概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章自測(cè)題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四單元自測(cè)題 時(shí)間：120分鐘，卷面分值：100分一、填空題：（每空2分，共12分） 得分 1設(shè)隨機(jī)變量X與Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相關(guān)系數(shù)rXY=0.6，則D(3X-2Y)= 。2已知隨機(jī)變量XN(0, s2)(s>0)，Y在區(qū)間上服從均勻分布，如果D(X-Y)=s2，則X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY= 。3二維隨機(jī)變量(X, Y)服從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY=-1/2，則當(dāng)a= 時(shí)，隨機(jī)變量aX+Y與Y相互獨(dú)立。4設(shè)隨機(jī)變量XN(0, 4)，Y服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為 如果Cov(X, Y)=-1，

2、Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，則a= ，此時(shí)X與Z的相關(guān)系數(shù)為rXZ= 。5設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(-1, 2)上服從均勻分布，隨機(jī)變量 則方差D(Y)= 。6設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P½X-2½³4£ 。二、單選題：（每題2分，共12分） 得分 1隨機(jī)變量X, Y和X+Y的方差滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，該條件是X與Y( )。 (A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；(B)不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；(C)獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；(D)獨(dú)立的充分必要條件。 2若隨機(jī)變量X與Y的

3、方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，則有( )。 (A) X與Y一定相互獨(dú)立； (B) X與Y一定不相關(guān)；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 3設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，記隨機(jī)變量U=X+Y，V=X-Y，且協(xié)方差Cov(U.V)存在，則U和V必然( )。 (A) 不相關(guān)；(B) 相互獨(dú)立；(C) 不獨(dú)立；(D) 無法判斷。 4若隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，則與之等價(jià)的條件是( )。 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y

4、)¹D(X-Y)。5現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，某人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張，則此人所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為( )。(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 6. 將長度為1的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為( )。(A)1； (B)； (C)； (D)。三、判斷題：（每題2分，共12分） 得分 1.( )設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且有D(X)=2，D(Y)=3，則有D(5X-2Y)=4。 2.( )設(shè)隨機(jī)變量X，Y，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，則方差。 3. ( )設(shè)隨機(jī)變量X

5、和Y的聯(lián)合分布律為XY-1 1 2-111/4 1/4 01/4 0 1/4 可知X與Y不相互獨(dú)立，因此X與Y不相關(guān)。 4. ( )設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 則的數(shù)學(xué)期望為 5. ( )設(shè)二維隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合概率密度為則數(shù)學(xué)期望。 6. ( )若二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量X與Y不是不相關(guān)，因而X與Y不相互獨(dú)立。 四、計(jì)算題（共34分） 1(8分)設(shè)隨機(jī)變量x, h是相互獨(dú)立且服從同一分布，已知x的分布律為 Px=i=1/3，i=1, 2, 3，又設(shè)X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)，(2) X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY。 得

6、分 2(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 (1)判別X與Y是否相互獨(dú)立？是否相關(guān)？(2)求 D(X+Y)。 得分 3(8分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為 求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 得分 4. (8分)設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，且都服從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量Z=min X1, X2, , Xn的數(shù)學(xué)期望與方差。 得分 五、應(yīng)用題（共16分） 1.(8分)某系某班共有n名新生，班長從系里領(lǐng)來他們所有的學(xué)生證，隨機(jī)地發(fā)給每一同學(xué)，求恰好拿到自己的學(xué)生證的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。 得分 2. (8分) 設(shè)某種商品每周需

7、求量X是服從區(qū)間(10, 30)上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10, 30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品僅獲利300元，求最優(yōu)進(jìn)貨量。 得分 六、綜合題（14分）設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn(n>2)為獨(dú)立同分布，均服從N(0, 1)，記 ，Yi=Xi-，i=1, 2, , n，(1)求Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n；(2)求Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1, Yn)；(3)求PY1+Yn£0；(4)證明Y1與Yn的相關(guān)系數(shù)為。

8、 得分 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四單元自測(cè)題參考答案一、填空題： 128.8；2. 1/4；3. 2；4. -1, ；5. 8/9；6. 1/8。二、選擇題： 1C；2. B；3. A；4. B；5. C；6. D。三、判斷題： 1錯(cuò)；2. 錯(cuò)；3. 錯(cuò)；4. 錯(cuò)；5. 錯(cuò)；6. 對(duì)。四、計(jì)算題 1【答】E(X)=22/9，rXY=8/19?！窘狻縓與Y的聯(lián)合分布律為：YX1 2 3PX=i1231/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93/95/9PY=j5/9 3/9 1/91E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，XY1 2 3 4

9、 6 9P1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9E(XY)=4。2【答】(1) 不獨(dú)立，相關(guān)。(2) D(X+Y)=5/36?！窘狻?，同理 在0<x<1, 0<y<1內(nèi)，f(x, y)¹fX (x)×fY(y)，所以X與Y不相互獨(dú)立。，由x與y的對(duì)稱性知E(Y)=， ， D(X)=E(X2)-(E(X)2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，故X與Y相關(guān)。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。3【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及對(duì)稱性)，D(X)=

10、1/18，D(Y)=1/6，rXY=0。方法同上例，略。4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。【解】隨機(jī)變量X1, X2, , Xn的分布函數(shù)為 則 即Z服從參數(shù)為1/n的指數(shù)分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。五、應(yīng)用題1.【答】E(X)=1，D(X)=1?！窘狻吭O(shè)隨機(jī)變量，又，注意X1, X2, , Xn不相互獨(dú)立，又，Xi Xj0 1P 于是 ， 。2.【答】約23單位商品?！窘狻?1)由題設(shè)，X的概率密度為設(shè)進(jìn)貨量為a，則利潤為= -7.5a2+350a+5250，求最優(yōu)進(jìn)貨量，即求使E(Ma)達(dá)到最大值的a，E(Ma)= -7.5(a-(350/15)2+ ，從而a=350/15=23.33，即進(jìn)23單位該種商品為最佳。六、綜合題【答】(1)；(2)；(3)1/2?！窘狻?1)由題設(shè)，X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，所以，i=1, 2, , n, ， i=1,