一種用于解決非線性濾波問題的新型粒子濾波算法

1、一種用于解決非線性濾波問題的新型粒子濾波算法王法勝趙清杰(北京理工大學計算機科學技術(shù)學院北京100081摘要粒子濾波算法受到許多領(lǐng)域的研究人員的重視,該算法的主要思想是使用一個帶有權(quán)值的粒子集合來表示系統(tǒng)的后驗概率密度。在擴展卡爾曼濾波和Unscented卡爾曼濾波算法的基礎上,本文提出一種新型粒子濾波算法。首先用Unscented卡爾曼濾波器產(chǎn)生系統(tǒng)的狀態(tài)估計,然后用擴展卡爾曼濾波器重復這一過程并產(chǎn)生系統(tǒng)在k時刻的最終狀態(tài)估計。在實驗中,針對非線性程度不同的兩種系統(tǒng),分別采用五種粒子濾波算法進行實驗。結(jié)果證明,本文所提出算法的各方面性能都明顯優(yōu)于其他四種粒子濾波算法。關(guān)鍵字非線性濾波;擴展卡

2、爾曼濾波器;Unscented卡爾曼濾波器;粒子濾波器;MKPF1引言眾所周知,卡爾曼濾波器1-2是解決線性高斯問題的最優(yōu)濾波方法,但是在現(xiàn)實世界中,人們所面臨的問題大都是非線性非高斯的,因此非線性濾波問題是極為普遍的,許多領(lǐng)域都涉及到,其中包括統(tǒng)計信號處理、經(jīng)濟學、生物統(tǒng)計學,以及工程領(lǐng)域中的通信3、雷達跟蹤4、目標跟蹤5,6、汽車定位7、導航7-8、機器人定位9-12等等。解決非線性濾波問題最為普遍的方法是擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filter, EKF。但是該方法只適用于弱非線性的系統(tǒng),對于強非線性系統(tǒng),很容易導致發(fā)散。最近,研究人員提出一種新的用于解決非線性濾波

3、問題的濾波器,它是基于這樣一種考慮:近似一種高斯分布要比近似任何一種非線性方程容易的多。他們將這種濾波器稱為Unscented卡爾曼濾波器(UKF13-15。實驗證明UKF給出的估計結(jié)果比EKF更準確,尤其是它能給出更精確的系統(tǒng)狀態(tài)方差估計。然而,UKF的使用具有一定的限制,它不適用于一般的非高斯分布的模型。解決非線性濾波問題的一種更新的方法是粒子濾波器(particle filter, PF,其基本思想是用一組帶有權(quán)值的粒子集合來表示解決問題時需要的后驗概率密度16,然后用這一近似的表示來計算系統(tǒng)的狀態(tài)估計。在過去幾年里,粒子濾波器在許多領(lǐng)域取得了成功的應用。自粒子濾波器被第一次提出以來,經(jīng)

4、過幾年的發(fā)展,現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)多種粒子濾波器,例如擴展卡爾曼粒子濾波器(EKPF13、Unscented粒子濾波器(UPF 13、輔助粒子濾波器(Auxiliary particle filter 17、高斯粒子濾波器(Gaussian particle filter18、高斯加和粒子濾波器(Gaussian sum particle filter19、PARZEN粒子濾波器20,以及由我國的李良群提出的迭代擴展卡爾曼粒子濾波器(Iterated EKPF21等等。在EKF和UKF的基礎上,本文提出一種新型粒子濾波算法,稱之為混合卡爾曼粒子濾波器(mixed Kalman particle fil

