求極限方法總結材料-全

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上極限求解總結1、極限運算法則設limnan=a,limnbn=b,則(1) limn(an±bn)=limnan±limnbn=a±b;(2) limnanbn=limnanlimnbn=ab;(3) limnanbn=limnanlimnbn=abb0.2、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系如果極限limxx0f(x)存在，xn為函數(shù)f(x)的定義域內任一收斂于x0的數(shù)列，且滿足:xnx0nN+，那么相應的函數(shù)值數(shù)列f(x)必收斂，且limnf(xn)=limxx0f(x)3、定理（1） 有限個無窮小的和也是無窮??；（2） 有界函數(shù)與無窮小的乘積

2、是無窮??；4、推論（1） 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；（2） 有限個無窮小的乘積也是無窮??；（3） 如果limf(x)存在，而c為常數(shù)，則 limcf(x)=climf(x)（4） 如果limf(x)存在，而n是正整數(shù)，則 limf(x)n=limf(x)n5、復合函數(shù)的極限運算法則設函數(shù)y=fgx是由函數(shù)u=gx與函數(shù)y=f(u)復合而成的，y=fgx在點x0的某去心領域內有定義，若limxx0gx=u0，limuu0f(u)=A，且存在0>0，當xUx0,0時，有g(x)u0，則limxx0fgx=limuu0f(u)=A6、夾逼準則 如果(1) 當xUx0,r(或x>M)時,

3、g(x)f(x)h(x)(2) limxx0(x)g(x)=A, limxx0(x)h(x)=A那么limxx0(x)f(x)存在，且等于A7、兩個重要極限（1） limx0sinxx=1（2） limx1+1xx=e8、求解極限的方法（1）提取因式法例題1、求極限limx0ex+e-x-2x2解：limx0ex+e-x-2x2=limx0e-x(e2x-2ex+1)x2=limx0e-xex-1x2=1例題2、求極限limx0ax2-bx2ax-bx2ab,a.b>0解：limx0ax2-bx2ax-bx2=limx0bx2abx2-1b2xabx-12=limx0bx2-2xx2ln

4、abxlnab2=1lnab例題3、求極限limx+xpa1x-a1x+1a>0,a1解：limx+xpa1x+1a1x(x+1)-1=limx+xpa1x+11x(x+1)lna=limx+xpx(x+1)a1x+1lna=limx+xp-21+1xa1x+1lna=（2）變量替換法（將不一般的變化趨勢轉化為普通的變化趨勢）例題1、limxsinmxsinnx解：令x=y+limxsinmxsinnx=limy0sinmy+msinny+n=-1m-nlimy0sinmysinny=-1m-nmn例題2、limx1x1m-1x1n-1解：令x=y+1limx1x1m-1x1n-1=li

5、mx1(1+y)1m-1(1+y)1n-1=nm例題3、limx+x2x2+x-3x3+x2解：令y=1xlimx+x2x2+x-3x3+x2=limy0+1y2+1y-31y3+1y2=limy0+1+y-31+yy=16（3）等價無窮小替換法x0 sinxxsin-1x tanxxtan-1x ex-1xln1+x ax-1xlna 1-cosxx22 1+x-1x注：若原函數(shù)與x互為等價無窮小，則反函數(shù)也與x互為等價無窮小例題1、limx0ax+bx21x(a.b>0)解：limx0ax+bx21x=elimx01xlnax+bx2=elimx01xln1+ax+bx-22=eli

6、mx0ax-1+bx-12x=ab例題2、limx+ln1+eaxln1+bx(a>0)解：limx+ln1+eaxln1+bx=limx+ln1+eaxbx=limx+bxlneaxe-ax+1=limx+bxlneax+lne-ax+1=limx+bxax+lne-ax+1=ab+limx+blne-ax+1x=ab例題3、limx0lnsinx2+ex-xlnx2+e2x-2x解：limx0lnsinx2+ex-xlnx2+e2x-2x=limx0lnsinx2+ex-xlnx2+e2x-2x=limx0lnsinx2ex+1lnx2e2x+1=limx0sinx2e2xx2ex=

7、1例題4、limx0ex-esinxx-sinx解：limx0ex-esinxx-sinx=limx0esinxex-sinx-1x-sinx=limx0esinxx-sinxx-sinx=1例題5、limx1xx-1x-1解：limx1xx-1x-1=limx1exlnx-1x-1=limx1xlnxx-1令y=x-1原式=limy0y+1lny+1y=1例題6、limx21-sinx+1-sinx1-sinx.>0解：令y=1-sinxlimx21-sinx+1-sinx1-sinx=limy0+1-1-y+1-1-y1-1-y=limy0+y+yy=+（4）1型求極限例題1、lim

