線性代數(shù)課件：1方陣的特征值與特征向量

1、第四章第四章 特征值與特征向量特征值與特征向量1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義二、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì)說明說明. 特特征征向向量量1.,.的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AEAEAAn 03 一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義 定義定義1 1 設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣階方陣, ,若數(shù)若數(shù) 和和 n 維維非零非零列向

2、量列向量 使關(guān)系式使關(guān)系式 A = = 成立成立, ,則稱數(shù)則稱數(shù) 為為方陣方陣 A 的特征值的特征值, ,非零非零列向量列向量 稱為稱為 A 的對應(yīng)的對應(yīng)于特征值于特征值 的特征向量的特征向量. .2. . 特征值問題只對特征值問題只對方陣方陣而言而言 . . 04 EA .0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元稱以稱以n 0 EA . 的的為為A特征方程特征方程,次多項式次多項式的的它是它是n 記記 EAf 稱其稱其. 的的為方陣為方陣 A特征多項式特征多項式二、特征值與特征向量的求法二、特征值與特征向量的求法方陣的特征值與特征向

3、量的一般方法：方陣的特征值與特征向量的一般方法： (1) 求出特征方程的求出特征方程的 所有根，即所有根，即 A的全部特的全部特 0 EA 征值征值： (可能有重根可能有重根).). n ，21 (2) 對于對于A的每個特征值的每個特征值 ，求齊次線性方程組，求齊次線性方程組 i A(i 0 xE)的一個基礎(chǔ)解系的一個基礎(chǔ)解系 則則 tiii ，21ttiiiiiikkk 2211即為即為 A的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的全部特征的全部特征 i 向量，其中向量，其中 為不全為零的任意常數(shù)為不全為零的任意常數(shù). . tiiikkk，21解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A

4、的特征多項式為的特征多項式為A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值為的特征值為所以所以A,00231123,2211 xx對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足時時當當 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取為取為所以對應(yīng)的特征向量可所以對應(yīng)的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時時當當 .11,221 pxx取為取為所以對應(yīng)的特征向量可所以對應(yīng)的特征向量可解得解得.2)0(1111的全部特征向量的全部特征向量是對應(yīng)于是對應(yīng)于所以所以 kpk.4)0(2222的全部特征向量的全部特征向量是對

5、應(yīng)于是對應(yīng)于所以所以 kpk例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多項式為的特征多項式為. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以A由由解方程解方程時時當當. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.)(的全部特征向量的全部特征向量是對應(yīng)于是對應(yīng)于所以所以201111 kpk由由解方程解方程時時當當. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.)(的全部特征向量的

6、全部特征向量是對應(yīng)于是對應(yīng)于所以所以1032222 kpk例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時時當當. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對對應(yīng)應(yīng)于于11 ).(0 111kpk 由由解解方方程程時時當當. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :

7、232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時時為為kk pkpk 三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì)定理定理1 A與其轉(zhuǎn)置矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣 有相同的特征多項式，從而有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。有相同的特征值。TA 定義定義2 n階方陣階方陣 主對角線上的元素的和主對角線上的元素的和)(ijaA 稱為稱為A的跡，記為的跡，記為tr(A)。nnaaa2211定理定理 2 設(shè)設(shè) 是是n階方陣階方陣A的的n個特征值，則個特征值，則n ,21(1) tr(A) ；(2) 。n 21An 21推論推論1 n階方陣階方陣A可逆的充

8、分必要條件是可逆的充分必要條件是A的所有特征的所有特征值都不為零。值都不為零。例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣 A 的特征值的特征值 , x 是是 A 的的 屬于屬于 的特征向量，則的特征向量，則 .)1(是任意自然數(shù)是任意自然數(shù)的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆時可逆時當當 AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特對應(yīng)于對應(yīng)于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,

9、2 可逆時可逆時當當A.,1111的的特特征征向向量量對對應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA例例5 設(shè)設(shè) 是一個多項是一個多項0111axaxaxaxfmmmm)(式，若式，若 為方陣為方陣A的一個特征值，則的一個特征值，則 為為 的一的一 )( f)(Af個特征值。個特征值。例例6. |75|,1,2,1 (1)23AAAA 求求特征值為特征值為的的已知三階方陣已知三階方陣. |23|, 1,2,1 (2)*EAAA 求求特征值為特征值為的的已知三階方陣已知三階方陣例例7 設(shè)設(shè) ，證明：，證明：A的特征值只能為的特征值只能為0或或1。AA 2.,.,線性無關(guān)線性無關(guān)則則

10、各不相等各不相等如果如果向量向量依次是與之對應(yīng)的特征依次是與之對應(yīng)的特征個特征值個特征值的的是方陣是方陣設(shè)設(shè)定理定理mmmmppppppmA21212121 3 證明證明使使設(shè)設(shè)有有常常數(shù)數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類推之，有類推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合寫成矩陣形式，得把上列各式合寫成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式

11、不不等等于于不不相相等等時時當當各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端第第二二個個矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以向向量量組組mppp定理定理3的一個常用推廣：的一個常用推廣：m ,21iirii ,21mi, 21i irmmrmmrr ,21222211121121定理定理4 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A的的m個互不相同的特征個互不相同的特征值，值， 是是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的的 線性無關(guān)的特征線性無關(guān)的特征向量，向量， 則則線性無關(guān)。線