高中數(shù)學難點突破難點求空間距離

1、 難點難點 28 關(guān)于關(guān)于求空間距離求空間距離 空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離. 難點磁場 ()如圖，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA平面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA 的中點. 求：(1)Q 到 BD 的距離； (2)P 到平面 BQD 的距離. 案例探究 例 1把正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起成直二面角，點 E、F 分別是 AD、BC 的中點，點 O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的長； (2)折起后EOF 的大小. 命題意圖：考查利用空間向量的坐標運算來解決立體幾何問題

2、，屬級題目. 知識依托：空間向量的坐標運算及數(shù)量積公式. 錯解分析：建立正確的空間直角坐標系.其中必須保證 x軸、y 軸、z 軸兩兩互相垂直. 技巧與方法：建系方式有多種，其中以 O 點為原點，以OB、OC、OD的方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向最為簡單. 解： 如圖， 以 O 點為原點建立空間直角坐標系 Oxyz,設正方形 ABCD 邊長為 a,則 A(0，22a,0),B(22a,0,0),C(0, 22a,0),D(0,0, 22a),E(0,42a, a),F(42a, 42a,0) 21|,cos,2| ,2|8042)42)(42(420)0 ,42,42(),42,42

3、, 0()2(23,43)420()4242()042(| ) 1 (22222OFOEOFOEOFOEaOFaOEaaaaaOFOEaaOFaaOEaEFaaaaaEF EOF=120 例 2正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，求異面直線 A1C1與 AB1間的距離. 命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬級題目. 知識依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得. 錯解分析：本題容易錯誤認為 O1B 是 A1C 與 AB1的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離.

4、技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得. 解法一：如圖，連結(jié) AC1，在正方體 AC1中，A1C1AC,A1C1平面 AB1C，A1C1與平面 AB1C 間的距離等于異面直線 A1C1與 AB1間的距離. 連結(jié) B1D1、BD，設 B1D1A1C1=O1,BDAC=O ACBD，ACDD1，AC平面 BB1D1D 平面 AB1C平面 BB1D1D，連結(jié) B1O，則平面 AB1C平面 BB1D1D=B1O 作 O1GB1O 于 G，則 O1G平面 AB1C O1G 為直線 A1C1與平面 AB1C 間的距離，即為異面直線

5、 A1C1與 AB1間的距離. 在 RtOO1B1中，O1B1=22，OO1=1，OB1=21121BOOO= 26 O1G=331111OBBOOO，即異面直線 A1C1與 AB1間距離為33. 解法二：如圖，在 A1C 上任取一點 M，作 MNAB1于 N，作 MRA1B1于 R，連結(jié) RN， 平面 A1B1C1D1平面 A1ABB1，MR平面 A1ABB1，MRAB1 AB1RN，設 A1R=x,則 RB1=1x C1A1B1=AB1A1=45， MR=x,RN=NB1=)1 (22x 31)31(23)1 (2122222xxxRNMRMN(0 x1) 當 x=31時，MN 有最小值3

6、3即異面直線 A1C1與 AB1距離為33. 錦囊妙記 空間中的距離主要指以下七種： (1)兩點之間的距離. (2)點到直線的距離. (3)點到平面的距離. (4)兩條平行線間的距離. (5)兩條異面直線間的距離. (6)平面的平行直線與平面之間的距離. (7)兩個平行平面之間的距離. 七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離. 在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點. 求點到平面的距離：(1)直接法

7、，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法. 求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的. 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.()正方形 ABCD 邊長為 2，E、F 分別是 AB 和 CD 的中點，將正方形沿 EF折成直二面角(如圖)，M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點，如果MBE=MBC，MB 和平面 BCF 所成角的正切值為21，那么點 M 到直線 EF 的距離為( ) 21 D. 23C. B.1 22A. 2.()三棱柱 AB

