曲線積分實踐課

1、 第二十章 曲線積分實踐課一 疑難問題與注意事項1.定積分可看成第一型曲線積分的特例嗎？答：不能，第一型曲線積分要求，但定積分中可能為負(fù).2.第一型曲線積分與第二型曲線積分有什么區(qū)別和聯(lián)系.答：區(qū)別：第一型曲線積分（對弧長的積分）意義是求曲線段物體質(zhì)量，與方向沒有關(guān)系在用公式，其中計算時，一定要注意下限小于上限，最后曲線積分值為正.第二型曲線積分（對坐標(biāo)的積分）意義是質(zhì)點受力做功，與曲線的方向有關(guān)在用公式其中，表示從起點對應(yīng)的參數(shù)變化到終點所對應(yīng)的參數(shù)計算時，首先確定起點所對應(yīng)的參數(shù)，終點所對應(yīng)的參數(shù)，然后起點參數(shù)作為下限，終點參數(shù)作為上限，這里注意不一定小于，積分值可正可負(fù)聯(lián)系： 兩類曲線積

2、分雖然有所不同，然而在規(guī)定了曲線的方向之后，這兩者之間有著一定的聯(lián)系：設(shè)為以弧長為參量的有向光滑曲線，且上每一點的切線方向指向弧長增加的一方.以與分別表示切線方向與軸和軸正向的夾角，如果在上連續(xù)，則3.第一型曲線積分的計算方法小結(jié)：1）先把的方程代入，然后利用（表示的整個弧長）計算例 求，其中是單位圓周 解 注意，必須滿足的方程，的整個弧長2）利用計算公式設(shè)有光滑曲線，函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)曲線由方程表示，且在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時，則 當(dāng)曲線由方程表示，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時，則 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程，則3）利用對稱性（1）若分段光滑曲線關(guān)于軸對稱，在上為連續(xù)函數(shù)，為位于軸右側(cè)的弧段，則（

3、2）若分段光滑曲線關(guān)于軸對稱，在上為連續(xù)函數(shù)，為位于軸上側(cè)的弧段，則（3）若關(guān)于直線對稱，記位于直線上半部分區(qū)域為，則（4）若積分曲線關(guān)于具有輪換對稱性，則4.第二型曲線積分的計算方法小結(jié)：1）利用公式：設(shè)，則2）利用第一型曲線積分與第二型曲線積分的關(guān)系或 其中，為曲線孤上上點處沿定向到方向的切線的方向余弦3）利用格林公式（下一章講）三 典型例題1.1）計算，其中是與相交的圓周2）求，其中是球面與平面的交線解 1）由，得，于是 2） 2.計算，其中為星形線解 由關(guān)于軸對稱，且被積函數(shù)奇，關(guān)于軸對稱，且被積函數(shù)奇，于是，在由輪換性，設(shè)為在第一象限的部分，利用對稱性，的參數(shù)方程為，于是.3.設(shè)為曲線，求.解 利用輪換對稱性，得.4.，其中為圓周，直線以及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界解： ：，：，：,，因此 5計算第二型曲線積分1）,其中為與軸所圍的閉曲線,依順時針方向；2）,其中為到的直線段解 1）看成兩條曲線，其中為