2020屆上海市長寧嘉定金山高三一模數(shù)學試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2020屆上海市長寧嘉定金山高三一模數(shù)學試題一、單選題1 1 .已知x R，則“x 0”是X 1”的（）A A .充分非必要條件B B .必要非充分條件C C 充要條件D D 既非充分又非必要條件【答案】B B【解析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可【詳解】解：由題意可知，x R,x| x 0? ?x| x 1 XX 0 0”是 x x 1 1”的必要不充分條件.故選：B B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.2 2下列函數(shù)中，值域為0,的是（）1A A .y 2xB B.yx2C C.y In XD.y cosx【答案】A A【解

2、析】 由指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】1解：選項 A.A.y 2x的值域為0,，選項 B.B.y x2的值域為0,，選項 C.C.y In x的值域為R,選項D. y cosx的值域為1,1.故選：A A.【點睛】本題考查常見函數(shù)的值域，屬于簡單題.3 3.已知正方體ABCDARC1D1，點p是棱 CGCG 的中點，設(shè)直線AB為a,直線AD1為b 對于下列兩個命題：過點p有且只有一條直線I與a、b都相交；過點p有且 只有一條直線I與a、b都成45角 以下判斷正確的是（）第2 2頁共 1818 頁【答案】B B【解析】作出過 P P 與兩直線相交的直線 I I 判斷

3、；通過平移直線 a a, b b，結(jié)合異面直線所 成角的概念判斷.【詳解】解：直線 ABAB 與 A AiD Di是兩條互相垂直的異面直線，點P P 不在這兩異面直線中的任何一一條上，如圖所示：取 BBBBi的中點 Q Q,貝yPQPQ/ A A1D D1,且 PQPQ = A AiD Di,設(shè) A AiQ Q 與 ABAB 交于 E E,則點 A Ai、D Di、Q Q、E E、P P 共面, 直線 EPEP 必與 A AiD Di相交于某點 F F，則過 P P 點有且只有一條直線 EFEF 與 a a、b b 都相交，故 為真命題;分別平移 a a, b b,使 a a 與 b b 均經(jīng)

4、過 P P,則有兩條互相垂直的直線與 a a, b b 都成 4545。角，故為假命題.為真命題，為假命題.故選：B B.本題考查立體幾何圖形中直線和平面的相交、平行、垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù) 學思想，是中檔題.4 4 某港口某天 o o 時至 2424 時的水深y（米）隨時間X（時）變化曲線近似滿足如下函數(shù)A A.為真命題，為真命題C C .為假命題，為真命題B B.為真命題，為假命題D D .為假命題，為假命題模型y 0.5sin3.24(0）. .若該港口在該天 0 0 時至 2424 時內(nèi)，有且只【點睛】第3 3頁共 1818 頁有 3 3 個時刻水深為 3 3 米，則該港口該天

5、水最深的時刻不可能為（）A A . 1616 時B B. 1717 時C C . 1818 時D D . 1919 時【答案】D D【解析】本題是單選題，利用回代驗證法，結(jié)合五點法作圖以及函數(shù)的最值的位置，判 斷即可.【詳解】解：由題意可知，x 0時，y0.5si n0 63.243.49,由五點法作圖可知:如果當x16時，函數(shù)取得最小值可得：16，可得62748，2967T14此時函數(shù)y0.5sinx3.24，函數(shù)的周期為:7748648該港口在該天 0 0 時至 2424 時內(nèi)，有且只有 3 3 個時刻水深為3 3 米，滿足，本題考查三角函數(shù)的模型以及應用，三角函數(shù)的周期的判斷與函數(shù)的最值

