2019屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1頁共 17 頁2019 屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1._已知集合A=1,3,B=1,2,m，若 B,則實(shí)數(shù) m =_【答案】3【解析】試題分析：“,二 3.【考點(diǎn)】本小題主要考查集合的關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力 點(diǎn)評：集合的關(guān)系是常考的內(nèi)容，但難度一般較低2 .求 Iog21+ Iog42 = =_1【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算公式，直接計(jì)算得出結(jié)果【詳解】1 1= + log ,2 = -log.2 =-原式.【點(diǎn)睛】本小題考查對數(shù)運(yùn)算，直接利用對數(shù)運(yùn)算公式可計(jì)算出結(jié)一匚=.金-13 .若 tan 厶，且角 a 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x, 1)，貝 U x=_【答

2、案】2【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列方程，解方程求得的值【詳解】1 1tana = _ = _根據(jù)三角函數(shù)的定義，有，解得.果屬于基礎(chǔ)題其中解方程即可求得未知數(shù)【解析】第 2 頁共 17 頁【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定義列方程，,r2 tmnct = - sina = - cos a =-的值屬于基礎(chǔ)題三角函數(shù)的定義是：.根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以確定三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號要注意正切值不存在的情況4命題：“x 1, x2 - 2 0 是_ 命題.(填 真”、假)”【答案】真【解析】利用特殊值，代入-驗(yàn)證命題的真假性【詳解】如.時(shí)，故原命題為真命題【點(diǎn)睛】本小題主要考查

3、特稱命題真假性的判斷要使一個(gè)特稱命題成立，只需要舉出一個(gè)正面的例子來驗(yàn)證即可，屬于基礎(chǔ)題x)(a + x)5.已知函數(shù) f(x) =x是奇函數(shù)，則 f(x) 1 或1VXV0【解析】現(xiàn)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得的值，然后利用解不等式 【詳解】(1 + x)(a-x)+ X)(1x)(! + x)f(F)=- f(X)=-由于函數(shù)為奇函數(shù)，故,解得故,+ x) n- 0令.，解得 I 或-：； 0)截得的線段長為2、；2，則圓 C 的半徑 r =_【答案】2【解析】先求得雙曲線的漸近線，利用直線和圓相交所得弦長公式列方程，解方程求得的值.【詳解】由于雙曲線為等軸雙曲線，故漸近線為： ,不妨設(shè)漸近線為圓

4、的圓心為,【點(diǎn)睛】半徑為圓心到直線的距離為本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查直線和圓相交所得弦2 2x - =1長公式對于雙曲線，漸近線為by =+-x日，對于雙曲線日b，漸近線為b.故弦長為第6頁共 17 頁10.若函數(shù) f(x) = 3sin(x+ )與 g(x) = 8tanx 的圖象在區(qū)間(0,)上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xO,則 cos2x0 的值為_1【答案】【解析】令一 ，化簡求得交點(diǎn)的一個(gè)表達(dá)式，然后代入求得.【詳解】3$in/x + -)二 Stanx22.令 f(x) -ECX) 即 2/3cosx =x - 8$inx 3(lsin x) = 8sinxsi

5、nxfl= 一COS2XA= l-2siri2xft= 1-23, 故【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式， 考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查一元二次方程的解法， 以及二倍角公式誘導(dǎo)公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”同角三角函數(shù)關(guān)系主sinx22tanx =-要是平方關(guān)系: I 和商數(shù)關(guān)系解一元二次方程可以首先考慮十字相乘法，不行的話再考慮公式法11.已知為正常數(shù)，：，若使：，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_ .【答案】(2,+)【解析】，當(dāng)時(shí)，故需 I 由此解得 【詳解】由于 ，函數(shù)：. 在上單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)有最小值為在 時(shí), 函數(shù)為增函數(shù)，要使存在，使得丨、,則需,解得【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)

6、的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直線和圓相交所得弦長的弦長公式為，其中：為圓心到直線的距離第7頁共 17 頁屬于中檔題2nAB = 3.AC = lA = AD- 一12 在三角形臓中，3是“的角平分線，則 AD，AB=_.9【答案】【解析】利用角平分線定理，將表示為* -的線性和的形式，由此求得向量的數(shù)量積【詳解】AB BD丄 - 亠 2 一 1 亠一=3,AD= AB + BD = AB + -0C = AB + -(AC-AB) = -A0 + -AC由角平分線定理得： 所以I-：，丄-m-1了 mi i 9AD AB = -AB + -AC AB = - x 3S

