分形理論在晶體表面形貌中的應用

1、分形理論在晶體表面形貌中的應用    關鍵詞： 分形理論；分形維數(shù)；應用狀況；晶體形貌 1 分形的理論概述 1.1 分形的一般概念 分形這個詞是由美國IBM公司研究中心物理研究部研究院暨哈佛大學數(shù)學系教授Benoit B.Mandelbrot在1975年首次提出的，其原意是“不規(guī)則的、分離的、支離破碎的”物體。這個名詞是參考了拉丁文fractures后造出來的，它既是英文又是法文，既是名詞又是形容詞。1977年，Benoit B.Mandelbrot出版的第一本著作Fractal：Form chance and Mimension，標志著分形理論的正式誕

2、生。5年后，他出版了著名的專著The Fractal Geometry of nature，至此，分形理論初步形成。 分形是一種粗糙的或破碎的幾何圖形，它的組成部分可以被無限細分，而且它的局部的形狀一般與整體相似1。分形一般是自相似的和標度不變的。 1.2 分形體的數(shù)學構造與維數(shù) 分形體是一個維數(shù)，介于點、線、面之間的客體，具有分形特征的物體的維數(shù)往往是分數(shù)。分形體不具有晶體幾何的旋轉對稱和平稱對稱性，但具有其特有的標度對稱、伸縮對稱與自相似性。分形體的數(shù)學構造通?？煞譃镃antor棒分形、sierpinski四面體分形、隨機分形、多重分形。 分形維數(shù)又叫分維，是定量刻畫分形特征的參數(shù)，在一般

3、情況下是分數(shù)，它表征了分形體的復雜程度，分形的維數(shù)越大，其客體就越復雜，反之亦然。 1.3 分形的自相似性 分形結構的本質特征是自相似性或自仿似性。自相似性是指把觀察對象的一部分沿各個方向以相同的比例放大后，其形態(tài)與整體相同或相似。一個系統(tǒng)的同相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的。另外，在整體與整體之間，或部分與部分之間，也會存在自相似性。 2 分形理論在晶體表面形貌中的應用 2.1 分形理論在無光釉LiAlSiO4SiO2體系枝晶中的應用 枝晶生長是一種在一定冷凝狀態(tài)下冷凝的金屬、合金以及其他材料的一種常見生長模型。枝晶理論的發(fā)展受到了科學和機械的重視，這是

4、因為枝晶不僅具有錯綜復雜的圖案，而且具有廣泛的工業(yè)用途2。一些模擬和實際試驗得出來的枝晶已經被描述具有接近分形的結構。分形生長理論是一種非線性科學的一個新的分支，在過去的幾十年里強烈的吸引了人們的目光，特別是八十年代3。這里我們給出的無光釉LiAlSiO4SiO2體系的一種特殊枝晶，它不具有樹狀或者雪花狀形貌但是卻具有類似于分形中sierpinski gasker的形貌。 利用原子力顯微鏡和微分干涉顯微鏡觀察形成于無光釉LiAlSiO4SiO2 體系的枝晶釉料的表面。由觀察我們發(fā)現(xiàn)，枝晶在不同的晶體上表現(xiàn)出了三種不同的形貌：雪花狀、穿插狀和三角形狀。雪花狀和穿插狀的枝晶具有一般的枝晶形貌，而三

5、角形狀的枝晶較少見。 如圖1所示，為該枝晶的原子力顯微鏡和微分干涉顯微鏡下的“sierp Inski gasker”圖片。從這幾幅圖片上我們可以很明顯的看出自相似性：大的三角形中包含有許多小的三角形，而小的三角形中又包括許多更小的三角形。 圖1AFM和DIC下的“Sierpinski gasket”枝晶 （ ），（b）和（c）為原子力顯微鏡（AFM）圖形，其中（c）是 （a）圖形的放大（200）；（e）為微分干涉顯微鏡（DIC）400，（f）為（e）圖的草圖4。 圖1中所示的具有“sierpinski gasker”的枝晶截面恰好是三次軸的方向。同時，在枝晶的其他表面上還存在其他的形貌相為“s