6、的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，是難題.二、填空題5 5.已知集合A 1,2,3,4,5,B 2,4,6,8，則AI B _【答案】2,4如果當X 19時，函數(shù)取得最小值可得：19，可得此時函數(shù)y 0.5sin57x6324，函數(shù)的周期為:2匸57757，1147，x24時，y 0.5sin57243.243，如圖:6該港口在該天 0 0 時至 2424 時內(nèi),有且只有 3 3 個時刻水深為 3 3 米,不滿足,故選：D D.【點睛】第4 4頁共 1818 頁【解析】 找出 A A 與 B B 的公共元素，即可確定出交集.【詳解】解：/A 1,2,3,4,5,B 2,4,6,8,

7、AI B 2,4.故答案為：2,4【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.6 6.方程2x3的解為_. .【答案】x Iog3【解析】 把指數(shù)式化為對數(shù)式即可求出方程的解.【詳解】解：Q2x3，指數(shù)式化為對數(shù)式得：X Iog23,故答案為：x log23.【點睛】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，是基礎(chǔ)題.217 7.行列式，c 的值為_ _12【答案】5 5【解析】直接利用行列式公式可求.【詳解】21解：2 2 11512故答案為：5【點睛】本題考查二階行列式計算屬于基礎(chǔ)題.2n8 8.計算lim- _. .nn 1【答案】2 2第5 5頁共 1818 頁【解析】

8、直接利用數(shù)列的極限的運算法則化簡求解即可.【詳解】故答案為：2 2.【點睛】【答案】2 2程，解之即可得到該圓錐的母線長.【詳解】解：圓錐的底面積為，又圓錐的側(cè)面積為故答案為：2【點睛】側(cè)面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.【答案】解:nim2nlimn本題考查數(shù)列的極限的求法,運算法則的應是基礎(chǔ)題.9 9.若圓錐的側(cè)面面積為2，底面面積為，則該圓錐的母線長為【解析】根據(jù)圓面積公式算出底面半徑r r=1 1,再由圓錐側(cè)面積公式建立關(guān)于母線 I I 的方二圓錐的底面半徑為r，滿足，解得r 1設(shè)圓錐的母線長為I，可得rl，解之得I 2本題給出圓錐的底面圓面積和側(cè)面積,求它的母線長,著重考查了圓的面積公式和

9、圓錐uuu/1010.已知向量AB口 ,AC/2 2BAC【解析】由題意利用兩個向量的夾角公式,求得BACBAC 的值.【詳解】解：向量uuuABuuir,ACcos BACuuuuuurtuurtuurABAC12_2_21 1第6 6頁共 1818 頁BAC第7 7頁共 1818 頁故答案為：6 6【點睛】本題主要考查兩個向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.1111. 2 2 位女生 3 3 位男生排成一排，則 2 2 位女生不相鄰的排法共有 _種 【答案】7272【解析】根據(jù)題意，分 2 2 步進行分析：、將 3 3 位男生排成一排， 、3 3 名男生排好后 有 4 4 個空位可選，在 4 4

10、個空位中，任選 2 2 個，安排兩名女生，由分步計數(shù)原理計算可得 答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分 2 2 步進行分析：1、將 3 3 位男生排成一排，有A 6種情況，2、3 3 名男生排好后有 4 4 個空位可選，在 4 4 個空位中，任選 2 2 個，安排兩名女生，有A 12種情況，則2位女生不相鄰的排法有6 12 72種；故答案為：7272【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題.1212 .已知點2,y在角 終邊上，且tan2 2，則sin _. .【答案】3【解析】 結(jié)合三角函數(shù)的定義及誘導公式可求y y,然后即可求解.【詳解】解：由題意可得，tan,2Q

11、tantan2、2tan 222解得y 4,24血22sin4223第8 8頁共 1818 頁故答案為：乙 2 2.3【點睛】本題考查三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查運算能力，是基本知識的考查.1313 .近年來，人們支付方式發(fā)生巨大轉(zhuǎn)變，使用移動支付購買商品已成為一部分人的消費習慣，某企業(yè)為了解該企業(yè)員工代B兩種移動支付方式的使用情況，從全體員工中隨機抽取了 100100 人，統(tǒng)計了他們在某個月的消費支出情況，發(fā)現(xiàn)樣本中代B兩種支付 方式都沒有使用過的有 5 5 人；使用了A,B兩種方式支付的員工，支付金額和相應人數(shù)分布如下表，依據(jù)數(shù)據(jù)估算：若從該公司隨機抽取1 1 名員工，則該