7、- x 3 x 1 x =-所以u 4)44w 8.【點(diǎn)睛】本小題考查三角形角平分線定理的應(yīng)用，考查向量數(shù)量積在三角形中的處理方法角平分線定理是一個(gè)平面幾何的定理，在不少題目中都會(huì)運(yùn)用到對于三角形中的向量運(yùn)算，往往都化為已知的同起點(diǎn)的向量來運(yùn)算如本題中的；，就轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)向量的線性和來處理這樣處理后就可以利用已知條件來求解了2 2X V13 橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn) UEEt 小過A,B分別作與二垂直的直線交橢圓丁與若BC3AD,則橢圓的離心率 _ .【答案】：【解析】ba直線的斜率為 ，故直線_川的斜率都為，利用點(diǎn)斜式寫出直線 -川的方程，聯(lián) 立直線方程和橢圓方程， 求得的坐標(biāo)，根據(jù)向量* 列方程，化

8、簡可求得橢圓的 離心率.【詳解】baay = x + b直線的斜率為，故直線_ 丁的斜率都為，所以直線 的方程為，直線，第8頁共 17 頁本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,標(biāo)，對運(yùn)算能力有一個(gè)很大的要求屬于難題.B nAAB + BC = 4ftan-=-24 一如，則當(dāng)角 B 最大時(shí)，三角形點(diǎn)的面積為【答案】-2a3b2b5-a4b的方程為.將直線：的方程代入橢圓方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,a4+ b4a4+ b4；/a -ab -2a b將直線，的方程代入橢圓方程，求得4 .I 4 4. 41D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 5+b a +b/,由于 BC3AD，即/-2a-2a4b/

9、-2ab4-2a2b?-2a3b2-6ab- 亠4. 4* 4.BC = 3AD，也即 a + b a + b4.44.42，即；匕：；上，化簡得：故離求得交點(diǎn)的坐14 在三角形中,3心率為第9頁共 17 頁【解析】第10頁共 17 頁B sinAtan=-將；幾汁化簡得到：illA 1-，用正弦定理轉(zhuǎn)化為 心-三+：-4 ,即卩而故，點(diǎn)在以：為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上當(dāng)，點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，角取得最大值，進(jìn)而求得三角形的面積【詳解】B sinAsinB sinAtan-=- - =-由？ 心，得 :-n-.A，得_，*：，由正弦定理得為-|：-，即 ，而汁一八，故點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為于橢圓

10、的上頂點(diǎn)時(shí)，角取得最大值，此時(shí)三角形 是等腰三角形【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理邊角互化, 方法屬于難題 二、解答題n15 .已知向量日=(1, 2sin ,)= (sin( %,+1), 0eR。若丄二求 tan 啲值；n若/廠，且0(0,)，求B的值【答案】(1)tan0 =-; (2)0=.【解析】(1)利用兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示， 列出方程， 化簡可求得 量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，化簡可求得！的值【詳解】(1)依題意，得：？= 0，即-的橢圓上當(dāng)，點(diǎn)位橢圓的半焦距為，I/羋扌M ZJ15屆24考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想第11頁共 17 頁sin(0+ )+2sin0

11、= 0,展開，得：第12頁共 17 頁71sin0cos+cos0sin+2sin0 =0,化簡，得:n(2) 因?yàn)?所以，2sin0sin(0+ ) = 1,展開得：nn2sin0 (sin0cos+cos0sin)=1,I即：2sin20+2 sin0cos0 =2,即：1 cos20+ sin20= 2,n 1nnn 5n化為：sin (20)=：,因?yàn)? (0 ,)，所以，20(：),n 7in所以，20=,解得：0=【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)向量垂直和兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，還考查了三角恒等變換，以及特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于中檔題16 .設(shè)二次函數(shù) f(x) = ax2 +bx

12、+c,函數(shù) F(x) = f(x) x 的兩個(gè)零點(diǎn)為 m, n(m 0 的解集；1若 a 0,且 0 x m n 0當(dāng)時(shí)，不等式 ：的解集為 I 或：;第14頁共 17 頁當(dāng)時(shí)，不等式：的解集為八.（2）Ii I11）1* I x 11：:-J A . - 1 :0 xmn 0,且a K-m 0I： . I .I gp l：； : C .17 已知橢圓 C:：的離心率為，以短軸為直徑的圓被直線x+y 1 =0 截得的弦長為(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 設(shè) A, B 分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，D 為橢圓右準(zhǔn)線 I 與 x 軸的交點(diǎn)，E 為 I上的另一個(gè)點(diǎn)，直線 EB 與橢圓交于另一點(diǎn) F,是

