第二章電磁場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)

1、電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)西安交通大學(xué)西安交通大學(xué) 康永鋒康永鋒 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.2提綱提綱n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n引言引言 電子光學(xué)第二章(Kang) P.3引言引言),(ifrrn運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律n電子光學(xué)的主要研究對(duì)象是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（電子光學(xué)的主要研究對(duì)象是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)- -軌跡軌跡）n當(dāng)我們忽略了帶電粒子之間相互的電磁作用時(shí)，就可以將帶電粒子運(yùn)動(dòng)看作當(dāng)我們忽略了帶電粒子之間相互的電磁作用時(shí)

2、，就可以將帶電粒子運(yùn)動(dòng)看作為為單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。因此可以利用單個(gè)粒子的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，即運(yùn)動(dòng)。因此可以利用單個(gè)粒子的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，即牛頓型運(yùn)動(dòng)牛頓型運(yùn)動(dòng)方方程求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律。曲坐標(biāo)系的拉程求解帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律。曲坐標(biāo)系的拉格朗日方程格朗日方程，以及，以及相對(duì)論效應(yīng)相對(duì)論效應(yīng)。n變分原理（變分原理（哈密頓原理哈密頓原理和和最小作用原理最小作用原理）以及與光線(xiàn)光學(xué)的相似性。）以及與光線(xiàn)光學(xué)的相似性。n波動(dòng)性原理；自由空間以及大尺度外電磁場(chǎng)，不考慮量子力學(xué)；只考慮波動(dòng)性原理；自由空間以及大尺度外電磁場(chǎng)，不考慮量子力學(xué)；只考慮衍射衍射效應(yīng)效應(yīng)。 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.4提綱提綱n

3、引言引言n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程 電子光學(xué)第二章(Kang) P.5牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程),(ifrrn洛侖茲力洛侖茲力n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n加速電位和能量守恒定理加速電位和能量守恒定理n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程 電子光學(xué)第二章(Kang) P.6牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程),(ifrrn洛侖茲力洛侖茲力eEB具有電荷為具有電荷為，運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)速度為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁

4、感應(yīng)強(qiáng)度分別為和和的電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，將受到羅倫茲力的作用，可以表示為的電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，將受到羅倫茲力的作用，可以表示為: :的電子在的電子在BeEeF(2-1) 上式有兩部分，第一部分為電場(chǎng)力，它對(duì)電子做功，即改變電子的能量，產(chǎn)生電上式有兩部分，第一部分為電場(chǎng)力，它對(duì)電子做功，即改變電子的能量，產(chǎn)生電子的加速和減速運(yùn)動(dòng)；子的加速和減速運(yùn)動(dòng)； 第二部分為磁場(chǎng)力，對(duì)電子不做功，它不能改變電子的能量，只改變運(yùn)動(dòng)方向。第二部分為磁場(chǎng)力，對(duì)電子不做功，它不能改變電子的能量，只改變運(yùn)動(dòng)方向。利用該式可以描述電子的運(yùn)動(dòng)。利用該式可以描述電子的運(yùn)動(dòng)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.7牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程),

5、(ifrrn牛頓方程牛頓方程電子的動(dòng)量滿(mǎn)足牛頓方程：電子的動(dòng)量滿(mǎn)足牛頓方程：(2-2) 非相對(duì)論情形（電子速度遠(yuǎn)小于光速）非相對(duì)論情形（電子速度遠(yuǎn)小于光速）BeEedtpdBeEedtdmdtpd0高能粒子高能粒子201mpcBeEemdtd)1(20 電子光學(xué)第二章(Kang) P.8牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程),(ifrrn加速電位和能量守恒定理加速電位和能量守恒定理 由于磁力是不做功的，考慮帶電粒子能量的變化僅僅由電場(chǎng)決定，用速度點(diǎn)由于磁力是不做功的，考慮帶電粒子能量的變化僅僅由電場(chǎng)決定，用速度點(diǎn)乘牛頓方程的兩端右端項(xiàng)的第二項(xiàng)磁場(chǎng)項(xiàng)等于零，可以得到方程：乘牛頓方程的兩端右端項(xiàng)的第二項(xiàng)磁場(chǎng)項(xiàng)