5、ter, MKPF。它將EKF、UKF一起作為建議分布。在時刻k,首先用Unscented卡爾曼濾波器產(chǎn)生系統(tǒng)的狀態(tài)估計,然后用擴展卡爾曼濾波器重復這一過程并產(chǎn)生系統(tǒng)在k時刻的最終狀態(tài)估計。本文第2節(jié)介紹了PF的基本原理;第3節(jié)介紹了EKF和UKF;第4節(jié)結(jié)合EKF和UKF,提出了新的粒子濾波算法;第5節(jié)給出比較實驗結(jié)果;第6節(jié)為結(jié)論。2粒子濾波器假設動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:本課題主要受北京理工大學基礎基金(200501F4210及計算機科學技術(shù)基金資助,部分受到國家自然科學基金(60503050資助.王法勝,男,1983年生,碩士研究生,主要研究方向為粒子濾波技術(shù)及其應用. Email:

6、wangfashion. 趙清杰,女,1966年生,博士,副教授,碩士研究生導師.主要研究方向為智能控制技術(shù),機器視覺,非線性濾波技術(shù),醫(yī)學圖像處理等. Email: qingjie.zhao.,(11-=k k k k v x f x (1,(k k k k u x h z =(2k x 表示系統(tǒng)在k 時刻所處的狀態(tài),k z 表示k 時刻的測量向量,兩個函數(shù)x v x n n n k f :和z u x n n n k h :分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和測量函數(shù),k v ,k u 分別表示系統(tǒng)的過程噪聲以及測量噪聲。粒子濾波算法最先由Gordon 在文獻22中提出,它為離散時間的遞歸濾波問題

7、提供了一種近似的貝葉斯解決方法,其基本思想是構(gòu)造一個基于樣本的后驗概率密度函數(shù)。用N i i k i k w x 1:0,=表示系統(tǒng)后驗概率密度函數(shù)|(:1:0k k z x p 的粒子集合,其中i k x :0, i =1,N 是支持樣本集,相應的權(quán)值為N i w ik,.,1,=,且滿足11=Ni i kw,而,.,0,:0k j x x j k =表示到時刻k 系統(tǒng)所有狀態(tài)的集合,所以時刻k 的后驗密度可以近似表示為:=-Ni ik k i k k k x x w z x p 1:0:0:1:0(|(3于是就有了一種表示真實后驗密度|(:1:0k k z x p 的離散帶權(quán)近似表示,而那

8、些關(guān)于數(shù)學期望的復雜計算(通常帶有復雜的積分運算就可以簡化為和運算了,如:k k k k k dx z x p x g x g E :0:1:0:0:0|(=(4可以近似為:(=Ni i k i k k x g w x g E 1:0:0(5許多粒子濾波器依賴于重要采樣技術(shù),粒子權(quán)值就是根據(jù)重要采樣技術(shù)來選擇的23-24,因此,建議分布的設計就顯得非常重要。如果根據(jù)重要密度|(:1:0k k z x q 選擇粒子,那么粒子的權(quán)值可以定義為,|(|(:1:0:1:0k ik k ik i kz x q z x p w (6在時刻k -1,如果已經(jīng)得到k -1時刻后驗密度|(1:11:0-k ik

9、 z x p 的近似表示的粒子集合,下一步就是用一個新的粒子集合來近似表示k 時刻的后驗密度|(:1:0k ik z x p 。為了得到一種遞歸的表示方法,可以將選擇的重要密度函數(shù)因式分解為,|(,|(|(1:11:0:11:0:1:0-=k k k k k k k z x q z x x q z x q(7然后,通過將獲得的新狀態(tài),|(:11:0:0k k k i k z x x q x -加入到已知的粒子集合i k x 1:0-|(1:11:0-k k z x q 中,得到新的粒子集合|(:1:0:0k k i k z x q x 。根據(jù)貝葉斯規(guī)則,可以得到權(quán)值更新方程如下:|(:1:0k

10、 k z x p =|(|(,|(1:11:1:01:1:0-k k k k k k k z z p z x p z x z p=|(|(,|(,|(1:11:11:01:11:01:1:0-k k k k k k k k k k z z p z x p z x x p z x z p=|(|(|(|(1:111:11:0-k k k k k k k k z z p x x p x z p z x p|(|(|(1:11:01-k k k k k k z x p x x p x z p(8將(7和(8代人(6,得到權(quán)值更新方程如下:,|(|(|(|(,|(|(|(|(:11:0111:11:0

