高等數(shù)學(xué)：7-2 數(shù)量積 向量積 混合積

1、1數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積兩向量的向量積兩向量的向量積*向量的混合積向量的混合積小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第二節(jié)第二節(jié)第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)2 cos|sFW cos|baba 實(shí)例實(shí)例啟示啟示兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算,定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積1. 定義定義數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積一物體在常力一物體在常力作用下沿直線從點(diǎn)作用下沿直線從點(diǎn)表示位移表示位移,F1M,2MsF力力所作的功為所作的功為移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的夾角的夾角與與sF結(jié)果是一個(gè)結(jié)果是一個(gè)向

2、量向量的的與與ba數(shù)量積數(shù)量積ba 為為的夾角的夾角與與ba數(shù)量數(shù)量. .3ab cos|baba cos|b cos|a結(jié)論結(jié)論：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. babjaaPr| 重要重要|Prababja bjaPrajbPr(兩向量的數(shù)量積的幾何意義兩向量的數(shù)量積的幾何意義)ajbbPr|數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積|Prbbaajb 4數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為有有：、對(duì)對(duì)非非零零向向量量, ba注注為為銳銳角角 為為鈍鈍角角 關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明關(guān)于數(shù)

3、量積的說(shuō)明：.|2aaa , 0 aa證證“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.(1)(2); 0 ba. 0 ba cos|aa cos|baba .|2a(1)數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積5)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos ,2 .ba )(,ba ,2 , 0cos . 0cos| baba證證0 ba.ba 此時(shí)也稱此時(shí)也稱0,ijkij 、 、 互相正交(2)ab與與正交正交.例例, 0 kj. 0 ik數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積62. 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律（1）交換律：）交換律：abba （2）分配律：）分配律

4、：cbcacba )(（3）若）若 為數(shù)：為數(shù)： ba)( 若若 、 為數(shù)：為數(shù)： )()(ba (可用定義證可用定義證).|)4(2aaa 為為記記aa 0, aa此此外外0 a.2a )( ba )(ba )(ba 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積7 向量的數(shù)量積不滿足消去律向量的數(shù)量積不滿足消去律, 向量的數(shù)量積是否滿足消去律？向量的數(shù)量積是否滿足消去律？, caba 注注. cb 事實(shí)上事實(shí)上, caba . 0)( cba是說(shuō)是說(shuō),垂垂直直與與即即acb . 0 cb未未必必注注.)()(bacbac ? 平行于平行于 的向量的向量cb平行于平行于 的向量的向量0 a即

5、在一般情況下即在一般情況下,數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積8 解解 , 2| , 5| ba若若,3),( ba.32的的模模求求bau 注注:. |3|2|bau 分配分配律律22|32|bau )32()32(baba bbabbaaa33233222 22|912|4bbaa 76293cos|125422 ba76| u 例例 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積9 用向量的數(shù)量積用向量的數(shù)量積,證明恒等式證明恒等式: 即即,平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和和(如圖如圖).證證 2222|2|2|bababa 22

6、|baba )()()()(babababa bbbaaabbbaaa 2222|2|2ba 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積abba ba 10,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kji 0 ikkjji1| kji1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式3. 用坐標(biāo)表示式計(jì)算數(shù)量積用坐標(biāo)表示式計(jì)算數(shù)量積分配律分配律數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積11 cos|baba |cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa

7、兩向量夾角兩向量夾角余弦的坐標(biāo)余弦的坐標(biāo)表示式表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為4. 兩向量的夾角兩向量的夾角 (數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用)數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積 數(shù)量積的物理意義為數(shù)量積的物理意義為F力力 推動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)推動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所作的功所作的功 (即實(shí)例即實(shí)例)WF AB12解解ba )1(2)4()2(111 . 9 cos)2(,21 .43 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積例例),2

8、 , 2, 1(),4, 1 , 1( ba已知已知求求.)3(;)2(;)1(上的投影上的投影在在的夾角的夾角與與bababa 222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 13證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacacb 0 cacbbca )()(由分配律由分配律)數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積例例 證明向量證明向量c與向量與向量垂直垂直.acbbca)()( 014下列命題是否正確下列命題是否正確錯(cuò)錯(cuò),錯(cuò)錯(cuò).對(duì)對(duì).3|)1(aaaa 等式左邊沒(méi)意義等式左邊沒(méi)意義.babaa 2|)()2(222|)( )3(baba 錯(cuò)錯(cuò).22

9、|)()( )4(bababa 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積15實(shí)例實(shí)例1. 定義定義數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積設(shè)設(shè)O為一根杠桿為一根杠桿L的支點(diǎn)的支點(diǎn),有一個(gè)力有一個(gè)力作用于這杠桿上作用于這杠桿上P點(diǎn)處點(diǎn)處., 對(duì)支點(diǎn)對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一的力矩是一向量向量,M它的模為它的模為F力力F力力FM的方向垂直于的方向垂直于OP與與F所決定的平面所決定的平面, 指向符合指向符合右手系右手系.與與OP 的夾角為的夾角為 sin|FOP LQPOF | |MOQF 16定義定義關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：0)1( aa)0si