6、等于零，可以得到方程：(2-3) 等式左邊變換為：等式左邊變換為：Eemdtd)1(202202200022 3 22 3 22211()(1)()(1)2(1)11dvdvmvmm cdvddtdtmcdtdt等式右邊變換為等式右邊變換為()dru dxu dyu dzdUeEe Ueedtx dty dtz dtdt 電子光學(xué)第二章(Kang) P.9牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n加速電位和能量守恒定理加速電位和能量守恒定理 能量守恒能量守恒(2-4) 令粒子速度為零時(shí)，電位為零。定義令粒子速度為零時(shí)，電位為零。定義加速電位加速電位 U U* *動(dòng)能、勢(shì)能和靜止能量守恒；粒子在任一點(diǎn)動(dòng)能完全由

7、加速電位決定。動(dòng)能、勢(shì)能和靜止能量守恒；粒子在任一點(diǎn)動(dòng)能完全由加速電位決定。粒子的運(yùn)動(dòng)速度粒子的運(yùn)動(dòng)速度0)1(220eUcmdtd220*021m ceUm c0202(1) 122eUUmeUm c 電子光學(xué)第二章(Kang) P.10牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程)()21(200eUdtdmdtddtdm左端項(xiàng)右端項(xiàng)n加速電位和能量守恒定理加速電位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速） 同理，用速度點(diǎn)積牛頓方程兩端，可得：同理，用速度點(diǎn)積牛頓方程兩端，可得：可得可得0)21(20eUmdtd 電子光學(xué)第二章(Kang) P.11牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n加速電位和能量守恒定理加速電

8、位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速）(2-4) 22000011()()22mme UU 說(shuō)明，帶電粒子的能量為恒定值，即動(dòng)能與位能的和等于常數(shù)。因此可以建說(shuō)明，帶電粒子的能量為恒定值，即動(dòng)能與位能的和等于常數(shù)。因此可以建立電子運(yùn)動(dòng)速度與電位之間的關(guān)系。立電子運(yùn)動(dòng)速度與電位之間的關(guān)系。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.12牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n加速電位和能量守恒定理加速電位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速）(2-5) 引入加速電位引入加速電位U U* *上式表示了在低速情況下，加速電位與電子速度之間的關(guān)系，其中電位表示上式表示了在低速情況下，加速電位與電子速度之

9、間的關(guān)系，其中電位表示的是規(guī)范化電位，即考慮電子動(dòng)能為零作為參考點(diǎn)。的是規(guī)范化電位，即考慮電子動(dòng)能為零作為參考點(diǎn)。用它可以計(jì)算電子光學(xué)儀器的電子能量。在高速情況下，需考慮相對(duì)論。用它可以計(jì)算電子光學(xué)儀器的電子能量。在高速情況下，需考慮相對(duì)論。Ume02 電子光學(xué)第二章(Kang) P.13牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程的直角坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程為：運(yùn)動(dòng)方程的直角坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程為：)(0yzxBzByeeExm )(0zxyBxBzeeEym )(0 xyzByBxeeEzm 電子光學(xué)第

10、二章(Kang) P.14牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程的圓柱坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程可有直角坐標(biāo)變換而來(lái)；運(yùn)動(dòng)方程的圓柱坐標(biāo)形式的三個(gè)分量方程可有直角坐標(biāo)變換而來(lái)；利用坐標(biāo)變換，可建立直角坐標(biāo)利用坐標(biāo)變換，可建立直角坐標(biāo)x和和y與圓柱坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)r和和之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為：cosrx sinry 上面的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間求微分有：上面的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間求微分有： cossinsin2cos2 rrrrxsincoscos2sin2 rrrry 電子光學(xué)第二章(Kang) P.15牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方

