排列組合講解及習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 加法原理和乘法原理 1.問(wèn)題一（11） 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，一天中火車(chē)有3班，汽車(chē)有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？分析：因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有3種走法，乘汽車(chē)有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以，共有3+2=5種不同的走法，如圖所示(12) 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船一天中，火車(chē)有4 班, 汽車(chē)有2班，輪船有3班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 分析：從甲地到乙地有3類(lèi)方法：第一類(lèi)方法，乘火車(chē)，有4種方法；第二類(lèi)方法，乘汽車(chē)，有2種方法；第三類(lèi)方

2、法，乘輪船，有3種方法；所以，從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法21分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第n類(lèi)辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法3.問(wèn)題二（21） 從甲地到乙地，要從甲地先乘火車(chē)到丙地，再于次日從丙地乘汽車(chē)到乙地，一天中，火車(chē)有3班，汽車(chē)有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？分析:因?yàn)槌嘶疖?chē)有3種走法，乘汽車(chē)有2種走法，所以，乘一次火車(chē)再接著乘一次汽車(chē)從甲地到乙地，共有種不同走法，如圖所示，所有走法：火車(chē)1汽車(chē)1；火車(chē)1汽車(chē)2；火車(chē)2汽車(chē)1；火車(chē)2汽車(chē)2；火

3、車(chē)3汽車(chē)1；火車(chē)3汽車(chē)2（22） 如圖,由A村去B村的道路有2條，由B村去C村的道路有3條從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？分析: 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有2種方法,第二步, 由B村去C村有3種方法,所以 從A村經(jīng) B村去C村共有 2×3 = 6 種不同的方法4.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法5.原理淺釋分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理)中，“完成一件事，有n類(lèi)辦法”，是說(shuō)每種辦法“互斥”，即每種方法都可以獨(dú)立地完成這件事，

4、同時(shí)他們之間沒(méi)有重復(fù)也沒(méi)有遺漏進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，要求各類(lèi)辦法彼此之間是相互排斥的，不論那一類(lèi)辦法中的哪一種方法，都能獨(dú)立完成這件事.只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n個(gè)步驟”，是說(shuō)每個(gè)步驟都不足以完成這件事，這些步驟，彼此間也不能有重復(fù)和遺漏如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它們共同的特征，但是，分法卻大不相同兩個(gè)原理的公式是: , 這種變形還提醒人

5、們，分類(lèi)和分步，常是在一定的限制之下人為的，因此，在這里我們大有用武之地：可以根據(jù)解題需要靈活而巧妙地分類(lèi)或分步強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合是近年的一種可取的現(xiàn)象兩個(gè)原理，可以與物理中電路的串聯(lián)、并聯(lián)類(lèi)比兩個(gè)基本原理的作用：計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)兩個(gè)基本原理的區(qū)別：一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)；加法原理是“分類(lèi)完成”，乘法原理是“分步完成”范例：例1書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū)，（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？（2）從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，有多少種不同的取法？解：（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有3類(lèi)辦法：第1

6、類(lèi)辦法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；第2類(lèi)是從第2層取1本文藝書(shū)，有3種方法；第3類(lèi)辦法是從第3層取1本體育書(shū)，有2種方法根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種所以，從書(shū)架上任取1本書(shū)，有9種不同的取法；（2）從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術(shù)書(shū)，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書(shū)，有2種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，不同取法的種數(shù)是種所以，從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，有24種不同的取法例2一種號(hào)碼撥號(hào)鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到9共10個(gè)數(shù)字

7、，這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)號(hào)碼？解：每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥號(hào)盤(pán)上各取1個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)字號(hào)碼的個(gè)數(shù)是，所以，可以組成10000個(gè)四位數(shù)號(hào)碼例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過(guò)先選1名上日班，再選1名上晚班兩個(gè)步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是種，6種選法可以表示如下：日班 晚班甲 乙甲 丙乙 甲乙 丙丙 甲丙 乙所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法例4甲廠生