11、:11:01:11:01k i k i k i k i k ik k i k k ik k i k i k k ik i k i k i k k ikz x x q x x p x z p w z x q z x x q z x p x x p x z p w - (9為了得到一種更為簡單的形式,假設,|(,|(1:11:0k k k k k k z x x q z x x q -=(即假設方程(1所描述的是一個一階馬爾可夫過程,這就意味著重要密度只取決于1-k x 和k z ,因此,修正的權(quán)值為,|(|(|(111k ik i k ik i k i k k i k ik z x x q x

12、x p x z p ww - (10基本粒子濾波算法的一個主要問題是退化問題,即經(jīng)過幾步迭代以后,除了極少數(shù)粒子外,其他的粒子權(quán)值小到可以忽略不計的程度。減少退化現(xiàn)象影響的方法一般有兩種,一是選擇好的重要密度函數(shù),另一種是使用再采樣技術(shù)13,22-24。再采樣方法就是去除那些權(quán)值較小的粒子,而復制權(quán)值較大的粒子。目前存在多種再采樣算法,如殘差采樣、最小方差采樣、多項式采樣等。本文使用殘差采樣算法。文獻13給出了標準粒子濾波器算法。3 擴展卡爾曼濾波器與Unscented 卡爾曼濾波器 3.1 擴展卡爾曼濾波器擴展卡爾曼濾波器中系統(tǒng)的狀態(tài)分布用高斯隨機變量(GRV 來表示。在某一時刻,EKF 方

13、法將系統(tǒng)的非線性方程在當前關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)x 的估計處,展開成一階泰勒展式。EKF 的具體算法參見文獻1,2。 以EKF 作為建議分布就得到了擴展卡爾曼粒子濾波器(EKPF 。由于EKF 用泰勒展式將系統(tǒng)的非線性方程進行線性化,使得系統(tǒng)的非線性性質(zhì)不能得到很好的描述,該算法只能達到一階的精度。EKPF 的具體算法參見文獻13。 3.2 Unscented 卡爾曼濾波器(UKFUnscented 變換是計算進行非線性傳遞的隨機向量概率的一種方法15,它是基于這樣一種考慮:近似一種概率分布比近似一種任意的非線性方程或者非線性變換要容易的多14,15。設x 是x n 維的隨機向量,z xn n g :是

14、一非線性函數(shù)z =g (x ,考慮將x 通過非線性函數(shù)g 傳遞,假定x 的均值和協(xié)方差分別為x 和x P 。為了計算關(guān)于z 的統(tǒng)計量,我們首先選擇2x n +1個帶有權(quán)值的樣本點(也稱SIGMA 點,i i i W S =,使其能夠完全獲取隨機變量x 的真實的均值和協(xié)方差。SIGMA 點的選擇以及權(quán)值的確定是根據(jù)以下方程,x =0x i x x i n i P n x ,.,1(=+= x x ni x x i n n i P n x x2,.,1(+=+-=-(11+=x m n W (01(2(0+-+=x c n W x x c i m i n i n W W 2, (1(21(=+=(

15、12其中x x n n -+=(2是一個尺度調(diào)節(jié)因子,決定了我們選擇的SIGMA 點在其均值x 附近的分布情況,通常將設置為一個很小的正值(如0.001。是次級尺度調(diào)節(jié)因子,通常設置為0,是用來結(jié)合關(guān)于x 的分布的先驗知識(對于高斯分布,的最佳取值為2。i x x P n (+是矩陣x x P n (+平方根的第i 行,i W 表示第i 個SIGMA 點的權(quán)值,且滿足W i =1。(m i W 是用來計算均值(mean的權(quán)值,(c i W 是用來計算協(xié)方差(covariance的權(quán)值,二者除在初始情況下不同外,在x n i 2,.,1=時都是一樣的。將每個SIGMA 點通過非線性函數(shù)向前傳遞,

