橢圓的定值問題

1、橢圓的定值問題齊志華 （遼寧省本溪市機(jī)電工程學(xué)校 117022）【摘要】在長期的教學(xué)中，筆者經(jīng)常會遇到或想到圓錐曲線的一些定值問題，學(xué)生們也需要教師給予解答和總結(jié)，筆者精選了橢圓9個定值問題，供師生們參考。 【關(guān)鍵詞】橢圓；定值；斜率。1. 橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離等于長軸的長。（橢圓的定義可得）2. 橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)所圍成的三角形的周長等于長軸的長與焦距的長的和。（由1易得）3. 過橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)與另一焦點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)所圍成的三角形的周長為長軸的2倍。（由1易得）4. 橢圓上的一點(diǎn)（除長軸的端點(diǎn)）到兩焦點(diǎn)的連線斜率的積是定值。證明：設(shè)分別為橢圓上的點(diǎn)和兩焦點(diǎn)

2、，則，又。所以=。5. 橢圓（上的點(diǎn)（除、）與長軸的端點(diǎn)、的連線、的斜率的積為證明：設(shè)P(,(-,0),(,0),有，得則=6. 若為橢圓（的任意一條不平行坐標(biāo)軸且不過橢圓中心的弦，為的中點(diǎn)，則直線與的斜率之積為。證明:設(shè)，則。所以，又，兩式相減，得，所以，即。7. 過橢圓（焦點(diǎn)F的直線(不是長軸)交橢圓于P、Q,與焦點(diǎn)對應(yīng)的頂點(diǎn)A和點(diǎn)P、Q的連線的斜率、滿足：·=。（其中為離心率）。證明：不妨設(shè)右焦點(diǎn)F(0),右頂點(diǎn)A(0),直線P、Q的斜率為。（I）當(dāng)不存在時，可得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（），于是·=，（其中=為離心率）。（II）當(dāng)存在時，方程組 （1）代人（2）整理得（設(shè)P（）、Q（，則，,所以=+=所以·=8.過橢圓（的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B,交軸于M點(diǎn)，若，則。證明：（I）當(dāng)與軸重合時，不妨設(shè)A(-,0),B(,0),則F(,M(0,0). 由，得,.所以=（II）當(dāng)與軸不重合時，設(shè)M(,0),聯(lián)立方程(2)代入（1）整理得則，。由，得，。=。9在中心為O的橢圓上任取兩點(diǎn)P、Q，使，則證明：設(shè)直線的斜率為（I）當(dāng)存在時，且設(shè)P（）、Q（，則的方程分別為：，由方程組得，同理；，所以。（II）當(dāng)不存在時，。（III）當(dāng)時。所以成立。【參考文獻(xiàn)】1李遠(yuǎn)敬。拋物線的定值問題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 20