數學教案－反比例函數及其圖象

1、數學教案反比例函數及其圖象教學設計示例1反比例函數及其圖象 教學目標： 1、理解反比例函數，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式； 2、會畫出反比例函數的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數的性質； 3、滲透數形結合的數學思想及普遍聯系的辨證唯物主義思想； 4、體會數學從實踐中來又到實際中去的研究、應用過程； 5、培養(yǎng)學生的觀察能力，及數學地發(fā)現問題，解決問題的能力. 教學重點： 結合圖象分析總結出反比例函數的性質； 教學難點：描點畫出反比例函數的圖象 教學用具：直尺 教學方法：小組合作、探究式 教學過程： 1、從實際引出反比例函數的概念 我們在小學學過反比例關系.例如：當路程S一定時

2、，時間t與速度v成反比例 即vt=S（S是常數）； 當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數） 從函數的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成：（S是常數）（S是常數）一般地，函數 （k是常數， ）叫做反比例函數 如上例，當路程S是常數時，時間t就是v的反比例函數當矩形面積是常數時，長a是寬b的反比例函數 在現實生活中，也有許多反比例關系的例子可以組織學生進行討論下面的例子僅供 2、列表、描點畫出反比例函數的圖象例1、畫出反比例函數 與 的圖象解：列表_-6-5-4-3123456-1-1.2-1.5-26321.51.2111.21.52-6

3、-3-2-1.5-1.21說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖一般地反比例函數 （k是常數， ）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線. 3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數的性質 前面學習了三類基本的初等函數，有了一定的基礎，這里可視學生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習. 顯示這兩個函數的圖象，提出問題：你能從圖象上發(fā)現什么有關反比例函數的性質呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考） （1） 的圖象在第一、三象限.可以擴展到k >0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第

4、三象限.從解析式中，也可以得出這個結論：_y=k，即_與y同號，因此，圖象在第一、三象限.的討論與此類似.抓住機會，說明數與形的統(tǒng)一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.（2）函數 的圖象，在每一個象限內，y隨_的增大而減小；從圖象中可以看出，當_從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數除法說明了同樣的道理，被除數一定時，若除數大于零，除數越大，商越??；若除數小于零，同樣是除數越大，商越小.由此可歸納出，當k>0時，函數 的圖象，在每一個象限內，y隨_的增大而減小.同樣可以推出 的圖象的性質.（3）函數 的圖象不經過原點，且不與_

5、軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果_取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果_取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質.函數 的圖象性質的討論與次類似.4、小結： 本節(jié)課我們學習了反比例函數的概念及其圖象的性質.大家展開了充分的討論，對函數的概念，函數的圖象的性質有了進一步的認識.數學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯系和發(fā)展規(guī)律，能數學地發(fā)現問題，并能運用已有的數學知識，給以一定的解釋.即數學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中. 5、布置作業(yè) 習題13.8 1-4教學設計示例2反比例函數及其圖像 一、素質教育目

6、標 （一）知識教學點 1使學生了解反比例函數的概念； 2使學生能夠根據問題中的條件確定反比例函數的解析式； 3使學生理解反比例函數的性質，會畫出它們的圖像，以及根據圖像指出函數值隨自變量的增加或減小而變化的情況； 4會用待定系數法確定反比例函數的解析式. （二）能力訓練點 1培養(yǎng)學生的作圖、觀察、分析、總結的能力； 2向學生滲透數形結合的教學思想方法. （三）德育滲透點 1向學生滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點； 2使學生體會事物是有規(guī)律地變化著的觀點. （四）美育滲透點 通過反比例函數圖像的研究，滲透反映其性質的圖像的直觀形象美，激發(fā)學生的興趣，也培養(yǎng)學生積極探求知識的能力. 二、

7、學法引導 教師采用類比法、觀察法、練習法 學生學習反比例函數要與學習其他函數一樣，要善于數形結合，由解析式聯想到圖像的位置及其性質，由圖像和性質聯想比例系數k的符號. 三、重點·難點·疑點及解決辦法 1教學重點：反比例的概念、圖像、性質以及用待定系數法確定反比例函數的解析式.因為要研究反比例函數就必須明確反比例函數的上述問題. 2教學難點：畫反比例函數的圖像.因為反比例函數的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難. 3教學疑點：（1）反比例函數為何與_軸，y軸無交點；（2）反比例函數的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象

8、限，而不能說經過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內）. 4解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論. 四、教學步驟 （一）教學過程 提問：小學是否學過反比例關系？是如何敘述的？ 由學生先考慮及討論一下. 答：小學學過：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關系叫做反比例關系. 看下面的實例：（出示幻燈） 1 當路程s一定時，時間t與速度v成反比例； 2當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例； 它們分別可以寫成