11、程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程coscossincos00ymxmFFFyxr cossincossin00ymxmFFFyx zF將而將而r方向的力表示為方向的力表示為x和和y方向的力的投影，可以得到分量形式方向的力的投影，可以得到分量形式：不變 )()cos(sin)cos(sin)sinsincossincos2sin()coscossincossin2cos(2022222022202220 rrmrrmrrrrmrrrrmFr 電子光學(xué)第二章(Kang) P.16牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及

12、一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程將而將而r方向的力表示為方向的力表示為x和和y方向的力的投影，可以得到分量形式方向的力的投影，可以得到分量形式：cossincossin00ymxmFFFyx )()2()sin(cos)sin(cos2)cossincoscos2cossin()sincossinsin2sincos(cos)sincoscos2sin(sin)cossinsin2cos(cossincossin2002222022202220202000 rdtdrmrrmrrmrrrrmrrrrmrrrrmrrrrmymxmFFFyx 電子光學(xué)第二章(

13、Kang) P.17牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程)(20 rrmFr)()2(200 rdtdrmrrmFzmFz 0將將x和和y的微分形式用的微分形式用r和和 的微分形式代入，上述方程可以得到圓柱的微分形式代入，上述方程可以得到圓柱坐標(biāo)方程下的牛頓方程：坐標(biāo)方程下的牛頓方程： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.18牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程)()(20BzBreeErrmzr )()(20zrBrBzeeE

14、rdtdrm)(0rzBrBreeEzm 因此，將方程左端向的洛侖茲力項(xiàng)帶入方程中，可得因此，將方程左端向的洛侖茲力項(xiàng)帶入方程中，可得 電子光學(xué)第二章(Kang) P.19牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系以及一般正交坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)方程課本（課本（2.1.15）式給出了任意一般正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的牛頓運(yùn)動(dòng)方程，相當(dāng)復(fù)雜。）式給出了任意一般正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的牛頓運(yùn)動(dòng)方程，相當(dāng)復(fù)雜。 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.20提綱提綱n引言引言n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n最小作用原理最小作用原理n折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)

15、電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n拉格朗日方程拉格朗日方程 電子光學(xué)第二章(Kang) P.21拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程的意義拉格朗日方程的意義n直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程n磁場(chǎng)存在的情形磁場(chǎng)存在的情形n考慮相對(duì)論后的拉格朗日函數(shù)考慮相對(duì)論后的拉格朗日函數(shù)n拉格朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)方程的聯(lián)系拉格朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)方程的聯(lián)系 電子光學(xué)第二章(Kang) P.22拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程的意義拉格朗日方程的意義1.牛頓運(yùn)動(dòng)方程能夠處理給定電磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的全部?jī)?nèi)容。牛頓運(yùn)動(dòng)方程能夠處理給定電磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的全部?jī)?nèi)容。2.但是

16、牛頓運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)用到曲線(xiàn)坐標(biāo)時(shí)，表達(dá)式比較復(fù)雜，而且缺乏直觀意義；但是牛頓運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)用到曲線(xiàn)坐標(biāo)時(shí)，表達(dá)式比較復(fù)雜，而且缺乏直觀意義；3.而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程，利用廣義坐標(biāo)的表達(dá)形式更為直觀，而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程，利用廣義坐標(biāo)的表達(dá)形式更為直觀，物理意義更為清晰。物理意義更為清晰。4.利用廣義坐標(biāo)，把粒子的速度利用廣義坐標(biāo)，把粒子的速度V和勢(shì)函數(shù)和勢(shì)函數(shù)U和和A用廣義坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)q1,q2和和q3及其對(duì)及其對(duì)時(shí)間的時(shí)間的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)表示，則拉格朗日方程將自動(dòng)產(chǎn)生三個(gè)標(biāo)量的運(yùn)動(dòng)方程。表示，則拉格朗日方程將自動(dòng)產(chǎn)生三個(gè)標(biāo)量的運(yùn)動(dòng)方程。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.23拉格朗

