二十章曲線積分與曲面積分

1、第二十章 曲線積分與曲面積分1第一型曲線積分與曲面積分1對照重積分的基本性質(zhì)寫出第一型曲線積分和第一型曲面積分的類似性質(zhì).2 計算下列第一型曲線積分：(1)(x2+y2)ds，其中L是以(0，0),(2，0)，(0，1)為頂點的三角形； l x2 y2ds，其中L是圓周x2 y2 = ax； l xyzds，其中 L 為螺線 x 二 a cost, y = asin t , z = bt(0 ： a ： b),0 _ t _ 2 二； L(x2 y2 z2)ds，其中L與相同；44222 JL(x + y3)ds，其中 L 為內(nèi)擺線 x3 + y3 = a3 ； l y2ds，其中 L 為擺線

2、的一拱 x=a(t-sint), y =a(1-cost),0 乞 t 乞 2二； lxyds，其中L為球面x y - z = a與平面x y 0的交線；(8) (xy+yz+zx)ds，其中 L 同(7)；(9) xyzds，其中 L 是曲線 x =t, y =2 J2?3, z =t2(0 蘭t 蘭 1)；32(10) J2y2 +z2ds，其中 L 是 x2+y2+z2=a2 與 x = y 相交的圓周.3計算下列第一型曲面積分：(1) i i(x2 y2)dS，其中S是立體x2 y2 <z <1的邊界曲面；S2dS 2，其中S為柱面x2 y2二R2被平面z=0和z = H所

3、截取的部分；S x y3222,|x y z|dS，其中S為曲面z =x y被z =1割下的部分；S(4)z2dS，其中S為螺旋面的一部分：Sx =u cosv, y = usi nv,z=v (0_u _a,0_v；) i i (x2 y2)dS， S 是球面 x2 y2 z2 二 R2 .S4設曲線L的方程為x cost,y 二幾int,et(0罕丸 )它在每一點的密度與該點的矢徑平方成反比，且在點 (1,0,1)處為1,求它的質(zhì)量.5.設有一質(zhì)量分布不均勻的半圓弧x二r cost, y二rsin v(0 v :)，其線密度T=ar(a為常數(shù))，求它對原點(0, 0)處質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力

4、.h6 .求螺線的一支 L : x二acost, y二asi nt,zt(0_t_2二)對x軸的轉(zhuǎn)動慣量2兀I = j (y2 - z2)ds 設此螺線的線密度是均勻的. 1 2 2 _7.求拋物面殼z (x y ) , 0_z_1的質(zhì)量.設此殼的密度 =z .22 2 2 2&計算球面三角形 x y - z =a, x 0, y 0, z 0的圍線的重心坐標.設線密度1.22999. 求均勻球殼 x y - z = a (z_0)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量./ 22 y10. 求均勻球面 z = . a -x - y (x 一 0, y 一 0, x y乞a)的重心坐標.11. 若曲線以極坐標

5、給出： P = Pp)(耳蘭日W色)，試給出計算fL f (x, y)ds的公式,并用此公式計算下列曲線積分：2丄2H(1) 刊ds，其中L是曲線P = a(0蘭日-)；匸4(2) xds，其中L是對數(shù)螺線P = aekB(k0)在圓r=a內(nèi)的部分.12.求密度；二:?0 的截圓錐面 x 二 r cos', y 二 rsin',z = r(0_ 2二，0 ： b _ r _ a)對位于曲面頂點(0,0,0)的單位質(zhì)點的引力.當b- 0時，結(jié)果如何？13.計算 F(t)f (x, y,z)dS，其中 S是一平面 x y z 二t，而Sf (x, y,z)2 2_ y z ,0,當

6、 x2 y2 z2 乞1, 當 x2 y2 z2 1.2第二型曲線積分與曲面積分1.計算下列第二型曲線積分：(1) (2a - y)dx dy ,其中 L 為擺線 x = a(t -sin t), y = a(1 -cost),(0 _t 一 2二)沿t增加的方向;孝纓ds，其中L為圓周X2 y2L x y二a2依逆時針方向;(3) Lxdx - ydy zdz，其中L為從(1,1,1 )至八2,3,4)的直線段；2 2 2(4) Jl(x 2xy)dx+(y -2xy)dy， L 為 y = x 從(1,1)到(-1,1)；(5) 丄 ydx -xdy (x2 y2)dz， L 為曲線 x

7、= g,y = e，z = at 從(1,1,0)到(e,e_1,a)；(6) Jx2 y2)dx (x2 y2)dy，L 為以 A(1,0),B(2,0), C(2,1),D (1,1為頂點的正方 形沿逆時針方向.2計算曲線積分2 2 2 2 2 2L(y - z )dx (z - x )dy (x - y )dz .2 2 2(1) L為球面三角形x y - z =1, x_0, y_0,z_0的邊界線，從球的外測看去，L的方向為逆時針方向；(2) L是球面x +y +z = a和柱面x + y = ax (a a 0)的交線位于 Oxy平面上方的部分，從x軸上(b,0,0) (b a)點

8、看去，L是順時針方向.3求閉曲線L上的第二型曲線積分ydx - xdyx2y2(1) L為圓x2 y2二a2，逆時針方向；2 2(2) L為橢圓 % 占=1，順時針方向;a bL為以(0,0)為中心，邊長為a，對邊平行于坐標軸的正方形，順時針方向；L是以(-1,-1), (1,-1), (0,1)為頂點的三角形，順時針方向.4求力場F對運動的單位質(zhì)點所作的功，此質(zhì)點沿曲線L從A點運動到B點：2 2 2(1) F =(x-2xy , y-2x y) , L 為平面曲線 y=x , A(0,0), B(1,1)； F = (x y,xy) , L 為平面曲線 y=1-|1-x|, A(0,0),

9、B(2,0)；(3) F =(x-y,y -z,z_x), L 的矢量形式為 r(t)二ti t2j t3k , A(0,0,0), B(1,1,1)；(4) F =(y2,z2,x2) , L 的參數(shù)式為 x -cost, y = ： si nt,z 二 t (，：，為正數(shù))，AC ,0,0), B(，0,2 二)5設P,Q,R在L上連續(xù)，L為光滑弧段，弧長為I，證明：| l Pdx Qdy Rdz|乞 Ml 其中 M maxP2 Q2 R2 ? (x,y,z)耳6.設光滑閉曲線L在光滑曲面S上，S的方程為z=f(x, y),曲線L在Oxy平面上的投影曲線為I，函數(shù)P(x, y,z)在L上連

10、續(xù)，證明：lP(x, y,z)dx =占以 y, f(x,y)dx 7計算| = (xyzdz，其中L : x2 +y2 +z2 =1與y = z相交的圓，其方向按曲線依次 經(jīng)過1,2,7,8卦限.&計算下列第二型曲面積分：(1) 11 y(x - z)dydz x dzdx (y xz)dxdy ,其中 S 為 x = y = z= 0 , x=y = z = aS六個平面所圍的正立方體的外測；(2) JJ(x+ y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy，其中S是以原點為中心，邊長為 2的S正立方體表面的外測；x2 y2 z2(3) 11 yzdzdx , S為一222=1的上半部分的上測；sa b c(4) 11 zdxdy - xdydz ydzdx , S為柱面 玄寸二1被平面z = 0及z = 3所截部分的S外測；(5) . xydydz - yzdzdx - xzdxdy , S 是由平面 x = y = z=0 和 x，y，z=1 所圍的四S面體表面的外測；(6) 11 x3dydz - y3dzdx z3dxdy , S 為球面 x2 y2 z2 = a2 的外測；S(7) 11 x2dydz