8、CA1B1C1中， AA1=1， AB=4， BC=3， ABC=90,設平面 A1BC1與平面 ABC 的交線為 l，則 A1C1與 l 的距離為( ) A.10 B.11 二、填空題 3.()如左下圖，空間四點 A、B、C、D 中，每兩點所連線段的長都等于 a，動點 P 在線段 AB 上，動點 Q 在線段 CD 上，則 P 與 Q 的最短距離為_. 4.()如右上圖，ABCD 與 ABEF 均是正方形，如果二面角 EABC 的度數(shù)為 30，那么 EF 與平面 ABCD 的距離為_. 三、解答題 5.()在長方體 ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖： (1)求證

9、：平面 A1BC1平面 ACD1； (2)求(1)中兩個平行平面間的距離； (3)求點 B1到平面 A1BC1的距離. 6.()已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，點 E 在棱 D1D 上，截面 EACD1B 且面 EAC 與底面 ABCD 所成的角為 45,AB=a,求： (1)截面 EAC 的面積； (2)異面直線 A1B1與 AC 之間的距離； (3)三棱錐 B1EAC 的體積. 7.()如圖，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是邊長為 2 的正三角形，側(cè)棱 A1A 與 AB、AC 均成 45角，且 A1EB1B 于 E，A1FCC1于 F. (1)求點 A 到平面 B1BCC1

10、的距離； (2)當 AA1多長時，點 A1到平面 ABC 與平面 B1BCC1的距離相等. 8.()如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=2,AB= 31AD=a, ADC=arccos552,PA面 ABCD 且 PA=a. (1)求異面直線 AD 與 PC 間的距離； (2)在線段 AD 上是否存在一點 F，使點 A 到平面 PCF 的距離為36. 參考答案 難點磁場 解：(1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD，E 為垂足 連結(jié) QE，QA平面 ABCD，由三垂線定理得 QEBE QE 的長為 Q 到 BD 的距離 在矩形 ABCD 中，AB=a,AD=b, AE=22baab

11、在 RtQAE 中，QA=21PA=c QE=22222babac Q 到 BD 距離為22222babac. (2)解法一：平面 BQD 經(jīng)過線段 PA 的中點， P 到平面 BQD 的距離等于 A 到平面 BQD 的距離 在AQE 中，作 AHQE，H 為垂足 BDAE,BDQE,BD平面 AQE BDAH AH平面 BQE，即 AH 為 A 到平面 BQD 的距離. 在 RtAQE 中，AQ=c,AE=22baab AH=22222)(bacbaabc P 到平面 BD 的距離為22222)(bacbaabc 解法二：設點 A 到平面 QBD 的距離為 h，由 VABQD=VQABD,得

12、31SBQDh=31SABDAQ h=22222)(bacbaabcSAQSBQDABD 殲滅難點訓練 一、1.解析：過點 M 作 MMEF,則 MM平面 BCF MBE=MBC BM為EBC 為角平分線， EBM=45,BM=2,從而 MN=22 答案：A 2.解析：交線 l 過 B 與 AC 平行，作 CDl 于 D，連 C1D，則 C1D 為 A1C1與 l 的距離，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD=512,RtC1CD 中易求得 C1D=513=2.6 答案：C 二、3.解析：以 A、B、C、D 為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取 P、Q分別為 AB、CD 的中點，因為

13、 AQ=BQ=22a,PQAB,同理可得 PQCD，故線段 PQ 的 長為 P、 Q 兩點間的最短距離， 在 RtAPQ 中， PQ=22)2()23(2222aaAPAQa 答案：22a 4.解析： 顯然FAD是二面角EABC的平面角， FAD=30,過 F作 FG平面ABCD于 G，則 G 必在 AD 上，由 EF平面 ABCD. FG 為 EF 與平面 ABCD 的距離，即 FG=2a. 答案：2a 三、5.(1)證明：由于 BC1AD1，則 BC1平面 ACD1 同理，A1B平面 ACD1，則平面 A1BC1平面 ACD1 (2)解：設兩平行平面 A1BC1與 ACD1間的距離為 d，