12、員工在該月 代B兩種支付方式都使用過的概率為 _支付金額（元）支付方式（0,1000（1000,2000大于 20002000使用A1818 人2929 人2323 人使用B1010 人2424 人2121 人3【答案】10【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)算出兩種支付方式都使用過的人數(shù), 即可求解. .【詳解】根據(jù)題意，得使用過A支付方式的人數(shù)為：18292370（人）;使用過B支付方式的人數(shù)為：10242155（人）;兩種支付方式都沒有使用過的人數(shù)：5 5（人）;兩種支付方式都使用過的人數(shù)為：7055100 530（人）則該該員工在該月A, B兩種支付方式都使用過的概率為:3故答案為：10【點睛】 本題

13、考查了古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題由古典概型概率的計算公式303100 10第9 9頁共 1818 頁VVVVVvVvvVVV1414.已知非零向量a、b、c兩兩不平行，且all b c,b/ a c，設(shè)c xa yb,x, y R，貝y x 2y _. .【答案】3 3【解析】先根據(jù)向量共線把c用a和b表示出來，再結(jié)合平面向量基本定理即可求解.【詳解】 解：因為非零向量a、b、c兩兩不平行，且all b c,b/l a c,rr ram bc ,m 0,r1rrcabmrrrbn ac ,n 0r1rrcan，解得1nQ Q c c xaxa ybybx x y y 1 1x x 2y

14、2y 3 3故答案為：3.【點睛】本題考查平面向量基本定理以及向量共線的合理運用解題時要認真審題，屬于基礎(chǔ)題 1515.已知數(shù)列an滿足：a11,an 1印旦, 前n項和為Sn,若對所有滿足條件的an,S10的最大值為M，最小值為m,則M m _【答案】10781078【解析】由a11,an 1an gg,a(n N*)，分別令n 2,3,4,5，求得a.an(n N*)，記數(shù)列an的第1010頁共 1818 頁的前5項，觀察得到最小值m 1 2 3 L 10，最大值M 1 2 22L 29, 計算可得M m的值 【詳解】由a11,an 1anai,a2, ,an(n*N),可得a2a1a1，

15、解得a22a12,又a3a2a1,a2，可得a3a2a13或a32a24,又a4a348283，可得a4a3印4或5;a4a3a25或6；a42a36或8；又a5a4a1,a2,a3,a4，可得a印5或6或 7 7 ；a5a4a26或 7 7 或8；a5a4a37或8或9或10或12;a52a38或9或10或12或 1616 ,綜上所示可得S10的最大值為M12 22L2911 2101023，最小值為m 12 3 L 10所以Mm 1023 55 1078故答案為:10781078【點睛】本題是一道數(shù)列的新定義,1 101055,考查了根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列中的項以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公

16、式，屬于中檔題1616 已知函數(shù)f xa，若對任意實數(shù)a，關(guān)于x的不等式 f f x xm m 在區(qū)間1-,3上總有解，則實數(shù)2m的取值范圍為【答案】【解析】本題要根據(jù)數(shù)形結(jié)合法將函數(shù)yx1的圖象向下平移到一定的程度，使得x第1111頁共 1818 頁第1212頁共 1818 頁函數(shù)f x1x a x的最大值最小.再算出具體平移了多少單位，即可得到實數(shù)m m的取值范圍.【詳解】解：由題意，y x1在區(qū)間*,3x2上的圖象如下圖所示：10351K/l102則只要找到其中一個實數(shù)a a，使得函數(shù)f x1x a x的最大值最小即可，1如圖，函數(shù)y x向下平移到一定才程度時，x函數(shù)f x1x a x的