9、 （s是常數）， （S是常數）寫在黑板上，用以得出反比例函數的概念：（板書） 一般地，函數 （k是常數， ）叫做反比例函數. 即在上面的例子中，當路程s是常數時，時間t就是速度v的反比例函數，能否說：速度v是時間t的反比例函數呢？ 通過這個問題，使學生進一步理解反比例函數的概念，只要滿足 （k是常數， ）就可以因此可以說速度v是時間t的反比例函數，因為 （s是常量）對第2個實例也一樣 練習一：教材P129中1 口答P130 1 根據前面學習特殊函數的經驗，研究完函數的概念，跟著要研究的是什么？ 答：圖像和性質 通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發(fā)生、發(fā)展過程有一個明確的認識，以后 學生要

10、研究其他函數，也可以按照這種方式來研究 下面，我們就來看桓隼猓海鍪凈玫疲?/P> 例1 畫出反比例函數 與 的圖像 提問：1畫函數圖像的關鍵問題是什么？ 答：合理、正確地選值列表 2在選值時，你認為要注意什么問題？ 答：（1）由于函數圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好； （2）不能選 ，因為 時函數無意義； （3）選整數較好計算和描點 這個問題中最核心的一點是關于 的問題，提醒學生注意 3你能不能自己完成這道題呢？ 學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之后，找一名同學上黑板連線，然后就這名同學的連線加以評價、總結： 注意：（1）一般地，反比例函

11、數 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線； （2）這兩條曲線不相交； （3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近_軸和y軸，但永不會與_軸和y軸相交 關于注意（3）可問學生：為什么圖像與_和y軸不相交？ 通過這個問題既可加深學生對反比例函數圖像的記憶，又可培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性 再讓學生觀察黑板上的圖，提問： 1當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨_的增大怎樣變化？ 2當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨_的增大怎樣變化？ 這兩個問題由學生討論總結之后回答，教師板書： 對于雙曲線（1）當 ：（1）當 時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨_的增大而減少；（2）

12、當 時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨_的增大而增大3反比例函數的這一性質與正比例函數的性質有何異同？ 通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便于記憶和應用 練習二：教材P129中2由學生在練習本上完成，教師巡回指導.P130中2、3填在書上 上面，我們討論了反比例函數的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈） 例2已知y與 成反比例，并且當 時， ，求 時，y的值. 用提問的方式對此題加以分析： （1）y與 成反比例是什么含義？ 由學生討論這一問題，最后歸結為根據反比例函數的概念，這句話說明了： . （2）根據這個式子，能否求出當 時，y的值？ （3

13、）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？ （4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？ 答：用待定系數法，把 時 代入 ，求出k的值. （5）你能否自己完成這道例題： 由一名同學板演，其他同學在練習本上完成. 例3 已知： ， 與_成正比例， 與_成反比例，當 時， 時， ，求y與_的解析式. 分析：一定要先寫出y與_的函數表達式 ， 要用_分別把 ， 表示出來得 ， 要注意 不能寫成k， 解：設 ， . 由題意得 . （二）總結、擴展 教師提問，學生思考回答： 1什么是反比例函數？ 2反比例函數的圖像是什么樣的？ 3反比例函數 的性質是什么？ 4命題方向及題型設置，反比例函數也是中考命題的主要考點，

14、其圖像和性質，以及其函數解析式的確定，常以填空題、選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函數與一次函數、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容. 五、布置作業(yè) 1教材P130中4，5，6 2選做：P130中B1，2 六、板書設計138反比例函數及其圖像引例：（1）例1： 例2： 例3： （2） 1反比例函數： 2反比例函數的性質 探究活動 已知：如圖，一次函數的圖像經過第一、二、三象限，且與反比例函數的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與_軸交于點D。 。 （1）求反比例函數的解析式； （2）設點A的橫坐標為m， 的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍； （3）當 的面積等于 時，試判斷過A、B兩點的拋物線在_軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。 解：（1）過點B作 軸于點H。 在Rt 中， 由勾股定理，得 又 ， 點B（3，1）。 設反比例函數的解析式為 。 點B在反比例函數的圖像上， 。 反比例函數的解析式為 。 （2）設直線AB的解析式為 。 由點A在第一象限，得 。 又由點A在函數 的圖像上，可求得點A的縱坐標為 。 點B（3，1），點 ， 解關于 、 的方程組，得 直線AB的解析式為 。 令 。 求得點D的橫坐標為 。 過點A作