，Y)是BANACH空間。*18、壓縮映像原理又叫BANACH不動點定理，其具體內(nèi)容如下：設(shè)X為BANACH空間，F(xiàn)為XàX的算子，且D(F)R(F)，如

6、果x*X，滿足F(x*)=x*，稱x*為F的不動點。設(shè)集合QD(F)，如果存在常數(shù)q(0,1)使得對任何x',x''Q,有|F(x')-F(x'')|q|x'-x''|,稱F為Q上的壓縮算子，q為壓縮系。壓縮映像原理：設(shè)算子F映BANACH空間X的閉子集Q為其自身且F為壓縮算子，壓縮系為q，則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動點x*，若x0為Q內(nèi)的任意點，作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,則xnQ，xnàx*,而且有估計|xn-x*|q/(1-q)|F(xn)-F(x0)|。簡單地說即賦范空間的完備子集上壓縮映

7、射存在唯一的不動點，且該不動點可由該完備子集上的任一點作為初始值用迭代法得到。19、設(shè)X是實數(shù)域上的線性賦范空間，D是X的線性子空間，f:DàR，如果f滿足：對任何,R，x,yD,f(x+y)=f(x)+f(y),則f是D上的一個線性泛函，或者說由XàR的算子為泛函。泛函f的范數(shù)定義如下：|f|=|f|=sup|f(x)|(|x|=1)=sup(|f(x)|/|x|)(|x|0)=sup|f(x)|(|x|1)，并且有|f(x)|f|×|x|。20、定義在整個線性賦范空間X上的所有有界線性泛函的全體構(gòu)成的空間L(X，R)稱為空間X的共軛空間，又叫對偶空間，其是完備

8、的。21、弱收斂：X為線性賦范空間，xnX，x0X，如果對任何一個fx*均有，則稱xn弱收斂于x0。弱收斂不一定強(qiáng)收斂，強(qiáng)收斂一定弱收斂。22、泛函的GATEAUR微分：設(shè)X為線性賦范空間，x0X，f(x)的x0及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果對任意hX，極限：存在，則稱f(x)在x0處對方向h存在GATEAUR導(dǎo)數(shù)，記為。又稱為泛函f(x)在x0處對于方向h的一階變分。23、稱為泛函f(x)在x0處對于方向h的一階變分。令則。24、25、應(yīng)變能密度： 應(yīng)變余能密度：其關(guān)系如下圖所示： 26、有限元方法的本質(zhì)是：有限元=瑞茲法+具有局部緊支集的分片插值函數(shù)。27、，其中為系統(tǒng)的總勢能，為應(yīng)變能，后兩項為

9、外力勢能，fi為體積力分量，為給定邊界上的外力。最小勢能原理：在所有滿足邊界條件( on Su)和必要的連續(xù)性條件的位移場中，系統(tǒng)的總勢能最小，即對所有可能的位移，真實位移使得系統(tǒng)勢能最小。其基本的未知函數(shù)是位移場ui，其應(yīng)該滿足：(1)單值、連續(xù)，滿足適當(dāng)?shù)目晌⑿裕瑧?yīng)該滿足小位移應(yīng)變關(guān)系，。(2)必須滿足本質(zhì)邊界條件。邊界位移連續(xù)條件，即： on 。推導(dǎo)與證明過程如下：把取一階變分：=其中：而 由于在su上為已知，則=0 所以= 由=0得 on on 即極值點滿足應(yīng)力平衡條件，則其是真實的位移。下面證明此極小值是的最小值：設(shè)正確解是ui,，其它滿足位移邊界條件的容許位移是ui*，則ui*=u

10、i,+ui，則ij*=ij+ij，由此得到：*=+2 其中=0，2=0，所以*，則極小值即是最小值。證明完畢。28、系統(tǒng)的總余能，其中第一項為系統(tǒng)的應(yīng)變余能，第二項與給定位移有關(guān)。最小余能原理即對滿足 in 和 on 的應(yīng)力場(滿足適當(dāng)?shù)墓饣?，真實的位移場使系統(tǒng)的總余能最小。其基本未知函數(shù)是應(yīng)力場，對其要求為 in on 證明如下：對取一階變分：，其中 由高斯定理可知： 在邊界面上，是已知的，所以，則同理，由于，其中I是給定的，所以在內(nèi)，=0。由以上推導(dǎo)可得：，由極值條件=0，得，在上。這就說明了取得極值時的既滿足外力已知的邊界條件，也滿足位移已知的邊界條件，所以是正確解，是真實的位移場。下面證明該位移場對應(yīng)的極小值是最小值：設(shè)外力已知邊界條件下的應(yīng)力分量為，其中，所以，所以這個極小值是最小值。證明完畢。29、Hellinger-Reissner混合變分原理：以位移和應(yīng)力作為獨立變分的函數(shù)，真實的位移場和應(yīng)力場使系統(tǒng)的總勢或總余能最小。證明：構(gòu)造余能泛函：變分得：依的對稱性，得。則由=