最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)

1、最優(yōu)控制設(shè)計(jì)摘要計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的不可取代的有利助手，而計(jì)算機(jī)控制更是遍及各個(gè)領(lǐng)域。用盡可能少的指令去控制部件，用盡可能短的指令集合去控制部件將大大的簡(jiǎn)化控制過程，大大的方便控制。 因而對(duì)計(jì)算機(jī)指令控制部件并達(dá)到最優(yōu)的研究具有深遠(yuǎn)的意義。針對(duì)問題一我們建立了整數(shù)線性規(guī)劃模型。得到了所有部件得到控制的最少指令的集合為13的結(jié)果針對(duì)問題二我們建立了整數(shù)線性規(guī)劃模型。得到了所有部件得到控制的總長(zhǎng)度最小長(zhǎng)度為360的結(jié)果。針對(duì)問題三由于此題模型01線性規(guī)劃問題，我們采用單純形法對(duì)所建立的模型進(jìn)行了求解。針對(duì)問題四提出的算法復(fù)雜度，我們根據(jù)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件相關(guān)理論，從時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個(gè)方

2、面逐一論述了單純形法在兩個(gè)方面的復(fù)雜度。具體來(lái)說時(shí)間復(fù)雜度為1575，空間復(fù)雜度由于數(shù)據(jù)量大，導(dǎo)致其空間復(fù)雜度相對(duì)較復(fù)雜。一·問題重述在計(jì)算機(jī)控制過程中，一條計(jì)算機(jī)指令往往可以控制幾個(gè)計(jì)算機(jī)部件，反過來(lái)，一個(gè)部件一般由幾條指令控制。一個(gè)基本的問題是，在指令集合里尋找最少的指令，使得所有的部件得到控制；另一個(gè)問題是，當(dāng)給定每條指令的長(zhǎng)度時(shí)，在指令集合里，尋求總長(zhǎng)度最小的若干指令，使得他們可以控制全部部件。對(duì)于上面兩個(gè)問題，建立如下兩個(gè)數(shù)學(xué)模型：1·建立使得所有部件得到控制的最少指令集合；2·建立使得所有部件得到控制的總長(zhǎng)度最小的指令集合。再給出指令控制的部件和指令的

3、長(zhǎng)度后如表1所示，用所建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)表1所列的數(shù)據(jù)求出結(jié)果。3·設(shè)計(jì)模型的求解算法，用表1-1中所列的數(shù)據(jù)給出求解結(jié)果；4·分析所設(shè)計(jì)算法的復(fù)雜性和計(jì)算所得到的結(jié)果。二·問題分析由于一條計(jì)算機(jī)指令往往可以控制幾個(gè)計(jì)算機(jī)部件，反過來(lái)，一個(gè)部件一般有幾條指令控制，這兩都是線性規(guī)劃問題且約束條件相同，只是兩個(gè)題的目標(biāo)函數(shù)不同。針對(duì)問題一：建立使得所有的部件得到控制的指令集合里的最少的指令模型。我們利用整數(shù)線性規(guī)劃模型，列出所求優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并確保一個(gè)部件至少有1條指令控制，同時(shí)求出所有部件得到控制的最少指令的集合。針對(duì)問題二：仍然建立整數(shù)規(guī)劃模型，依然要

4、保證一個(gè)部件至少有1條指令控制，再求出所有部件得到控制的總長(zhǎng)度的最小長(zhǎng)度。針對(duì)問題三：因?yàn)楸绢}中兩個(gè)問題均是線性規(guī)劃問題且約束條件相同，只是目標(biāo)函數(shù)略有不同，對(duì)此，我們選取單純形法求解。單純形法是線性規(guī)劃問題的一般解法，其基本思想是尋找一個(gè)基的可行解（極點(diǎn)），便可以通過有限步的迭代找到問題的最優(yōu)解。針對(duì)問題四：從時(shí)間的復(fù)雜性和空間的復(fù)雜性兩個(gè)方面進(jìn)行分析。三·模型假設(shè)1·一條計(jì)算機(jī)指令往往可以控制幾個(gè)計(jì)算機(jī)部件，反過來(lái)，一個(gè)部件一般有幾條指令控制。2·計(jì)算機(jī)部件都完好，不會(huì)出現(xiàn)因部件不佳而造成指令的無(wú)法控制。3·不考慮計(jì)算機(jī)指令之間的相互沖突。4