17、最大值最小此時只有當f 1f 3時，才能保證函數(shù)f x的最大值最小設(shè)函數(shù)y1x一圖象向下平移了t個單位，x(t 0).10” 口8t2 t,解得t -. .33此時函數(shù)f x的最大值為1082.333根據(jù)絕對值函數(shù)的特點，可知 實數(shù)m的取值范圍為:故答案為:【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合法的應用，平移的知識，絕對值函數(shù)的特點，以及簡單的計算能力本題屬中檔題.根據(jù)題意，對任意實數(shù) a a，關(guān)于 x x 的不等式 f f x xm m 在區(qū)間-,3上總有解,2第1313頁共 1818 頁三、解答題1717.如圖，底面為矩形的直棱柱ABCD A1B1C1D1滿足：AAi（2 2）設(shè)M、N分別為棱BB

18、1、CD上的動點，求證：三棱錐N A1AM的體積V為 定值，并求出該值 2【答案】（1 1）arctan；（2 2）證明詳見解析，V 4. .5【解析】（）說明CAD即直線AC與平面AA1D D1D的所成角，通過求解三角形， 推出結(jié)果即可.（2 2）記點N到平面AAM的距離為d，由于底面積和高都不變，故體積不變【詳解】解：（1 1）由直棱柱知A1A平面ABCD，所以入A CD,又因為AD CD，所以直線CD平面A1ADD1, 所以CA1D即直線AC與平面 AAAA1D D1D D 的所成角2由題意A1D 5,CD 2，所以tan52AAAA D D1D D 的所成角arctan. .5AAM的

19、距離為d，三角形AAM的面積為SA1AM，則的大小;4,AD 3,CD 2. .所以直線AC與平面（2 2）記點N到平面VVN A|AMSA1AM,由已知d 3,SA1MM1所以V 33【點睛】44為定值. .本題考查幾何體的體積的求直線與平面所成角的求法， 考查空間想象能力以及計算AAAA1D D1D D 所成的角第1414頁共 1818 頁1818 在復平面內(nèi)復數(shù)Z1、z2所對應的點為Z1、Z2,O為坐標原點，i是虛數(shù)單位uuuv ujuv(1)Zi1 2i，Z23 4i，計算Zi互與O乙OZ2；jjuv ujuv(2)設(shè)z,a bi，z2c di(a,b,c,d R)，求證：OZ1OZ2

20、z2,并指uiuv uuuv出向量oz1、OZ2滿足什么條件時該不等式取等號uuu uujv【答案】（1 1）Nz211 2i，OZ1OZ25；（ 2 2）證明詳見解析，當ab cd時. .uu【解析】（1 1）根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則進行運算即可求出Z1Z2，可知O乙1,2，uuiwOZ23, 4，然后進行數(shù)量積的坐標運算即可；取等號【詳解】解：（1 1）z z212i3 4i 11 2iUUUUuuuOZ11,2，OZ23, 4UULUUJUU所以O(shè)乙OZ25證明（2 2） Q Q N Nabi，z2c di【點睛】 本題考查了復數(shù)的乘法運算法則，向量坐標的數(shù)量積運算，復數(shù)的模長的計算公式，

21、考 查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2Z1Z2uuuac2bdUUUUad2bcQ O乙a,b，OZ2c,duuu uuuLULUUUUU22OZ1OZ2acbd，OZ1OZ2acbd2uuu UUUU222 2Z1Z2IOZ1OZ2Iac bdadbcac bd22adbc4ac bdadcb0Z z2ac bd ad bc iUUU LUU所以O(shè)Z1OZ2 Nz2，當且僅當ad（2 2）根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則進行運算即可求出Z1Z2，以及復數(shù)的幾何意義表示出uuiu uuuO乙、OZ2計算其數(shù)量積，利用作差法比較2uuur LULUZ1Z2OZ1OZ2|2的大小，并得出何時uuuUJUUcb時取

