微積分課件：9-4 冪級數(shù)

1、一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)的運算二、冪級數(shù)的運算三、小結(jié)三、小結(jié) 第四節(jié)第四節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)函數(shù)項級數(shù)的一般概念函數(shù)項級數(shù)的一般概念設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù)一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為0 xx 的的冪級數(shù)冪級數(shù). . 的冪級數(shù)的冪級數(shù)稱為稱為時時當(dāng)當(dāng)xxa

2、,0 xn0nn0 2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點點1x適適合合01xx

3、 使使級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時時應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論xo R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域 n nn nn0n0例例1 :1 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a xa x 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例2 :2 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a (x1)a (x1) 在在x3x3處處收收斂斂, ,則則在在x1x1處處( )( )(A)(A)

4、條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定 n nn nn0n0例例3 :3 : 若若冪冪級級數(shù)數(shù)a (x3)a (x3) 在在x5x5處處發(fā)發(fā)散散, ,則則在在x0 x0處處( )( )在在x2x2處處( )( )(A)(A)條條件件收收斂斂;(B);(B)絕絕對對收收斂斂;(C);(C)發(fā)發(fā)散散;(D);(D)斂斂散散性性不不定定如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它

5、它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: : 上述上述正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑., 0 R規(guī)定規(guī)定, R(1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,),RR ,(RR .,RR ),(RR 冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域收斂域是指是指冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間是指開區(qū)間是指開區(qū)間(-R,R)如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?系系數(shù)數(shù)模模比比值值法法 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0

6、nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na, 設(shè)設(shè) nnnaa1lim,則則 (1) 當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxa3.收斂半徑、收斂域及其求法收斂半徑、收斂域及其求法,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0)2( 如如果果, 0 x

7、),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù))|01(0收收斂斂使使知知將將有有點點否否則則由由定定理理 nnnxax. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.系系數(shù)數(shù)模模根根值值法法 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na, 設(shè)設(shè) nnnalim,則則 (1) 當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;例例4 4 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域:解解)1(nnn

8、aa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnxn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ); ;2 2n n n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 nnna limnn lim, , oR ;)()2(1 nnnx 0 0nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂

9、xn nn nn nn n1 12 21 1( (3 3) )( ( 1 1) )( (x x) ) . .2 2n n ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.n nn nn0n0(-1)(-1)(4) (2x3)(4) (2x3)2n12n1 解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應(yīng)應(yīng)用用比比值值判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即

10、x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為原級數(shù)的收斂域為).2, 2( 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算1.1.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30b

11、a01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì): :(2) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnx

12、na(收斂半徑不變收斂半徑不變)(3) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即(2) 0) )(nnxx

13、xsx 11兩邊積分兩邊積分 01nnnx解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1 , 1 , 時級數(shù)時級數(shù)且且1 x,1)(0 nnnxxs設(shè)設(shè)收斂收斂 , , 011)(nnnxxxs則則dxxxxsx 011)()1ln(x )1 ,0()0,1 x)(xS, )1ln(1xx )(xS而而)0(S, )1ln(1xx ,10 x,1 ) 0( x1x 0n120n2n12n1 )2(1)x(n )1(nx練習(xí)題練習(xí)題解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx

14、 12)1(nnnn故故)21( s . 8 四、小結(jié)四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算:分析運算性質(zhì)分析運算性質(zhì)1.函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念:思考題思考題 冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 b