5、3;不考慮計(jì)算機(jī)發(fā)送指令所用的時(shí)間。 四·符號(hào)使用及說明： 第條指令控制第各部件；： 是否使用第條指令；： 第條指令的長(zhǎng)度；： 指令的總條數(shù)；： 部件的總個(gè)數(shù)；： 所用指令的總條數(shù)；： 所用指令的總長(zhǎng)度；五·模型的建立與求解問題一的模型：?jiǎn)栴}一的目的是為了在指令集合中尋找條數(shù)最少的指令，使得所有的部件得到控制，表示是否使用第條指令， ，所使用指令的總條數(shù)可以表示為，因此目標(biāo)函數(shù)為：。約束條件：我們可以用表示第條指令和第個(gè)部件的關(guān)系， ，易知表示第個(gè)部件是否得到指令集合中一條或多條指令控制，當(dāng)時(shí)，表示第個(gè)部件得到指令集合中至少一條指令的控制。目標(biāo)函數(shù)：約束條件：解得

6、：最小指令集合為：, ;總共為13條指令。問題二的模型：首先我們引入一組變量其中表示第條指令的長(zhǎng)度。問題二的目的是為了在指令集合中尋求總長(zhǎng)度最小的若干指令，使得所有的部件得到控制，根據(jù)對(duì)問題一的分析可知，問題二仍未整數(shù)線性規(guī)劃問題，整數(shù)規(guī)劃模型為：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：解得：表2所有部件得到控制的總長(zhǎng)度最小的指令集合指令XjX1X3 X4X5 X6 X7 X10長(zhǎng)度1530127193236所控部件6,11 327,24,27,351,12,18,285,7,27,327,10,13,224,6,8,20,28,3410,15,31指令XjX14X17X19X21X22X23X24長(zhǎng)度53462

7、626191722所控部件7,3413,24,292,21,24,265,8,112,12,14,346,19,22,317,16,26所以最小長(zhǎng)度為：L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360 問題三的求解因?yàn)楸绢}中兩個(gè)問題均是線性規(guī)劃問題且約束條件相同，只是目標(biāo)函數(shù)略有不同，對(duì)此，我們選取單純形法求解。單純形法是線性規(guī)劃問題的一般解法，其基本思想是尋找一個(gè)基的可行解（極點(diǎn)），便可以通過有限步的迭代找到問題的最優(yōu)解。1. 求解問題一用單純形的二階段法第一階段：第一步：將數(shù)學(xué)模型的線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單純形法的標(biāo)準(zhǔn)形式。（由于原始問題全部“”約束條件

8、構(gòu)成，因此還需添加人工變量和剩余變量）本問題約束矩陣M=（A,-l,K）,其中A=為階矩陣，l,K為階單位矩陣，Z表示人工變量的和。輔助目標(biāo)函數(shù)：將輔助目標(biāo)函數(shù)化為求最大值的問題：目標(biāo)函數(shù)也化為求最大值的問題：約束條件為:第二步：檢驗(yàn)各非基變量的檢驗(yàn)系數(shù)，若則基可行解已是最優(yōu)解，計(jì)算結(jié)束；否則轉(zhuǎn)為下一步。第三步：以輔助目標(biāo)函數(shù)為判斷依據(jù)進(jìn)行迭代，選取輔助目標(biāo)函數(shù)中具有非負(fù)系數(shù)的非基變量(假設(shè)是)，作為進(jìn)入下一個(gè)基本可行解的進(jìn)基變量，然后轉(zhuǎn)入下面介紹的第四步。如果此時(shí)，所有的系數(shù)均為非負(fù)，就得到輔助目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。假如此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值為零，并且所有人工變量均不在基內(nèi)，這就得到了原始問題的一個(gè)基

