版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)的運(yùn)算二、冪級數(shù)的運(yùn)算三、小結(jié)三、小結(jié) 第四節(jié)第四節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為0 xx 的的冪級數(shù)冪級數(shù). . 的冪級數(shù)的冪級數(shù)稱為稱為時時當(dāng)當(dāng)xxa
2、,0 xn0nn0 2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: :否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)1x適適合合01xx
3、 使使級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時時應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論xo R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域 n nn nn0n0例例1 :1 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a xa x 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例2 :2 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a (x1)a (x1) 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)
4、條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例3 :3 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a (x3)a (x3) 在在x5x5處處發(fā)發(fā)散散, ,則則在在x0 x0處處( )( )在在x2x2處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它
5、它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: : 上述上述正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑., 0 R規(guī)定規(guī)定, R(1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,),RR ,(RR .,RR ),(RR 冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域收斂域是指是指冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間是指開區(qū)間是指開區(qū)間(-R,R)如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?系系數(shù)數(shù)模模比比值值法法 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0
6、nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na, 設(shè)設(shè) nnnaa1lim,則則 (1) 當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxa3.收斂半徑、收斂域及其求法收斂半徑、收斂域及其求法,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0)2( 如如果果, 0 x
7、),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù))|01(0收收斂斂使使知知將將有有點(diǎn)點(diǎn)否否則則由由定定理理 nnnxax. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.系系數(shù)數(shù)模模根根值值法法 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na, 設(shè)設(shè) nnnalim,則則 (1) 當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;例例4 4 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域:解解)1(nnn
8、aa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnxn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ); ;2 2n n n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 nnna limnn lim, , oR ;)()2(1 nnnx 0 0nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂
9、xn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ) . .2 2n n ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?0,1.n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項(xiàng)缺少偶次冪的項(xiàng)應(yīng)應(yīng)用用比比值值判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即
10、x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)樵墧?shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30b
11、a01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :(2) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnx
12、na(收斂半徑不變收斂半徑不變)(3) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即(2) 0) )(nnxx
13、xsx 11兩邊積分兩邊積分 01nnnx解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1 , 1 , 時級數(shù)時級數(shù)且且1 x,1)(0 nnnxxs設(shè)設(shè)收斂收斂 , , 011)(nnnxxxs則則dxxxxsx 011)()1ln(x )1 ,0()0,1 x)(xS, )1ln(1xx )(xS而而)0(S, )1ln(1xx ,10 x,1 ) 0( x1x 0n120n2n12n1 )2(1)x(n )1(nx練習(xí)題練習(xí)題解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx
14、 12)1(nnnn故故)21( s . 8 四、小結(jié)四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)分析運(yùn)算性質(zhì)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:思考題思考題 冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后,收斂半徑不變,那冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后,收斂半徑不變,那么它的收斂域是否也不變?么它的收斂域是否也不變?思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間: :1 1、 )2(424222nxxxn;2 2、 nnxnxx125222222;3 3、 122212nnnxn;4 4、)0,0(1 b
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 自卸載重車商業(yè)機(jī)會挖掘與戰(zhàn)略布局策略研究報告
- 避震山地車市場需求與消費(fèi)特點(diǎn)分析
- 計算機(jī)與通信安全類板卡產(chǎn)品市場環(huán)境與對策分析
- 紫外線強(qiáng)度觀測儀器產(chǎn)品市場需求分析報告
- 防爆工具市場洞察報告
- 霧探測儀產(chǎn)品市場需求分析報告
- 線性低密度聚乙烯市場需求與消費(fèi)特點(diǎn)分析
- 鋼結(jié)構(gòu)市場洞察報告
- 高端小型車產(chǎn)品市場環(huán)境與對策分析
- 國藥勵展2024集采5周年回顧一原料藥-制劑一體化業(yè)務(wù)分析及未來展望報告
- 初中數(shù)學(xué)平方根計算題專題訓(xùn)練含答案詳情.doc
- 排球模塊Ⅰ(水平五)教學(xué)計劃
- 中醫(yī)急診學(xué)心衰教案
- 物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)教材電子
- 承接查驗(yàn)協(xié)議書
- 沖壓件常用公式及數(shù)據(jù)表
- 中國簽證邀請函模板
- 警惕‘委托代辦郵政業(yè)務(wù)’之規(guī)定被曲解與濫用
- 完整版高低壓開關(guān)柜投標(biāo)文件技術(shù)標(biāo)
- VTE健康宣傳手冊
- 部編語文五年級上冊習(xí)作:縮寫故事ppt課件
評論
0/150
提交評論