10、n0( ba)2(/0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、 sin|bac 大小大小“外積外積”.數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積向量向量的的與與ba向量積向量積bac 為為的夾角的夾角與與ba的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系.c,a,b方向方向172. 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律(2) 分配律分配律 cba)(3) 若若 為數(shù)為數(shù) ba)( )(, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )( 或或0 0sin |ba證證ba/ba/;ab (1) 反交換律反交換律0 ba sin|ba;cb

11、ca )( ba ).(ba 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積ba)2(/0 ba)0, 0( ba ba. 018向量的向量積是否滿足消去律向量的向量積是否滿足消去律向量的向量積是否滿足交換律？向量的向量積是否滿足交換律？向量的向量積不滿足消去律向量的向量積不滿足消去律, 向量的向量積不滿足交換律向量的向量積不滿足交換律. 向量積有明顯的物理意義向量積有明顯的物理意義, P 307 例例6. 注注, caba . cb 注注即在一般情況下即在一般情況下, 0 a數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積19,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kaja

12、iazyx )(kbjbibzyx kji 0 kkjjiijik ikj kij jki ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式3. 用坐標(biāo)表示式計(jì)算向量積用坐標(biāo)表示式計(jì)算向量積分配律分配律數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積20 向量積還可用向量積還可用三階行列式表示三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa向量積的幾何意義向量積的幾何意義例例數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積不能同時(shí)為零不能

13、同時(shí)為零,但允許兩個(gè)為零但允許兩個(gè)為零.zyxbbb,|ba 表示以表示以為鄰邊的平行四邊形的面積為鄰邊的平行四邊形的面積.ba和和ba/0 ba0 |ba sin|ba sin|bab 21下列命題是否正確下列命題是否正確錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)bbaababa )()()1(0)()()2( baaba數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積22解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kjikj510 55510|22 c|0ccc kj5152數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積,423kjia kjib2 例例 求與求與都垂直的單位向量都垂直的單位向量.23ABC解解D

14、)3, 4 , 0( AC)0 , 5, 4( AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 225 | AC5)3(422 |21BDS | AC|521225BD 5| BD數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積例例 已知三角形的頂點(diǎn)已知三角形的頂點(diǎn)),2 , 6, 5(),2 , 1, 1( BA),1, 3 , 1( C計(jì)算從頂點(diǎn)計(jì)算從頂點(diǎn)B到邊到邊AC的高的長(zhǎng)度的高的長(zhǎng)度BD.24 求同時(shí)垂直于向量求同時(shí)垂直于向量 和和x軸的軸的 單位向量單位向量.兩種方法兩種方法:法二法二)8 , 6 , 3( a法一法一解解用用向量積向量積. 設(shè)設(shè)x軸為

15、軸為 單位向量為單位向量為 n|nn 222)6(80)6, 8 , 0( 53,54, 0用用數(shù)量積數(shù)量積.即可得即可得. ai . 1| nia )0 , 0 , 1()8 , 6 , 3( )6, 8 , 0( 提示提示用用向量積向量積或或數(shù)量積數(shù)量積.數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積0n0n0n, 0 , 0 0no(,)xyznn n n設(shè), i25分析分析 即即 A、B 、D三點(diǎn)三點(diǎn)共線共線. 希自己再用法希自己再用法(2) 證證,試比較哪種方法簡(jiǎn)單試比較哪種方法簡(jiǎn)單?.三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線、試試證證DBA其方法有兩種其方法有兩種: )5(2ba證證數(shù)量積數(shù)量積 向量積向

16、量積 * *混合積混合積)(8,186,5baCDbaBCbaAB 設(shè)設(shè)用向量證三點(diǎn)共線只要證明用向量證三點(diǎn)共線只要證明ABBD(1) 證證BDAB (2) 證證ABBD 0 用法一用法一AB2BD CDBCABBD26 定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè)kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、三、 *向量的混合積向量的混合積設(shè)已知三個(gè)向量設(shè)已知三個(gè)向量、 ab, c數(shù)量數(shù)量cba )(稱為這個(gè)向量的稱為這個(gè)向量的記為記為.cba混合積混合積,數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積27

17、向量混合積的幾何意義向量混合積的幾何意義關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明：cbacba )(acb )(bac )(三三向向量量a、b、c共共面面 0 cbaabc(1)(2)(3)數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積abcba 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣的一個(gè)是這樣的一個(gè)數(shù)數(shù),它的絕對(duì)值表示它的絕對(duì)值表示cba,以向量以向量為棱的平行六面體的體積為棱的平行六面體的體積.28解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0cba )(cba )(2 2cba 4 例例cba )

18、(acb )(數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積00000已知已知, 2 cba計(jì)算計(jì)算).()()(accbba 29解解61ADACABV AB AC AD數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積),(121212zzyyxx ),(131313zzyyxx ),(141414zzyyxx 由立體幾何知由立體幾何知,四面體的體積等于以向量四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體的體積的六分為棱的平行六面體的體積的六分之一之一.ADACAB,已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)A (x1, y1, z1)B (x2, y2, z2), C (x3, y3, z3), D(x4, y4, z4), 求四面體求四面體例例的體積的體積.3014141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.61A