9、本可行解，然后就轉(zhuǎn)入第二階段計(jì)算；如果此時(shí)輔助目標(biāo)函數(shù)值不為零，則人工變量至少還有一個(gè)留在基內(nèi)取非零的正值，那么，原始問題就沒有可行解，則停止運(yùn)算，轉(zhuǎn)至第六步。第四步：根據(jù)|>0=,確定為進(jìn)基變量，為出基變量，轉(zhuǎn)入下一步。第五步：以為主元素進(jìn)行迭代（即高斯消去法），把所對(duì)應(yīng)的列向量 （1為第個(gè)數(shù)）；目標(biāo)函數(shù)（輔助目標(biāo)函數(shù)）中也應(yīng)消去，將基變量中轉(zhuǎn)化為重復(fù)第一至第五步，直到終止。第六步：若無(wú)可行解，則依題意定義第二階段：去掉輔助目標(biāo)函數(shù)所在的行和列，然后以原目標(biāo)函數(shù)代替第一階段的輔助目標(biāo)函數(shù)作為判斷依據(jù)，進(jìn)行單純形法迭代。運(yùn)算步驟同第一階段中，第一至第五步相類似（注意將第二步中的范圍定為）

10、，知道得到原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。求解問題二的算法：根據(jù)模型的相似性，只需將求解問題一中的目標(biāo)函數(shù)改為：即可，算法與求解問題一中的相同。問題四的求解復(fù)雜性分析1對(duì)于時(shí)間復(fù)雜度，題目要求是使每個(gè)部件都受一條或多條指令的控制，所以對(duì)于每一個(gè)部件都要從135遍歷每一個(gè)的指令，若果遍歷過程中發(fā)現(xiàn)某一條指令控制此部件，則對(duì) 加一，表示第i個(gè)部件總共接收到的指令條數(shù)。則時(shí)間復(fù)雜度為45*35=1575，而第二問同第一問時(shí)間復(fù)雜度為45*35=1575。2 對(duì)于空間復(fù)雜度，求解約束方程較少、數(shù)據(jù)量較小時(shí)，運(yùn)行較為容易，且數(shù)據(jù)存儲(chǔ)所占內(nèi)存空間較多，運(yùn)行循環(huán)過程過于復(fù)雜?？傮w來(lái)說，空間復(fù)雜度所占較大。六

11、3;結(jié)果分析問題一：據(jù)題中要求提出相應(yīng)的線性規(guī)劃模型，解得：最小指令集合為：, ;總共為13條指令。而且從運(yùn)行結(jié)果來(lái)看所建立模型是符合實(shí)際情況的，問題二中模型跟題一類似；解得最小長(zhǎng)度為：L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360；問題三：我們建立的單純形法對(duì)與求解這類模型是可行的，從計(jì)算過程來(lái)看，迭代次數(shù)不高，求解相對(duì)而言具有效率。對(duì)于問題四：復(fù)雜性分析1對(duì)于時(shí)間復(fù)雜度，題目要求是使每個(gè)部件都受一條或多條指令的控制，所以對(duì)于每一個(gè)部件都要從135遍歷每一個(gè)的指令，若果遍歷過程中發(fā)現(xiàn)某一條指令控制此部件，則對(duì) 加一，表示第i個(gè)部件總共接收到的指令

12、條數(shù)。則時(shí)間復(fù)雜度為45*35=1575，而第二問同第一問時(shí)間復(fù)雜度為45*35=1575。2 對(duì)于空間復(fù)雜度，求解約束方程較少、數(shù)據(jù)量較小時(shí)，運(yùn)行較為容易，且數(shù)據(jù)存儲(chǔ)所占內(nèi)存空間較多，運(yùn)行循環(huán)過程過于復(fù)雜。總體來(lái)說，空間復(fù)雜度所占較大。七·模型的評(píng)價(jià)與推廣本模型對(duì)計(jì)算機(jī)指令優(yōu)化控制問題做了細(xì)致的分析，提出了模型的算法，并進(jìn)行了計(jì)算求解，最后用數(shù)學(xué)軟解檢驗(yàn)了結(jié)果的正確性。本模型也適用于其他類似問題，且規(guī)劃明確簡(jiǎn)單，易于操作，可是由于算法的局限，當(dāng)此類問題有多組最優(yōu)解時(shí)，其模型只能求出其中一組，但所得結(jié)果還是令人滿意的。優(yōu)點(diǎn)：模型一為整數(shù)線性規(guī)劃模型，本身較為嚴(yán)密，思路清晰，分步驟逐個(gè)