8、產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有3種，顏色有4種，乙廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有4種，顏色有5種，這兩廠生產(chǎn)的收音機(jī)僅從外殼的形狀和顏色看，共有所少種不同的品種？解：收音機(jī)的品種可分兩類(lèi)：第一類(lèi)：甲廠收音機(jī)的種類(lèi)，分兩步：形狀有3種，顏色有4種，共種；第二類(lèi)：乙廠收音機(jī)的種類(lèi)，分兩步：形狀有4種，顏色有5種，共種所以，共有個(gè)品種說(shuō)明：分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中方法相互獨(dú)立，只有各個(gè)步驟都完成才算完成了這件事練習(xí)： 1 . 書(shū)架上層放有6本不同的數(shù)

9、學(xué)書(shū)，下層放有5本不同的語(yǔ)文書(shū)(1) 從中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從中任取數(shù)學(xué)書(shū)與語(yǔ)文書(shū)各一本，有多少種不同的取法？解：(1)從書(shū)架上任取一本書(shū)，有兩種方法：第一類(lèi)可從6本數(shù)學(xué)書(shū)中任取一本，有6種方法；第二類(lèi)可從5本語(yǔ)文書(shū)中任取一本，有5種方法；根據(jù)加法原理可得共有 5+6=11 種不同的取法(2) 從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)、語(yǔ)文書(shū)各一本，可以分成兩步完成：第一步任取一本數(shù)學(xué)書(shū)，有6種方法；第二步任取一本語(yǔ)文書(shū)，有5種方法根據(jù)乘法原理可得共有5×6=30種不同取法2. 某班級(jí)有男學(xué)生5人，女學(xué)生4人 (1)從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng), 有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女學(xué)生各一

10、人去參加座談會(huì)，有多少種不同的選法？解：(1) 完成從學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事，共有2類(lèi)辦法， 第一類(lèi)辦法，從男學(xué)生中任選一人， 共有 = 5種不同的方法； 第二類(lèi)辦法，從女學(xué)生中任選一人， 共有 = 4種不同的方法所以, 根據(jù)加法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 + 4 = 9 種 (2) 完成從學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事, 需分2步完成, 第一步， 選一名男學(xué)生，有 = 5種方法； 第二步， 選一名女學(xué)生，有= 4種方法； 所以，根據(jù)乘法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5 × 4 = 20 種由例1可知： 解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類(lèi)完成

11、” ，還是“分步完成” “分類(lèi)完成”用“加法原理” ；“分步完成”用“乘法原理”3. 滿足=1,2的集合、共有多少組?分析一:、均是1,2的子集:,1,2,1,2,但不是隨便兩個(gè)子集搭配都行,本題尤如含、兩元素的不定方程,其全部解分為四類(lèi):1)當(dāng)=時(shí),只有=1,2,得1組解;2)當(dāng)=1時(shí),=2或=1,2,得2組解;3)當(dāng)=2時(shí),=1或=1,2,得2組解;4)當(dāng)=1,2時(shí),=或1或2或1,2,得4組解.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,共有1+2+2+4=9組解.分析二: 設(shè)、為兩個(gè)“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個(gè)袋中,分兩步可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入不裝入,也可裝入不裝入,還

12、可以既裝入又裝入,有3種裝法;第2步裝2,同樣有3種裝法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有3×3=9種裝法,即原題共有9組解.4.從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 答案：2×34×2=14 排列 一一、復(fù)習(xí)引入： 1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第n類(lèi)辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不

13、同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題,區(qū)別在于:分類(lèi)計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,每一種方法只屬于某一類(lèi),用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事 應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類(lèi)完成還是分步完成,“類(lèi)”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無(wú)特殊條件的限制二、講解新課：1問(wèn)題：?jiǎn)栴}1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同

14、學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問(wèn)題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問(wèn)題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對(duì)象叫做元素問(wèn)題2從這四個(gè)字母中，每次取出3個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？分析：解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個(gè)字母中取，有3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個(gè)字母中取，有2種方法由分步計(jì)數(shù)原理共