17、日方程拉格朗日方程n直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程由于靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)，因此可建立位函數(shù)由于靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)，因此可建立位函數(shù)W與場(chǎng)作用力的關(guān)系式為：與場(chǎng)作用力的關(guān)系式為：xWFxyWFyzWFz可以利用微分的性質(zhì)，將上式中第一式的左端項(xiàng)寫(xiě)成用動(dòng)能形式表示為可以利用微分的性質(zhì)，將上式中第一式的左端項(xiàng)寫(xiě)成用動(dòng)能形式表示為xTdtdzyxmxdtdxmdtdxmFx )(2()(222000可得可得0 xWxTdtd 電子光學(xué)第二章(Kang) P.24拉格朗日方程拉格朗日方程n直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程由于動(dòng)能由于動(dòng)能T只與只與速度速度有關(guān)，位

18、能有關(guān)，位能W只與只與坐標(biāo)坐標(biāo)有關(guān)，根據(jù)偏微分的性質(zhì)，動(dòng)能有關(guān)，根據(jù)偏微分的性質(zhì)，動(dòng)能T對(duì)坐標(biāo)的微分為零，而位能對(duì)坐標(biāo)的微分為零，而位能W對(duì)速度的微分為零，因此用函數(shù)對(duì)速度的微分為零，因此用函數(shù)WTL0dLLdtxx帶入方程中，可以得到上式的等價(jià)方程為：帶入方程中，可以得到上式的等價(jià)方程為：同理對(duì)同理對(duì)y和和z分量可得出類(lèi)似的方程，如果將式中的坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示分量可得出類(lèi)似的方程，如果將式中的坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示0dLLdtqq在分析力學(xué)中已經(jīng)證明，在在分析力學(xué)中已經(jīng)證明，在qi為任意廣義坐標(biāo)時(shí)上式均成立。為任意廣義坐標(biāo)時(shí)上式均成立。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.25拉格朗日方程拉格朗日方

19、程n直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程直角坐標(biāo)系下推演拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)靜電場(chǎng)是位場(chǎng)，因此將位能和動(dòng)能函數(shù)帶入到拉格朗日函數(shù)后，得到靜電靜電場(chǎng)是位場(chǎng)，因此將位能和動(dòng)能函數(shù)帶入到拉格朗日函數(shù)后，得到靜電 場(chǎng)中的拉各朗日函數(shù)場(chǎng)中的拉各朗日函數(shù)eUmL220iq iqLiiqTqLiiLWqq 如果把如果把稱(chēng)為廣義速度，可以稱(chēng)稱(chēng)為廣義速度，可以稱(chēng)為廣義的力，而將為廣義的力，而將稱(chēng)為廣義動(dòng)量，那么稱(chēng)為廣義動(dòng)量，那么稱(chēng)為位場(chǎng)決定的力稱(chēng)為位場(chǎng)決定的力 電子光學(xué)第二章(Kang) P.26拉格朗日方程拉格朗日方程n磁場(chǎng)存在的情形磁場(chǎng)存在的情形n因?yàn)榇艌?chǎng)不是位場(chǎng)，磁場(chǎng)作用力不能用上面的位函數(shù)微分表

20、示力，因?yàn)榇艌?chǎng)不是位場(chǎng)，磁場(chǎng)作用力不能用上面的位函數(shù)微分表示力，n但可以證明存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的廣義力為：但可以證明存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的廣義力為：BUA在電場(chǎng)強(qiáng)度向量為在電場(chǎng)強(qiáng)度向量為及磁感強(qiáng)度為及磁感強(qiáng)度為E定義的電磁場(chǎng)中，可以用定義的電磁場(chǎng)中，可以用電位電位和磁矢位和磁矢位表示為：表示為：tAUEABiiiqMqMdtdQ)( 電子光學(xué)第二章(Kang) P.27拉格朗日方程拉格朗日方程n磁場(chǎng)存在的情形磁場(chǎng)存在的情形)(AtAUeBeEedtPd右端式的前兩項(xiàng)表示電位和磁位引起的電場(chǎng)作用，后一項(xiàng)表示磁位引起的右端式的前兩項(xiàng)表示電位和磁位引起的電場(chǎng)作用，后一項(xiàng)表示磁位引起的磁場(chǎng)作用。磁場(chǎng)作用。牛頓運(yùn)動(dòng)方

