淺談矩陣乘法

1、20112012學(xué)年冬季學(xué)期課程論文課程名稱(chēng)： 線性代數(shù)與幾何（1） 課程編號(hào)： 論文題目: 淺談矩陣乘法 作者姓名: 學(xué) 號(hào): 成 績(jī): 論文評(píng)語(yǔ):評(píng)閱人: 評(píng)閱日期: 淺談矩陣乘法【摘要】本文通過(guò)對(duì)矩陣乘法的解讀，對(duì)一般矩陣乘法，Hadamard 乘積，Kronecker 乘積，三種矩陣的乘法進(jìn)行較為詳細(xì)的介紹，主要是用來(lái)增強(qiáng)對(duì)矩陣乘法的理解，從而對(duì)線性代數(shù)這門(mén)課程有更深入的了解。【關(guān)鍵字】矩陣乘法 Hadamard乘積 Kronecker乘積一·引言 矩陣作為一個(gè)全新的概念，我們經(jīng)常拿它與實(shí)數(shù)，向量等較為熟悉的概念進(jìn)行類(lèi)比，故而在探討矩陣的運(yùn)算的時(shí)候也不例外。但是，雖然矩陣的加

2、法，減法的法則符合我們的習(xí)慣，即與我們之前學(xué)習(xí)過(guò)的加減法較為相近，但是，在所有的矩陣運(yùn)算中，矩陣乘法的法則卻是最不符合我們的習(xí)慣的，掌握的難度也最大，但它卻也是最重要的。 在本文中，我們將依次對(duì)一般矩陣乘法，Hadamard乘積，Kronecker乘積三種較為常見(jiàn)的矩陣乘法進(jìn)行介紹，包括定義，運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)用，推廣等多個(gè)方面。二·一般矩陣乘法1·定義對(duì)任意正整數(shù)任意的數(shù)域，任意的矩陣和可以相乘，得到的乘積是一個(gè)矩陣它的第元對(duì)于矩陣的乘法需要注意如下事項(xiàng)：（1） 并非任意兩個(gè)矩陣都可以相乘?？梢韵喑说臈l件也與它們可以相加減的條件不同?？梢韵喑说臈l件是：的列數(shù)與的行數(shù)相等。(2）

3、的乘法法則可以這樣來(lái)理解：n維的行向量與n維列向量的乘積是一個(gè)數(shù)，等于與的相應(yīng)位置的元之積之和：任意矩陣與矩陣相乘，將的第行與的第列相乘得到的數(shù)作為第元，得到的矩陣就是的乘積。例1：設(shè)解：注意：（1）AB可以由B的兩行分別乘得到，BA可以由B的兩列分別乘得到。（2）如果，并且或者，那么（3）如果，則都可以由所有的元乘同一個(gè)數(shù)得到，也就是說(shuō)：，用去乘矩陣相當(dāng)于用數(shù)乘。2·性質(zhì)結(jié)合律： 對(duì)任意成立。證明：設(shè)則，其中 從而 其中 （1）另一方面，其中 從而 其中 （2）比較（1）和（2）可知 G=H，即 矩陣乘法結(jié)合律成立與數(shù)乘的結(jié)合律：對(duì)任意使運(yùn)算有意義的矩陣及任意數(shù)成立。乘法對(duì)于加法的

4、分配律：對(duì)任意使運(yùn)算有意義的成立。3·矩陣乘法的來(lái)源和意義線性方程組的簡(jiǎn)潔表示對(duì)線性方程組若令， 則此方程組借助矩陣乘法便可記為：如果矩陣A 是可逆的，則有: ，這與普通的一元一次方程ax = b，無(wú)論在形式上，或解法上都得以統(tǒng)一。此外，在解析幾何中，平面上的二次曲線和空間中的二次曲面，其方程的化簡(jiǎn)和分類(lèi)，皆可借助矩陣的乘法得以簡(jiǎn)捷又統(tǒng)一的處理。 接連變換的關(guān)系在平面解析幾何中，常用到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，設(shè)X 軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)A(如圖)，則新舊坐標(biāo)的關(guān)系是: 即 再將x'軸旋轉(zhuǎn)角, 則又有即連接兩次旋轉(zhuǎn)的結(jié)果, 用矩陣的表示代換, 則得= 即 這正與用原坐標(biāo)變換式代換的結(jié)果是一致的，而用矩