22、“”此時O乙POZ2. .第1515頁共 1818 頁1919 如圖，某城市有一矩形街心廣場ABCD，如圖 淇中AB 4百米，BC 3百米 現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個三角形水池DMN種植荷花，其中點M在BC邊上，點N在AB邊上，要求MDN -. .4（1 1）若AN CM 2百米，判斷DMN是否符合要求，并說明理由；（2 2）設(shè)CDM，寫出DMN面積的S關(guān)于 的表達式，并求S的最小值. .S邁【答案】（1 1）不符合要求，理由詳見解析；（2 2）S，最小值為cos cos 412 .2 1. .【解析】（1 1）通過求解三角形的邊長，利用余弦定理求解MDN，判斷MDN是否符合要求，即可.所以MDN-

23、，4DMN不符合要求(2 2)Q CDM，ADN434DN所以DM(2)CDMADN，求出4S1DN DM2sin4cosc，利用兩角和與差的三角函數(shù)求解最值即可.【詳解】解：（1 1）由題意 MNMN 5 5，DNDN 2、5，所以cos MDN13 20 52 2 5.137.65第1616頁共 1818 頁coscos42第1717頁共 1818 頁-DN DM sin3-2-24cos cos 42sin 2cos 214-sin 2遼-遼24424所以S 12 J 1,S的最小值為12 .21【點睛】 本題考查三角形的解法與實際應用，余弦定理的應用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想

24、以及計算能力，是中檔題.2 *2020.已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，Sn為其前n項的和，且an,Sn, ann N成等差數(shù) 列. .()寫出a1、a2、a3的值，并猜想數(shù)列an的通項公式an；(2)證明(1 1)中的猜想；(3)設(shè)bntan1(t ),Tn為數(shù)列 0 的前n項和. .若對于任意n N*，都有Tnbm|m N*，求實數(shù)t的值. .1 1【答案】(1 1)a11,3 322 2,a33,ann；(2 2)詳見解析；(3 3)-,1-,1 . .a a2【解析】(D代入Sn n，求出a1,a2,a3，猜想出即可；2【詳解】(1(1)解：由已知 S Sn2ananQ cos cos 4l

25、lcos2cossin(2)利用等差數(shù)列的定義證明即可;(3)由(2 2)知bmmt1,TnN*, 都是整數(shù)，進而n(1)t n,因為m,n1，因為的任意性，不妨設(shè)bmT2，求出即可.第1818頁共 1818 頁所以ai1,a a22 2 ,a33,猜想an證明(2)n 2時，sn2ananS2，Sn2an 1an 12所以anSn22Sananan 1an 1Sn 12 2得anan 1anan 110,因為an0 n N，所以anan 1數(shù)列an為等差數(shù)列,又由(1 1)aia a2所以(3)解由(2 2)知bmmt1,Tnn(ntn. .n右bmTn，則m 因為m,n都是整數(shù)，所以對于任

26、意丄都是整數(shù),t1進而-是整數(shù)t所以t設(shè)bmT2，則m 3 k所以k當k1時，對于任意當k2時，對于任意所以實數(shù)t取值的集合為【點睛】考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項公式，含參問題的數(shù)列前n n 項和公式的應用，中檔題.2121 .已知函數(shù)f x x x a，其中a為常數(shù). .(1(1)當 a a 1 1 時，解不等式 f f x x 2 2 ；(2(2)已知g X是以 2 2 為周期的偶函數(shù)，且當0 x1時，有第1919頁共 1818 頁35且g，求函數(shù)y g x x 1,2的反函數(shù)；24(3 3)若在0,2上存在n個不同的點Xii 1,2, ,n.n 3,為x?Xn，使得f N f x2f x2f x3f xn 1f xn8,求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1 1),2；( 2 2)y 3X1 x 0,3；( 3 3), 2 U 6,. .【解析】(1 1)直接利用絕對值不等式的解法及應用求