列主元三角分解法在matlab中的實(shí)現(xiàn)

1、無(wú) 列主元三角分解法在列主元三角分解法在 matlabmatlab 中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn) 摘摘 要要: 介紹了M atlab語(yǔ)言并給出用M atlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)線性方程組的列主元三角分解法,其有效性已在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中得到了驗(yàn)證。 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞: M atlab 語(yǔ)言; 高斯消去法; 列主元三角分解法 0 前言前言 M atlab 是 M atrix Laboratory(矩陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫,它是由美國(guó) M athwork 公司于 1967 年推出的軟件包,現(xiàn)已發(fā)展成為一種功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。它編程簡(jiǎn)單,使用方便,在 M a tlab 環(huán)境下數(shù)組的操作與數(shù)的操作一樣簡(jiǎn)單,進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算可以像草稿紙一樣隨

2、心所欲,使計(jì)算機(jī)兼?zhèn)涓呒?jí)計(jì)算器的優(yōu)點(diǎn)。M atlab 語(yǔ)言具有強(qiáng)大的矩陣和向量的操作功能,是 Fo rtran 和C 語(yǔ)言無(wú)法比擬的;M a tlab 語(yǔ)言的函數(shù)庫(kù)可任意 擴(kuò)充;語(yǔ)句簡(jiǎn)單,內(nèi)涵豐富;還具有二維和三維繪圖功能且使用方便,特別適用于科學(xué)和工程計(jì)算。 在科學(xué)和工程計(jì)算中,應(yīng)用最廣泛的是求解線性方程組的解,一般可用高斯消去法求解,如果系數(shù)矩陣不滿足高斯消去法在計(jì)算機(jī)上可行的條件,那么消元過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)零主元或小主元,消元或不可行或數(shù)值不穩(wěn)定,解決辦法就是對(duì)方程組進(jìn)行行交換或列交換來(lái)消除零主元或小主元,這就是選主元的思想。 1 1 定義定義 列主元三角分解：如果 A 為非奇異矩陣，則存

3、在排列矩陣 P,使PA=LU,其中 L 為單位下三角矩陣，U 為上三角陣。列主元三角分角法是對(duì)直接三角分解法的一種改進(jìn),主要目的和列主元高斯消元法一樣,無(wú) 就是避免小數(shù)作為分母項(xiàng). 2 2 算法概述算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上類似， 所不同的是在構(gòu)造 Gauss 變換前，先在對(duì)應(yīng)列中選擇絕對(duì)值最大的元素（稱為列主元） ，然后實(shí)施初等行交換將該元素調(diào)整到矩陣對(duì)角線上。 例如第) 1, 2 , 1 (nk步變換敘述如下： 選主元：確定p使1)1(maxkiknikkpkaa； 行交換：將矩陣的第k行和第p行上的元素互換位置,即 實(shí)施 Gauss 變換：通過(guò)初行變換，將 列主對(duì)角

4、線以下的元素消為零即 3 3 列主元三角分解在列主元三角分解在 matlabmatlab 中的實(shí)現(xiàn)中的實(shí)現(xiàn) 無(wú) 例：對(duì)矩陣513252321A進(jìn)行 LPU 分解 其程序如下： function l,u,p=mylu(A) m,n=size(A); if m=n error(矩陣不是方陣) return end if det(A)=0 error(矩陣不能被三角分解) end u=A;p=eye(m);l=eye(m); for i=1:m for j=i:m t(j)=u(j,i); for k=1:i-1 t(j)=t(j)-u(j,k)*u(k,i); end end a=i;b=abs(

5、t(i); for j=i+1:m if babs(t(j) b=abs(t(j); a=j; end end if a=i for j=1:m c=u(i,j); 無(wú) u(i,j)=u(a,j); u(a,j)=c; end for j=1:m c=p(i,j); p(i,j)=p(a,j); p(a,j)=c; end c=t(a); t(a)=t(i); t(i)=c; end u(i,i)=t(i); for j=i+1:m u(j,i)=t(j)/t(i); end for j=i+1:m for k=1:i-1 u(i,j)=u(i,j)-u(i,k)*u(k,j); end en

6、d end 無(wú) l=tril(u,-1)+eye(m); u=triu（u，0） ； 控制命令為： A=1 2 3;2 5 2;3 1 5; l,u,p=mylu(A) 結(jié)果為： l = 1.0000 0 0 0.6667 1.0000 0 0.3333 0.3846 1.0000 u = 3.0000 1.0000 5.0000 0 4.3333 -1.3333 0 0 1.8462 p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 小結(jié)小結(jié) 在數(shù)值計(jì)算中,列主元三角分解法是求解線性方程組一個(gè)很重要的方法，而用 MATLAB 可以簡(jiǎn)單便捷的實(shí)現(xiàn)該算法，從而輕松得到線性方程組的解。 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn): 無(wú) 1 蒲俊等,吉家鋒,伊良忠.MATLAB6.0 數(shù)學(xué)手冊(cè)M.上海:浦東電子出版社,2002.35-40. 2 蕭樹(shù)鐵.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M.北京:高等教育出版社,1999.130-139