14、則 d 等于 D1到平面 A1BC1的距離.易求 A1C1=5， A1B=25， BC1=13， 則 cosA1BC1=652,則 sinA1BC1=6561,則 S111CBA=61,由于111111DCABBCADVV，則31S11BCAd=)21(31111DCADBB1,代入求得 d=616112,即兩平行平面間的距離為616112. (3)解：由于線段 B1D1被平面 A1BC1所平分，則 B1、D1到平面 A1BC1的距離相等，則由(2)知點 B1到平面 A1BC1的距離等于616112. 6.解：(1)連結(jié) DB 交 AC 于 O，連結(jié) EO， 底面 ABCD 是正方形 DOAC

15、，又 ED面 ABCD EOAC，即EOD=45 又 DO=22a，AC=2a，EO=45cosDO=a，SEAC=22a (2)A1A底面 ABCD，A1AAC，又 A1AA1B1 A1A 是異面直線 A1B1與 AC 間的公垂線 又 EOBD1，O 為 BD 中點，D1B=2EO=2a D1D=2a，A1B1與 AC 距離為2a (3)連結(jié) B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q，推證出 B1D面 EAC B1Q 是三棱錐 B1EAC 的高，得 B1Q=23a 32422322311aaaVEACB 7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1 BB1平面 A1EF 即面

16、A1EF面 BB1C1C 在 RtA1EB1中， A1B1E=45，A1B1=a A1E=22a,同理 A1F=22a,又 EF=a，A1E=22a 同理 A1F=22a,又 EF=a EA1F 為等腰直角三角形，EA1F=90 過 A1作 A1NEF，則 N 為 EF 中點，且 A1N平面 BCC1B1 即 A1N 為點 A1到平面 BCC1B1的距離 A1N=221a 又AA1面 BCC1B，A 到平面 BCC1B1的距離為2a a=2，所求距離為 2 (2)設 BC、B1C1的中點分別為 D、D1，連結(jié) AD、DD1和 A1D1，則 DD1必過點 N，易證ADD1A1為平行四邊形. B1

17、C1D1D,B1C1A1N B1C1平面 ADD1A1 BC平面 ADD1A1 得平面 ABC平面 ADD1A1，過 A1作 A1M平面 ABC，交 AD 于 M， 若 A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90 AMA1A1ND1,AA1=A1D1=3,即當 AA1=3時滿足條件. 8.解：(1)BCAD,BC面 PBC,AD面 PBC 從而 AD 與 PC 間的距離就是直線 AD 與平面 PBC 間的距離. 過 A 作 AEPB，又 AEBC AE平面 PBC，AE 為所求. 在等腰直角三角形 PAB 中，PA=AB=a AE=22a (2)作 CMAB，由已知 c

18、osADC=552 tanADC=21,即 CM=21DM ABCM 為正方形，AC=2a,PC=3a 過 A 作 AHPC,在 RtPAC 中，得 AH=36 下面在 AD 上找一點 F，使 PCCF 取 MD 中點 F，ACM、FCM 均為等腰直角三角形 ACM+FCM=45+45=90 FCAC,即 FCPC在 AD 上存在滿足條件的點 F. 學法指導立體幾何中的策略思想及方法 立體幾何中的策略思想及方法 近年來，高考對立體幾何的考查仍然注重于空間觀點的建立和空間想象能力的培養(yǎng).題目起點低，步步升高，給不同層次的學生有發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強，有幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系.因此，高考復習應在抓好基本概念、定理、表述語言的基礎上， 以總結(jié)空間線面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手， 突出數(shù)學思想方法在解題中的指導作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題的有效的策略思想及方法. 一、領悟解題的基本策略思想 高考改革穩(wěn)中有變.運用基本數(shù)學思想如轉(zhuǎn)化，類比，函數(shù)觀點仍是考查中心，選擇好典型例題， 在基本數(shù)學思想指導下， 歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學生歡迎的，學生通過熟練運用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，解決一般基本數(shù)學問題就會自然流暢. 二、探尋立體幾何圖形中的基面 立體幾何圖