【圖文】第五節(jié)極限的運算法則及存在準(zhǔn)則

1、 極限的幾種類型： 1 簡單型 由運算法則直接求出結(jié)果 ： 例1 求 lim(4 x 3 - x 2 + 3. x®2 解 lim(4 x 3 - x 2 + 3 = lim 4 x 3 - lim x 2 + lim 3 x®2 x ®2 x ®2 x ®2 = 4 (lim x 3 - (lim x 2 + 3 = 4 ´ 2 3 - 2 2 + 3 = 31 x ®2 x ®2 一般地, 設(shè)n次多項式為 Pn ( x = a n x n + a n-1 x n-1 + L + a1 x + a 0 , 則 即

2、 x ® x0 n n lim Pn ( x = an x0 + an-1 x0 -1 + L + a1 x0 + a0 , x ® x0 lim Pn ( x = Pn ( x0 . x + 3x + 7 = 例 2 lim x ® -1 x +2 2 x ® -1 lim ( x 2 + 3 x + 7 x ® -1 lim ( x + 2 -12 + 3( -1 + 7 5 ( = = =5 -1 + 2 1 注 : 一般地 , 求有理函數(shù)當(dāng) x ® x0 的極限時 若分母的極限不為零， x = x0 代入有理 把 函數(shù)直接求函

3、數(shù)值 , 即為該函數(shù)的極限。 2x - 1 2 ´ 2 - 1 例 lim 2 = 2 =3 x®2 x - 3 2 -3 0 2 型 ( 記號 0 2 x -4 = lim ( x + 2 = 2 + 2 = 4 例 3 lim x ®2 x - 2 x ®2 【注】 對分子、分母極限均為 0 情形的有理式 , 先約 去分子分母的公因子 , 再求極限，不能直接使用法則 3 練習(xí)： x - 16 求 lim . x ®4 x - 4 x 2 - 16 解 lim = lim( x + 4 = 4 + 4 = 8 x ®4 x - 4

4、x ®4 2 ¥ 3 ¥ 型 ( 記號 3 x2 + x + 1 lim 例 4 x ®¥ 2 - + 2x x 1 = 3 2 1 + + 3 x = lim x ®¥ 1 2- + x 1 lim ( 3 + 2 x = x ®¥ 1 lim( 2 x2 x ® ¥ 1 + x 1 + x 1 2 x 1 2 x 1 5 1 5 + 2 + 2 lim ( +5 x x x = x ®¥ x x = 0 = 0 = lim 例 5 lim 2 x ®&

5、#165; x - 9 x ®¥ 9 9 - 2 - 2 1 1 lim (1 x ®¥ x x ¥ 【注】對 ¥ 型 的有理式函數(shù)的極限 , 由于分子分母極限 為 ¥ , 極限不存在 , 不能用法則 3 , 先對分子 、分母同 除以 x 的最高次冪再求極限。 4 x3 + 2 x - 1 練習(xí)： 求 lim . 2 x ®¥ x +3 2 1 4+ 2 - 3 3 4x + 2x - 1 x x = lim lim 解 =¥ 2 x ®¥ x ®¥ 1 3 x +3 + x x3 一般地 , 設(shè)a0 ¹ 0, b0 ¹ 0 , m, n 為正整數(shù) , 則 a0 x n + a1 x n-1 + a2 x n- 2 + L + an = lim m m