8、x4tanxtan2x解：解法一（等價無窮?。簂imx4tanxtan2x=elimx4tan2xlntanx=elimx4tan2xln1+tanx-1=elimx4tan2xtanx-1=elimx42tanx1-tanx2tanx-1=elimx4-2tanx1+tanx=e-1解法二（重要極限）：limx4tanxtan2x=limx41+tanx-11tanx-1tan2xtanx-1=elimx4tan2xtanx-1=elimx42tanx1-tanx2tanx-1=elimx4-2tanx1+tanx=e-1（5）夾逼定理（主要適用于數(shù)列）例題1、limn1n+2n+3n+4

9、n1n解：4n1n+2n+3n+4n4×4n所以limn1n+2n+3n+4n1n=4推廣：ai>0 i=1,2,3mlimna1n+a2n+a3n+amn1n=max1imai例題2、limx0x1x解：1x-11x1x1) x>0 1-xx1x1所以x0+ limx0x1x=12) x<0 1-xx1x1所以x0- limx0x1x=1例題3、limn32×55×78××2n+13n-1解：2n+13n-12n+13nn2032×55×78××2n+13n-132×66&#

10、215;89××2n+13n=n+1223n-2limnn+1223n-2=0所以limn32×55×78××2n+13n-1=0例題4、limnk=n2n+121klimnk=n2n+121k=limn1n2+1n2+1+1n+122n+2n+12xn2n+2n2所以limnxn=2例題5、limnk=1nnk+1-1k解：nknk+1n+1k nnk+11kn+1 1n+1nk+1-1k1n所以nn+1k=1nnk+1-1knnlimnk=1nnk+1-1k=1（6）單調有界定理例題1、limn32×55×78

11、××2n+13n-1解：xn=xn-1×2n+13n-1xn-1*xn單調遞減 0xn極限存在，記為A由（*）n求極限得：A=23A所以A=0例題2、x0=1 xn+1=2xn 求limnxn解：xn+1-xn=2xn-2xn-1=2xn-xn-12xn+2xn-1x1-x0=2-1>0xn單調遞增xn+1=2xn<2xn+1所以xn+12-2xn+1<00<xn+1<2 極限存在，記為Ln時 L =2L L=2例題3、x1>0 xn+1=a1+xna+xn(a>1)求極限limnxn解：xn+1-xn=a1+xna+xn

12、-a1+xn-1a+xn-1=a2-axn-xn-1a+xna+xn-1x2-x1=a-x12a+x1當x1>a x2-x1<0 xn 當0<x1a xn所以0<xn+1=a1+xna+xn<aa+xna+xn=a 極限存在n時 L=a1+La+L L=a 注：xn單調性有時依賴于x1的選取例題4、x1>1 xn+1=11+xn 求極限limnxn解：xn+1-xn=xn-1-xn1+xn1+xn-1 （整體無單調性）x2n+1-x2n-1=11+x2n-11+x2n-2=x2n-2-x2n1+x2n1+x2n-2=x2n-1-x2n-31+x2n1+x2n

13、-21+x2n-11+x2n-3x3-x1=11+x2-x1<0所以x2n+1單調遞減，同理，x2n單調遞增有因為0<xn<1(n2)故limnx2n+1和limnx2n均存在，分別記為A,Bx2n+1=11+x2n x2n=11+x2n-1 即A=11+B B=11+A解得 A=B=5-12所以 limnxn=5-12（7）泰勒公式法例題1、設f有n階連續(xù)導數(shù)n2fkx0=0 k=1,2,n-1fnx00 nRfx0+h-fx0=hf'x0+h 0<=h<1證明：limh0h=n11-n證明：f'x0+h=f'x0+f"x0h+

14、f3x02!h2+fn-1x0n-2!hn-2+fnn-1!hn-1即f'x0+h=fnn-1!hn-1 x0<<x0+hfx0+h= fx0+fnn!hnfx0+h-fx0=hnfnn! x0<<x0+h fnn!hn=fnn-1!hn-1hn-1=n-1fnfn1n1n-1 h0 limh0h=n-1fnfnn11-n= limh0h=n11-n（8）洛必達法則例題1、求limx1x3-3x+2x3-x2-x+1解：limx1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx13x2-33x2-2x-1=limx16x6x-2=32例題2、求limx+2-tan-1x1x解：limx+2-tan-1x1x=limx+-11+x2-1x2=limx+x21+x2=1例題3、求limx+xnex (n為正整數(shù)，>0)解：limx+xnex=limx+nxn-1ex=limx+nn-1xn