15、有：4×3×2=24種不同的方法，用樹(shù)型圖排出，并寫(xiě)出所有的排列由此可寫(xiě)出所有的排法2排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列說(shuō)明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個(gè)不同元素中，

16、任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從個(gè)元素中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，=，求以按依次填個(gè)空位來(lái)考慮，排列數(shù)公式：（）說(shuō)明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)；排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= （2）全排列：當(dāng)時(shí)即個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：

17、（叫做n的階乘） 三、講解范例：例1計(jì)算：（1）； （2）； （3）解：（1） 3360 ；（2） 720 ；（3）360例2（1）若，則 ， （2）若則用排列數(shù)符號(hào)表示 解：（1） 17 ， 14 （2）若則 例3（1）從這五個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？（2）5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（3）某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：（1）；（2）；（3）排列 二范例：例1（1）有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書(shū)，要買(mǎi)3本送給3名

18、同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書(shū)中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書(shū)，送給每個(gè)同學(xué)的1本書(shū)都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書(shū)的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說(shuō)明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書(shū)中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書(shū)不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中，給每人的書(shū)均可以從5種不同的書(shū)中任選1種，各人得到那種書(shū)相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例2某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上

19、到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類(lèi)：第一類(lèi)用1面旗表示的信號(hào)有種；第二類(lèi)用2面旗表示的信號(hào)有種；第三類(lèi)用3面旗表示的信號(hào)有種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的信號(hào)例3將位司機(jī)、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，每一輛汽車(chē)分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，即從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車(chē)上，也有種方法，利

20、用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案例4用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類(lèi)：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是-說(shuō)明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)和分步，直接計(jì)算符合條件的排列數(shù)如

21、解法1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來(lái)，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類(lèi)與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏例5（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列5040（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×17！5040（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列=720（4）7

22、位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種說(shuō)明：對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，

23、常常使用“直接法”或“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮組合1組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合說(shuō)明：不同元素；“只取不排”無(wú)序性；相同組合：元素相同2組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示3組合數(shù)公式：或二、講解新課：1 組合數(shù)的性質(zhì)1：一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n - m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n - m個(gè)元素的組合數(shù)，即：

24、在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想證明：又 ，說(shuō)明：規(guī)定：；等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.例如=2002； 或2組合數(shù)的性質(zhì)2：+一般地，從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)含有元素，一類(lèi)不含有含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè)根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類(lèi)思想證明： + 說(shuō)明：公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合

25、數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)； 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算 三、講解范例：例1一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）,或，；（2）；（3）例2（1）計(jì)算：；（2）求證：+解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊例3解方程：（1）；（2）解方程：解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解為或上述求解過(guò)程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.（2）原方程可化為，即，解得

26、或， 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解 課 題： 小結(jié)與復(fù)習(xí) 一、知識(shí)點(diǎn)： 1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第n類(lèi)辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列4排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做

27、從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示5排列數(shù)公式：（）6.階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= 8.組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合9組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示10組合數(shù)公式：或11 組合數(shù)的性質(zhì)1：規(guī)定：； 12組合數(shù)的性質(zhì)2：+ 二、解題思路：解排列組合問(wèn)題，首先要弄清一件事是“分類(lèi)”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無(wú)序的”，也就是會(huì)正確使用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定

28、義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問(wèn)題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問(wèn)題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有_個(gè).（答案：30個(gè)）科學(xué)分類(lèi)法對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類(lèi)，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有_種.（答案：350）插空法解決一些不相

29、鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問(wèn)題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是_.(答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是_種.（答案：240）排除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問(wèn)題的綜合性，解答這類(lèi)應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如：從集合0，1，2，3，5，7，11中任取3個(gè)元素分別作為直線