5、陣乘法表出，不但簡(jiǎn)便，而且適用面也廣。消元過(guò)程運(yùn)算化在解線性方程組時(shí), 我們常用的三個(gè)同解變換(1)交換兩個(gè)方程;(2)用一個(gè)不為0 的常數(shù)乘方程的兩端;(3)將一方程乘以常量加在另一個(gè)方程上。利用矩陣的乘法，它們皆可用矩陣的等式表之，既簡(jiǎn)明，又利于對(duì)這些變換作深入的研究。4·矩陣乘法的應(yīng)用其實(shí)矩陣乘法有很多應(yīng)用，但是我們?cè)呀?jīng)接觸過(guò)的一些應(yīng)用就不再贅述。來(lái)提一下一個(gè)比較有意思的應(yīng)用。即用矩陣乘法預(yù)測(cè)人口。美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家內(nèi)森凱菲茨首先提出用矩陣乘法預(yù)測(cè)人口。這種方法概括說(shuō)來(lái)就是把現(xiàn)有的分年齡分性別人口數(shù)處理成列矩陣K，分年齡分性別的存活率與修改后的生育率構(gòu)成方陣M，M·K

6、的乘積所產(chǎn)生的列矩陣,就是按預(yù)測(cè)初始年人口 年齡分組的組距所確定的第一個(gè)預(yù)測(cè)周期末的人口。如果假定嬰兒出生性比重,分年齡分性別人口存活率和婦女分年齡生育率在整個(gè)預(yù)測(cè)期內(nèi)（若干預(yù)測(cè)周期）不發(fā)生變化，那么M的各次冪乘以K就得到各相繼預(yù)測(cè)周期末的分年齡分性別人 口數(shù)。 式中代表第t預(yù)測(cè)周期末的人口數(shù)列矩陣;t=1,2,.n;M代表分年齡分性別人口存活率和修改后的生育率構(gòu)成的方陣；K代表預(yù)測(cè)初始年分年齡分性別人口數(shù)列矩陣。三·Hadamard乘積1·定義設(shè)，定義，使得2·性質(zhì)性質(zhì)1 ； ； A，B為對(duì)稱(chēng)矩陣，則也為對(duì)稱(chēng)矩陣性質(zhì)2 性質(zhì)1的幾個(gè)結(jié)論由定義顯然可得。為證性質(zhì)2

7、先有下面兩個(gè)引理引理1若A 為數(shù)域F 上的m×n 階矩陣, 則秩A = r，其中為線性無(wú)關(guān)的列向量，為線性無(wú)關(guān)的行向量。引理 2 設(shè)為m 維列向量, x , y 為n 維行向量, 則性質(zhì)2的證明：設(shè)秩A = r1, 秩B = r2, 由引理1其中是兩組線性無(wú)關(guān)的列向量組，是兩組線性無(wú)關(guān)的行向量組。由性質(zhì)1和引理2可得 =為列向量, 為行向量, 所以秩（()（）1,故得證。四·Kronecker乘積1·定義設(shè) 定義2·性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)矩陣A, B, C, D 使得AC 與BD有定義,則由定義和性質(zhì)1可得以下推論推論2 設(shè)都為非奇異矩陣，則也是非奇異矩陣，并且

8、推論3 設(shè)都為上三角(下三角)矩陣，則也是上三角(下三角)矩陣, 且它的主對(duì)角元素依次為性質(zhì) 4 若A , B 都為冪零陣(冪等陣, 對(duì)合陣) ,則也為冪零陣(冪等陣,對(duì)合陣) .性質(zhì) 5 若rank（A） = s, rank（B）= t ,則rank () = st五·三者聯(lián)系例：六·結(jié)語(yǔ) 雖然在這篇文章中只介紹了一般矩陣乘法，Hadamard乘積，Kronecker乘積三種，但實(shí)際上我們可以自己對(duì)矩陣的乘法進(jìn)行定義。不同的定義在不同情況下有可能就會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。而矩陣的乘法作為線性代數(shù)這么課程的基礎(chǔ)，我們對(duì)乘法的深刻理解是至關(guān)重要的。參考資料李尚志 線性代數(shù) 北京：高等教育出版社 2006.5王萼芳 石生明 高