13、否存在點(diǎn) E,使肚川 m R)?若 存在，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)橢圓 C 的方程為：;(2)見解析.【解析】(1)利用直線和圓相交所得弦長公式建立方程， 可求得 ：，再結(jié)合離心率可求得的 值，由此求得橢圓的方程 ( 2)求出右準(zhǔn)線方程，設(shè)出 點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線-的方程 并代入橢圓方程，求出 點(diǎn)的坐標(biāo)，代入 【-，化簡后求得 點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】(1) 圓心為(0,0 ),半徑為 R,，依題意，得：b = R,圓心到直線 x+y 1 = 0 的距離為：J，又弦長為 ,分 12所以，氏=3,所以,第15頁共 17 頁離心率 e= =：,即卩;，又了，解得：,+ 二1橢圓

14、 C 的方程為：-(2)依題意，有 A (- 2,0 ), B (2,0 ) , c= 1,【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系有關(guān)圓的弦長問題,主要通過圓的弦長公式來建立方程解決直線和橢圓的位置關(guān)系，直線和橢圓相交所得的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以通過聯(lián)立直線和橢圓的方程得到本小題還考查了向量共線的坐標(biāo)表示屬于難題2 2J J4 3ty =-(x2)2消去可得 V “4t2-6x =-點(diǎn) B(2,0)，F(xiàn)(x，y)是直線與橢圓的 2 個(gè)交點(diǎn)，所以，由韋達(dá)定理，得：2+ 3，2t -3所以,12t*= 代入 BE 方程，解得：12t-/ 2t -6 12t所以,F(，/2t2-

15、6t +3).因?yàn)樾膋FD(hER)，所以肚之陶，與共線, 所以12t t =- 6廠t2+ 3,所以 t=30E(43 間.第16頁共 17 頁18 規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標(biāo)球，使目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)，球的位置是指球心的位置，我們說球 A 是指該球的球心點(diǎn) A.兩球碰撞后，目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線上 運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向是指目標(biāo)球被母球擊打時(shí)，母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半徑為1 的圓，且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)球就開始運(yùn)動(dòng)，在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)如圖，設(shè)母球 A 的位置為(0,0),目標(biāo)球 B 的位置為C(8,-4)處運(yùn)動(dòng)，求母球

16、 A 球心運(yùn)動(dòng)的直線方程;(2)如圖，若母球 A 的位置為(0, -2),目標(biāo)球 B 的位置為(4, 0),能否讓母球 A 擊 打目標(biāo) B 球后，使目標(biāo) B 球向(8, - 4)處運(yùn)動(dòng)？若 A 的位置為(0, a)時(shí)，使得母球 A 擊打目標(biāo)球 B 時(shí)，目標(biāo)球 B(4,0)運(yùn)動(dòng)方向可以碰到目標(biāo)球C(7 , -51：)，求 a 的最小值(只需要寫出結(jié)果即可)& 2 Q + 1y - -x【答案】(1) I;(2)不能;【解析】(1)求出直線：的方程，設(shè)出球心的坐標(biāo)， 利用球心在直線：上以及卜沖匚列方程組, 可求得的值.,由此求得母球運(yùn)動(dòng)的直線方程.(2)計(jì)算:求得 為銳角, 同理,計(jì)算點(diǎn) L 到線

17、段*的距離，判斷出不能( 3)要使最小，臨界條件為球從球的左上方，處撞擊球 后， 球從球 的右上方 處撞擊球列方程求得的坐標(biāo)，過作傾斜角為,的直線，與軸相交于八：此二，由此求得的最小值【詳解】(4,0),要使目標(biāo)球B 向第17頁共 17 頁(1)點(diǎn) B ( 4,0 )與點(diǎn) C (8, 4)所石室的直線方程為：x+ y 4= 0,依題意，知 A, B 兩球碰撞時(shí)，球 A 的球心在直線 x + y 4= 0 上，且在第一象限，此時(shí)| AB|= 2，設(shè) A, B 兩球碰撞時(shí)球 A 的球心坐標(biāo)為* ,f a + b- 4 = 0治嘰宀 2則有，解得：，.：,即：A, B 兩球碰撞時(shí)球 A 的球心坐標(biāo)為