16、x i i n i g Z 2,.,0(=(13通過計算可以得到z 的均值和協(xié)方差的估計,=xn i i m i Z W z 20(14=-=xn i T i i c i z z Z z Z W P 20(15UKF 是UT 的直接擴展,系統(tǒng)的狀態(tài)分布仍然用一個高斯隨機變量來表示,用一個經(jīng)過選擇的SIGMA 點的集合來具體表示,但是狀態(tài)隨機變量被重新定義為原始狀態(tài)和噪聲變量的擴張向量(a ugmentedTT kT k T ka k u v x x =,上標T 表示轉(zhuǎn)秩。方程(11用來獲得相應的SIGMA 矩陣(T T u kT v kT x ka k=。通常,EKF 和UKF 都使用高斯近似

17、來表示先驗以及后驗密度。但是,UKF 同樣能夠準確的獲得在先驗和后驗密度上的離散度。關(guān)于UKF 算法的實現(xiàn),請參考文獻13-15。在粒子濾波器的框架內(nèi),以UKF 作為建議分布,就得到了Unscented 粒子濾波器,詳細的UPF 算法請參考文獻13。 最近,李良群21等人提出了一種迭代擴展卡爾曼粒子濾波器(IEKPF ,該算法在仿真實驗中得到的效果要比標準例子濾波器以及EKPF 和UPF 的效果要好。在該算法中,將測量更新過程進行迭代,以獲取更加“真實”的估計量。本文提出的MKPF 的效果比IEKPF 更好,下面進行詳細介紹。4 混合卡爾曼粒子濾波器MKPF 采用混合的卡爾曼粒子濾波器作為建議

18、分布,仿真實驗中得到的估計結(jié)果優(yōu)于其它幾種濾波算法,包括UPF 和IEKPF 。在時刻k ,首先用UKF 更新粒子,以獲得相應的狀態(tài)估計值ukf ik x ,然后,分別計算系統(tǒng)模型與測量模型的雅可比矩陣,用EKF 更新粒子,此時使用UKF 已經(jīng)得到的狀態(tài)估計值ukf i k x 作為k -1時刻的狀態(tài)估計,即,令i k x 1-=ukf i k x 。經(jīng)過計算得到k 時刻最終的狀態(tài)及其相應的協(xié)方差的估計值i k x 和i k P 。從而可以從建議分布,(i ki k P x N 中抽取粒子。假設k -1時刻的狀態(tài)及相應協(xié)方差的估計分別為i k x 1-和i k P 1-,在下一時刻k ,先使用

19、UKF 更新粒子。該過程中用到的SIGMA 點的選擇根據(jù)方程:ai k ,1-=a i k a a i k a i k P n x x ,1,1,1(-+ (16此后將SIGMA 點分別通過系統(tǒng)模型與測量模型向前傳遞,得到狀態(tài)及協(xié)方差的預測值:,(,1,1,1|v i k x i k x i k k f -=, ,(,1,1|1|ui k x i k k i k k h Z -=(17=-=an j x i k k j m j ukfik k W x20,1|,(1|(18=-=an j Tukf i k k x i k k j ukf i k k x i k k j c j ukfik k

20、x x W P201|,1|,1|,1|,(1| (19其中(m jW 和(c j W 是第j 個SIGMA 點的權(quán)值,u v x a n n n n +=。所以,預測的測量值的均值可以按以下方程計算得到:=-=an j i k k j m j ukfik k Z W z201|,(1|(20得到新的測量值k z 之后,更新預測狀態(tài)估計量ukf ik k x 1|-如下:(1|1|ukf i k k k k ukf i k k ukf i k z z K x x -+=(21其中1-=k k k k z z z x k P P K 為卡爾曼增益,按下面公式計算得到,=-=ak k n j Ti