6、ierpinski gasker”枝晶上接近平行三次軸的界面上的原子力顯微鏡圖片。我們可以通過對這兩個方向上的形貌分析畫出立體的“sierpinski gasker”的形貌相。這種立體的“sierpinski gasker”枝晶組成了許多中空的并有可能被玻璃基質充填的三角錐。這一立體的形貌相與分形中的“Menger sponge”相似。 “sierpinski gasker”枝晶的三次軸方向上的形貌與“sierpinski gasker”圖非常相似。但實際的“sierpinski gasker”枝晶并不與理想中的“sierpinski gasker”圖完全一致的。實際中的分形都只是接近于理論分

7、形的，而且重復的次數(shù)在實際中也不是無限的。在這里我們在AFM和DIC尺度上只可以看到兩次或者三次的重復，如圖1所示。再者，樹形的“sierpinski gasker”枝晶在圖1的（e）中得到反映，這一樹形的結構并不能在理想的“sierpinski gasker”圖出現(xiàn)。 “sierpinski gasker”枝晶的立體形貌與理想的“Menger sponge”是相似的，但是實際中的枝晶明顯不同于理想中的“Menger sponge”圖。實際中的“sierpinski gasker”枝晶為許多三角錐，這些三角錐生長方向與底層方向性相同，但是理想的“Menger sponge”圖可組成許多四面體。

8、這種枝晶晶體形貌與理想“Menger sponge”不同是由晶體結構的對稱性引起的。由XRD對釉料晶體的表面分析可知，具有“sierpinski gasker”形貌的枝晶為石英。這種枝晶形貌只能在石英中唯一的六次對稱軸方向表現(xiàn)出三次對稱。所以“sierpinski gasker”枝晶在唯一一個三次軸方向上形成三角錐。        2.2 分形理論在鈮酸鋰晶體中的應用 晶體結構質量例如位錯可以用位錯蝕坑的辦法來檢驗。此處在LiNbO3晶體表面的腐蝕并得到一定的腐蝕坑。選用作為腐蝕的是平行于c軸的晶片。該晶片先拋光然

9、后在HF和HNO3（HF/HNO3=1/2）中進行腐蝕，形成三角形的蝕坑形態(tài)。很明顯蝕坑具有明顯的分形幾何結構，與“sierpinski gasker”一致，該分形的維數(shù)為ln3/ln21.585。 礦物學家認為晶體表面不對稱的電化學性質是造成這種蝕坑出現(xiàn)的主要原因。晶體表面常常有一些缺陷（如位錯、晶界、雜質等），這些缺陷可以作為侵蝕核，當該地方遇到陰離子蝕刻劑時首先聚集到有缺陷的地方并在此形成蝕坑。同時這些蝕坑的形態(tài)還取決于其所處的晶體的對稱方向，不同的晶面具有不同的對稱性所以也具有不同的蝕坑方位和蝕坑形態(tài)。 3 結束語 分形理論作為一門新興的邊緣學科，雖然其發(fā)展歷史不長，但在以其作為工具認

10、識或揭示自然界中的各種現(xiàn)象及其本質方面，已經或正在起著重要作用。分維幾何學在諸如晶體表面、晶體形貌、催化劑結構、材料斷裂機理分析、凝聚體結構等涉及材料表面幾何形貌的研究中都有重要作用。分形理論及其應用具有很大的發(fā)展空間，在晶體表面形貌研究中已取得了一些成果，隨著分形理論的數(shù)學進展必將為材料學的研究提供更有力的方法和觀點，而晶體表面形貌的高科技應用背景又將為分形的數(shù)學理論的發(fā)展提供強大的動力。 參考文獻： 1張濟忠，分形M.北京：清華大學出版社，1995. 2趙珊茸、王繼揚、譚勁、楊泰銘、劉惠芳，無光釉中LiAlSiO4-SiO2固溶體的枝晶研究，人工晶體學報，1999.3. 3黃暉、許京軍、孔勇發(fā)、張國權、舒永春、孫軍、徐曉軒、張光寅，鈮酸鋰晶體中的分形幾何觀察，人工晶體學報，2004，33（4）：647-650. 4Shanrong Zhao，Jin Tan，Jiyang Wang，A dendrite with“Sierpinski gaskey”fractal morphology in matt glaz