13、擊破，對(duì)題目一條計(jì)算機(jī)指令往往可以控制幾個(gè)計(jì)算機(jī)部件，反過來(lái)，一個(gè)部件一般有幾條指令控制考慮周全，并且可以運(yùn)用于實(shí)踐問題，達(dá)到數(shù)學(xué)建模的根本目的，采用MATLAB和LINGO軟件解決復(fù)雜程序，將問題簡(jiǎn)單化。缺點(diǎn)：當(dāng)然我們對(duì)缺點(diǎn)也不避諱，因?yàn)橹R(shí)面的局限及時(shí)間有限我們沒有采用大量的文獻(xiàn)資料來(lái)證明，且模型還有一些漏洞，以后我們會(huì)改進(jìn)。八·參考文獻(xiàn)【1】 薛毅 數(shù)學(xué)建?；A(chǔ) 北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社 2004【2】 劉煥彬等 數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn) 武漢：科學(xué)出版社 2008【3】 孫祥等 MATLAB7.0基礎(chǔ)教程 北京：清華大學(xué)出版社 2005【4】 王秋萍 整數(shù)規(guī)劃問題舉例 課件九·

14、;附錄表1指令控制的部件和指令的長(zhǎng)度指令指令所控制的部件指令的長(zhǎng)度指令指令所控制的部件指令的長(zhǎng)度14，8，20，31，44151913,23,26,392628，19,22,29,3780207,12,40,412232,16,34,33,32302112,16,19,28,352647,11,35,3012226,23,27,451955,13,18,2172333,37,40,411761,7,9,23,2519243,17,19,362273,5,6,14,24322516,33,44,451087,20,21,32,35122613,19,24,253099,15,20,4545272

15、,3,5，882106,10,39,42,4336284,7,9,12,4373111,11,21,34,38572916,17,20,3266122,4,18,22,37783028,33,34,3655136,17,25,36653110,23,25,27241422,33,34,3853321,5,44,4546152,10,20,37343311,15,18,4337169,24,29,3948347,14,22,36771715,18,29,3146353,15,25,399184,42,44,4532問題一的LINGO程序：model!定義集;sets:zhiling/1.35/:

16、x;bujian/1.45/:b;shuju(bujian,zhiling):s;endsets!目標(biāo)函數(shù);min=sum(zhiling:x);for(bujian(j):sum(zhiling(i):x(i)*s(j,i)>=1);for(zhiling:BIN(x);!導(dǎo)入數(shù)據(jù);data:s= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17、0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

18、0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19、0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

20、0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

21、1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

22、0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

23、0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

24、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

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27、0 0 ; enddataend 運(yùn)行結(jié)果：Global optimal solution found. Objective value: 13.00000 Objective bound: 13.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 63 Variable Value Reduced Cost X( 1) 0.000000 1.000000 X( 2) 1.000000 1.000000 X( 3) 0.000000 1.000000 X( 4) 1.000000 1

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30、00 X( 29) 1.000000 1.000000 X( 30) 1.000000 1.000000 X( 31) 1.000000 1.000000 X( 32) 0.000000 1.000000 X( 33) 0.000000 1.000000 X( 34) 0.000000 1.000000 X( 35) 0.000000 1.000000問題二的LINGO程序：model:!定義集;sets:zhiling/1.35/:x,l;bujian/1.45/:b;shuju(bujian,zhiling):s;endsets!目標(biāo)函數(shù);min=sum(zhiling:x*l);for(

31、bujian(j):sum(zhiling(i):x(i)*s(j,i)>=1);for(zhiling:BIN(x);for(zhiling:GIN(l);!導(dǎo)入數(shù)據(jù);data:s= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

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39、 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40、 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0