21、 k k i k k j i k k i k k j c j z z z Z z Z W P 201|1|,1|1|,(22=-=ak k n j T i k k i k k j i k k i k k j c j z x z Z x W P 201|1|,1|1|,(23這樣就獲得了狀態(tài)估計值ukf ik x 。然后用EKF 執(zhí)行粒子更新過程。首先預測狀態(tài)及協(xié)方差:=-(11|i k ekf i k k x f x f (ukf i k x (24i T kk i k i T k i k i k ekf i k k G Q G F P F P ,11|+=- (25據(jù)此求取卡爾曼增益:11|

22、1|(-+=T i k ekf i k k i k T i k k i k T i k ekf i k k k H P H U R U H P K(26修正預測量得到最終所需的估計量,如下:ekf i k k i k k ekf i k k ekf i k P H K P P 1|1|-=(27ekf i k x (1|11|ekf ik k k k T i k ekf i k ekf i k k x h z R H P x -+=(28其中Q 為系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差,R 為測量噪聲的協(xié)方差,i k F 和i k G 以及i k H 和ik U 分別為系統(tǒng)模型和測量模型的雅可比矩陣,最終求得的ek

23、fi k x 和ekf ik P 就是我們要求的k 時刻的估計量。 綜上所述,MKPF 算法可以表示如下: 算法 1: MKPF 算法(1 初始化: k =0For i =1N , 從初始先驗密度(0x p 中抽取粒子ix 0,并設: (0,0,(0,0,0,0,0,00,0,00000000R Q P diag x x x x E P x x E xx x x x E P x E x iT a i ai a i a i a i TT i a i a i T i i i i i ii =-=-= (29(2 FOR k =1,2, 1. FOR i =1,N :- 根據(jù)UKF 更新粒子: 根據(jù)

24、方程(16計算所需的SIGMA 點. 傳遞SIGMA 點并計算處一步預測估計值:方程 (17 (20 獲取新的測量值k z ,根據(jù)方程(21修正一步預測估計值,獲得修正的狀態(tài)估計ukf ik x 。 - 根據(jù)EKF 更新粒子: 令i k x 1-=ukf i k x ,據(jù)方程(24(25計算狀態(tài)及相應協(xié)方差的一步預測值。 分別求取系統(tǒng)模型及觀測模型的雅可比矩陣iki k G F & 和iki k U H &。 計算修正的狀態(tài)及協(xié)方差估計值:方程(27 (28 令ekfi k i k ekf i k i k P P x x ,=,最終求得k 時刻所需的估計量。 - 得到近似服從高斯分布的建議分布

25、,抽取樣本(粒子,(,|(:11:0ik i k k i k i k i k P x N z x x q x =- - 根據(jù)方程(10為每個樣本賦以權(quán)值i k w 。ENDFOR2. FOR i =1,N歸一化權(quán)值:=Nj j k ik i k w w w :1/。 ENDFOR3.再采樣過程:a 消除權(quán)值較小的粒子,復制權(quán)值較大的粒子,獲得N 個隨機樣本ik x :0,近似服從分布|(:1:0k k z x p .b 為每個再采樣之后的樣本粒子賦以相同的權(quán)值FOR i =1,N , ik w =1/N . ENDFOR5 實驗結(jié)果這一部分給出本文提出的MKPF 算法的實驗結(jié)果,并與其他幾種非

26、線性濾波算法進行比較。共進行兩次實驗,分別采用不同的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。實驗一 假設非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:115.01(04.0sin1-+-+=k k k v x k x (3030+-+=k k u x u x z kk kk k (31其中k v 服從伽馬分布2,3(a ,表示系統(tǒng)噪聲,測量噪聲k u 服從高斯分布0001.0,0(N 。實驗中使用的粒子數(shù)目為N =200個,觀測時間為T =60,進行100次獨立實驗。UT 參數(shù)設置為=1,=0,=2。算法的輸出為粒子集合的均值,計算公式如下:=N j jk k x N x11 (32一次獨立實驗的均方誤差為:2/112(1-=T k