18、(- ,-),& 2& + 1y -產(chǎn)-x所以，母球 A 運(yùn)動(dòng)的直線方程為：I-(2)記，因?yàn)?=一二-V .亠一.,-門，所以、m 故為銳角，同理可知-也為銳角故 L 在直線上的投影在線段上，該點(diǎn)到 L 的距離小于，故球經(jīng)過該點(diǎn)之前就會(huì)與球碰撞，故不可能讓母球擊打目標(biāo)球后，使目標(biāo)球向：I 處運(yùn)動(dòng)(3)的最小值為-.-.要使得最小，臨界條件為球從球的左上方：處撞擊球，后，球II從球 的右上方處撞擊球.如下圖所示，設(shè)是球；的所有路徑中最遠(yuǎn)離-的那條路徑跑丄 B C代叫衣歸&) + V(V + 5 於)=0上離球匚最近的點(diǎn)，則有,聯(lián)立(I+尸5耐皿,解得B麗 T 插,所有直線 CB 的傾斜角為卻

19、5“，所以直線心 E 的傾斜角為詐“,易得直 0Q.過；作傾斜角為的直線，交軸于點(diǎn)，易得：，就是一個(gè)符合題意的初始位置若：-：,則球會(huì)在達(dá)到之前就與球 碰撞，不合題意因此.的最小值為-2 玄第18頁共 17 頁需要有很強(qiáng)的理解和分析能力，屬于難題19 .對于函數(shù)與，若存在實(shí)數(shù) 滿足，且，則稱為f 何注兇的一個(gè) T 點(diǎn).證明：函數(shù)與：-一和-1不存在 r 的點(diǎn)；若函數(shù)： 與-存在的點(diǎn)，求的范圍；已知函數(shù)證明：存在正實(shí)數(shù)、，對于區(qū)間內(nèi)任意一個(gè) 皆是函數(shù) 匸丄心的點(diǎn).【答案】（1）詳見解析；（2） I；（3）詳見解析.【解析】（1）通過證明卜：證得命題成立.（2）構(gòu)造函數(shù)禾用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性，

20、求得最小值，由此證得在 上恒成立.然后分成a1xiox0恒成立，所以，在定義域(0,+)內(nèi)，Xo 1 Inx0恒成立，當(dāng) X。1時(shí)，| X0 1 | = X0 1, | Inx0|= Inx0,因?yàn)?X0 1 Inx0恒成立，所以，| X0 1 | | Inx0|恒成立，為 的一個(gè)，點(diǎn)當(dāng) 0vX0V1 時(shí)，| X0 1 |=( X0 1)， | Inx0|= Inx0，L由 X01Inx0，得：一(X01)w Inx0，即|X01|w|Inx0|，此時(shí) *不是的一個(gè)，點(diǎn)所以， 的取值范圍為1，+8)a1m = e 十一(3)證明：取，因?yàn)椋?，下面證明所取正實(shí)數(shù)符合題意當(dāng)a1x 0 且 f

21、(x)A。顯然成a1 1x e +-xl + -2了又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以rmi ax2-a-(x-l)-l - ax?(-一-a all + -j-a = 1 0Kea+ -日丿 al.故當(dāng)日時(shí)，他)AfiW 即心)|呂(耳)|第20頁共 17 頁m = e + 恒成立，即存在正實(shí)數(shù)，對于區(qū)間.內(nèi)任一個(gè).皆是函數(shù)；的點(diǎn)【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義知識，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式等知識，綜合性很強(qiáng)，屬于難題eK1f(x) = g(x) = ax + - + 120 .已知函數(shù)(其中 )(1) 求的單調(diào)減區(qū)間；(2) 當(dāng) 時(shí), na 恒成立，求 的取值范圍；叫(3)設(shè) Fk) = f 図皿).F%)只有兩個(gè)零點(diǎn)求勺的值【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(一 8,0)和(0,1 ); (2)卩 2；( 3) 2.【解析】(1)先求得函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù) I：；廠-誨-一】，禾憫其二階導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.(3)化F(x)丸卞+ ? +專-簡 ,利用導(dǎo)數(shù)，研究零點(diǎn)分布的情況，由此求得的值.【詳解】(1)的定義域?yàn)?x |XM0,xex(x - l)eKf(x)=-