30、方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.（答案：30）三、講解范例：例1 由數(shù)字、組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)(1）求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)解 (1)：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、必須相鄰，所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：第一步將、四個(gè)數(shù)字排好有種不同的排法；第二步將、三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有 種不同的“捆綁”方法; 第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的其中一個(gè)位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位

31、數(shù)解（2）：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)、 互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：第一步將、四個(gè)數(shù)字排好，有 種不同的排法；第二步將、分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置）中的三個(gè)位置上，有 種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有1440種不同的排法所以共有1440個(gè)符合條件的七位數(shù)例 將、分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將、分成三組，可以分為三類(lèi)辦法：（）分法、（）分法、（）分法下面分別計(jì)算每一類(lèi)的方法數(shù)：第一類(lèi)（）分法，這是一類(lèi)整體不等分局部等分的問(wèn)題，可以采用兩種解法解法一：從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組，余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組，有種不同的分法解

32、法二：從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，再?gòu)挠嘞碌奈鍌€(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種選法，最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組，由于第一步和第二步各選取出一個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算，應(yīng)除以所以共有 15種不同的分組方法 第二類(lèi)（）分法，這是一類(lèi)整體和局部均不等分的問(wèn)題，首先從六個(gè)不同的元素中選取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，再?gòu)挠嘞碌奈鍌€(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有 種不同的選法，余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組，根據(jù)乘法原理共有60種不同的分組方法 第三類(lèi)（）分法，這是一類(lèi)整體“等分”的問(wèn)題，首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同元素作為

33、一個(gè)組有 種不同的取法，再?gòu)挠嘞碌乃膫€(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的取法，最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應(yīng)除以 ，因此共有 15種不同的分組方法 根據(jù)加法原理，將、六個(gè)元素分成三組共有：15601590種不同的方法例 一排九個(gè)坐位有六個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個(gè)坐位六個(gè)人坐，空了三個(gè)坐位，每個(gè)空位兩邊都有人，等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰，可以看做將六個(gè)人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”（不包括兩端）之中的三個(gè)不同的位置上有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有 7

34、200種不同的坐法小結(jié) ：個(gè)不同的元素必須相鄰，有 種“捆綁”方法個(gè)不同元素互不相鄰，分別“插入”到個(gè)“間隙”中的個(gè)位置有 種不同的“插入”方法個(gè)相同的元素互不相鄰，分別“插入”到個(gè)“間隙”中的個(gè)位置，有 種不同的“插入”方法若干個(gè)不同的元素“等分”為 個(gè)組,要將選取出每一個(gè)組的組合數(shù)的乘積除以 排列組合問(wèn)題的解題策略一、相臨問(wèn)題捆綁法例17名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。評(píng)注：一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有 種排法

35、。二、不相臨問(wèn)題選空插入法例2 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 .評(píng)注：若 個(gè)人站成一排，其中 個(gè)人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。三、復(fù)雜問(wèn)題總體排除法在直接法考慮比較難，或分類(lèi)不清或多種時(shí)，可考慮用“排除法”，解決幾何問(wèn)題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國(guó)高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種，但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角

36、形共有 332個(gè).四、特殊元素優(yōu)先考慮法 對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置，有 種，而其余學(xué)生的排法有 種，所以共有 72種不同的排法.例5（2000年全國(guó)高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有 種.解：由于第一、三、五位置

37、特殊，只能安排主力隊(duì)員，有 種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場(chǎng)安排共有 252種.五、多元問(wèn)題分類(lèi)討論法對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類(lèi)討論，最后總計(jì)。例6（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ） A42 B30 C20 D12解：增加的兩個(gè)新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ，故選A。例7（2003年全國(guó)高考試題）如圖， 一個(gè)地區(qū)

38、分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰，而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.六、混合問(wèn)題先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略 例8（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A 種 B 種 C 種 D 種解：本試題屬于均分組問(wèn)題。 則12名同學(xué)均分

39、成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選A。例9（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A24種 B18種 C12種 D6種 解:先選后排,分步實(shí)施. 由題意，不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12，故應(yīng)選C. 七相同元素分配檔板分隔法例10把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡

40、可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問(wèn)題。解：先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書(shū)、2本書(shū)；再對(duì)余下的7本書(shū)進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書(shū)，這相當(dāng)于在7本相同書(shū)之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即有15種分法?？傊?，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類(lèi)為加，分步為乘。具體說(shuō)，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不

41、合要求的排列組合數(shù)。排列組合問(wèn)題的解題方略湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué) 張征洪排列組合知識(shí)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際，掌握好排列組合知識(shí)，能幫助我們?cè)谏a(chǎn)生活中，解決許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。同時(shí)排列組合問(wèn)題歷來(lái)就是一個(gè)老大難的問(wèn)題。因此有必要對(duì)排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和總結(jié)，以期充分掌握排列組合知識(shí)。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律:1）使用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定，可以分類(lèi)來(lái)完成這件事時(shí)用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”，需要分步來(lái)完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類(lèi)，還是分步驟？“分類(lèi)”表現(xiàn)為其中任何一類(lèi)均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分

42、步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類(lèi)辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類(lèi)辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。 2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3）復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà) “樹(shù)圖 ”、“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)。4）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問(wèn)題的基本思想方法

43、，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問(wèn)題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類(lèi)”和按事件的過(guò)程“分步”，始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本原理和方法，通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類(lèi)和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。6）在解決排列組合綜合問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)?？傊?，解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類(lèi)相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和

44、規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè) 分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類(lèi)：1）0排末尾時(shí)，有A42個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C21 A31A31個(gè)，

45、由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè)，選B。二總體淘汰法：對(duì)于含否定的問(wèn)題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53-3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù)。三合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問(wèn)題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元

46、素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例2、有8本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種(結(jié)果用數(shù)值表示)解：把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書(shū)有A33種排法，2本外語(yǔ)書(shū)有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題五不相鄰問(wèn)題用“插空法”：不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其

47、它元素將它們隔開(kāi)解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱(chēng)插空法例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)(用數(shù)字作答)解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素，這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素，先將這三個(gè)元素排好，共有A33種排法，再?gòu)那懊媾藕玫娜齻€(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選

48、兩個(gè)，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42288(種)注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置六順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例4、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種)例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生，

49、高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生，有A74 種排法，余下的3個(gè)位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種)七分排問(wèn)題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。例6、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無(wú)其它條件,故兩排可看作一排來(lái)處理，不同的坐法共有A77種。八逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的

50、方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A6 B.9 C.11 D.23解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B九、構(gòu)造模型 “隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原

51、方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),可用此法解。十.正難則反排除法對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問(wèn)題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種 A140種 B80種 C70種 D35種解：在被取出的3臺(tái)中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)，故選C注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)

52、題十一逐步探索法：對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要認(rèn)真分析，探索出其規(guī)律例10、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。解：兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1為被加數(shù)時(shí)有1種，2為被加數(shù)有2種，49為被加數(shù)的有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52為被加數(shù)有48種，99為被捕加數(shù)的只有1種，故不同的取法有（1+2+3+50）+（49+48+1）=2500種十二一一對(duì)應(yīng)法：例11.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場(chǎng)？解：要產(chǎn)生一名冠軍，要

53、淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進(jìn)行一場(chǎng)，故比賽99場(chǎng)。16個(gè)人分乘兩輛不同的汽車(chē)，每輛車(chē)最多坐4人，則不同的乘車(chē)方法數(shù)為()A40 B50 C60 D70 解析先分組再排列，一組2人一組4人有C15種不同的分法；兩組各3人共有10種不同的分法，所以乘車(chē)方法數(shù)為25×250，故選B.2有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C72種 D96種 解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個(gè) B9個(gè) C18個(gè) D36個(gè) 解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A×C6(種)排法，所以共有3×618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè)4男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A2人或3人 B3人或4人 C3人 D4人 解析設(shè)男生有n人，則女生有(8n)人，由題意可得