27、 k k x xT MSE (33圖2給出了不同粒子濾波器進行一次獨立實驗所產(chǎn)生的狀態(tài)估計結(jié)果,可以看出,在某些時刻標準粒子PF 與EKPF 產(chǎn)生的估計偏離真實值較為嚴重,但是UPF 、IEKPF 以及MKPF 所估計的狀態(tài)能較好地與真實狀態(tài)吻合,而MKPF 算法的效果最為理想。表1給出了經(jīng)過100次獨立實驗、不同非線性濾波算法的均方誤差的均值以及方差,可以非常明顯地看出:MKPF 算法的估計精度優(yōu)于其他幾種粒子濾波算法。表1. 100次獨立實驗后不同非線性濾波算法產(chǎn)生的均方誤差的均值與方差(實驗一AlgorithmMSEmeanvar EKF 0.36969 0.0161216 UKF 0.

28、26812 0.0107 PF 0.19089 0.041927 EKPF 0.29028 0.015819 UPF 0.049493 0.0045229 IEKPF 0.043965 0.0010825 MKPF0.0156540.0004159圖3給出了100次獨立實驗之后每個時刻產(chǎn)生的均方誤差的曲線,同樣表明了MKPF 算法的精度優(yōu)于其他幾種粒子濾波算法。 圖2. 不同非線性濾波算法產(chǎn)生的狀態(tài)估計曲線(實驗一 圖3. 不同粒子濾波器產(chǎn)生的均方誤差曲線(實驗一實驗二 假設非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:115.04sin(1(04.0sin1-+-+=k k k k v x x k x (34

29、k k k k k u x x x z +-+=25(35可以看出,該系統(tǒng)具有更強的非線性。系統(tǒng)噪聲與測量噪聲的分布與實驗一相同,其他參數(shù)設置同實驗一。與實驗一對應,圖4為獨立運行一次產(chǎn)生的狀態(tài)估計的均值與真實狀態(tài)的對比?？梢钥吹?在幾種粒子濾波器中,EKPF 對于非線性系統(tǒng)的適應性是最差的。以上幾種非線性濾波算法估計性能比較表如表2所示。經(jīng)過100次獨立運行實驗后,各粒子濾波器產(chǎn)生的均方誤差曲線如圖5,可以看到MKPF 算法的均方誤差曲線除在局部產(chǎn)生波動外,其總體誤差小于其它算法,這同樣反應在表2中。同樣可以看出MKPF 算法得出的估計結(jié)果優(yōu)于其它幾類非線性濾波算法。表2. 100次獨立實驗

30、后不同非線性濾波算法產(chǎn)生的均方誤差的均值與方差(實驗二AlgorithmMSEmeanvar EKF 0.55151 0.024951 UKF 0.42119 0.021457 PF 0.36445 0.069802 EKPF 0.48043 0.02831 UPF 0.11994 0.015088 IEKPF 0.05651 0.0015319 MKPF0.0356260.0033575圖 4. 不同非線性濾波算法產(chǎn)生的狀態(tài)估計曲線（實驗二） 圖 5. 不同粒子濾波器產(chǎn)生的均方誤差曲線（實驗二） 結(jié)論 粒子濾波器在解決非線性非高斯濾波問題中取得了非常好的效果。綜合以上論述與實 驗，本文提出的

31、新型粒子濾波器MKPF，該算法采用 EKF 與 UKF 混合作為建議分布，得 到一種更接近真實分布的近似表達方式。 實驗結(jié)果表明， 新算法明顯優(yōu)于其它幾種粒子濾波 算法。 MKPF 算法的提出為非線性濾波領(lǐng)域中的問題提供了一種新的解決方法。 在下一步工 作中，我們將用 MKPF 算法解決目標跟綜問題、以及非線性系統(tǒng)的參數(shù)估計問題。 6 參考文獻： 參考文獻： 1. Anderson B. D.O., Moore J. B. Optimal filtering. Prentice-Hall, 1979. 2. Welch G., Bishop G. An introduction to the

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