21、程可以寫(xiě)為：牛頓運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.28拉格朗日方程拉格朗日方程n磁場(chǎng)存在的情形磁場(chǎng)存在的情形將右端項(xiàng)寫(xiě)成分量式，并化成全微分形式有：將右端項(xiàng)寫(xiě)成分量式，并化成全微分形式有：)()(xAzAz eyAxAyetAexUedtPdzxxyxxdtdAezxAyxAxxAexUexzyx)(其中dtdAtAzzAyyAxxAxxxxx)()(zxAyxAxxAexUezyx)(tAzzAyyAxxAexxxx 電子光學(xué)第二章(Kang) P.29拉格朗日方程拉格朗日方程n磁場(chǎng)存在的情形磁場(chǎng)存在的情形n同理，對(duì)同理，對(duì)y 和和 z分量也存在同樣的方程，因此就有分量也存

22、在同樣的方程，因此就有)()(AedtdAUedtPdAeM令右端項(xiàng)后面的一項(xiàng)為令右端項(xiàng)后面的一項(xiàng)為202mLTWMeUeA修正的拉格朗日函數(shù)為修正的拉格朗日函數(shù)為則拉格朗日方程與牛頓方程一致。則拉格朗日方程與牛頓方程一致。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.30拉格朗日方程拉格朗日方程n考慮相對(duì)論后的拉格朗日函數(shù)考慮相對(duì)論后的拉格朗日函數(shù)n靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)考慮磁場(chǎng)考慮磁場(chǎng)22021vLm ceUc 考慮相對(duì)論修正后，上式第一項(xiàng)并不代表粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能?？紤]相對(duì)論修正后，上式第一項(xiàng)并不代表粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。22021vLm ceUeAc 電子光學(xué)第二章(Kang) P.31拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格

23、朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)方程的聯(lián)系拉格朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)方程的聯(lián)系n從拉格朗日方程出發(fā)，能直接導(dǎo)出第一節(jié)給出的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方從拉格朗日方程出發(fā)，能直接導(dǎo)出第一節(jié)給出的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程。舉個(gè)例子，在球坐標(biāo)系中，靜電場(chǎng)情形拉格朗日函數(shù)程。舉個(gè)例子，在球坐標(biāo)系中，靜電場(chǎng)情形拉格朗日函數(shù)從拉格朗日方程就可以直接寫(xiě)出球坐標(biāo)系中牛頓運(yùn)動(dòng)方程，見(jiàn)課本（從拉格朗日方程就可以直接寫(xiě)出球坐標(biāo)系中牛頓運(yùn)動(dòng)方程，見(jiàn)課本（2.2.14）2222220(sin)2mLrrreUeA 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.32提綱提綱n引言引言n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n折射率與軌跡方程折

24、射率與軌跡方程n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n最小作用原理最小作用原理 電子光學(xué)第二章(Kang) P.33最小作用原理最小作用原理n變分原理簡(jiǎn)述變分原理簡(jiǎn)述n泛函泛函n歐拉方程歐拉方程n哈密頓原理哈密頓原理n最小作用原理最小作用原理n軌跡相似性原理軌跡相似性原理 電子光學(xué)第二章(Kang) P.34最小作用原理最小作用原理n變分原理簡(jiǎn)述變分原理簡(jiǎn)述1. 經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，除了用上面介紹的牛頓方程、拉格朗日方程經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，除了用上面介紹的牛頓方程、拉格朗日方程表示外，還可以采用變分原理描述表示外，還可以采用變分原理描述;2. 描述簡(jiǎn)潔，具有高度概括性；描述簡(jiǎn)潔，具

25、有高度概括性；3. 變分原理的應(yīng)用揭示了帶電粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與光線(xiàn)光學(xué)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)似性，在變分原理的應(yīng)用揭示了帶電粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與光線(xiàn)光學(xué)的運(yùn)動(dòng)類(lèi)似性，在此基礎(chǔ)上建立和發(fā)展了電子光學(xué)。此基礎(chǔ)上建立和發(fā)展了電子光學(xué)。 4.所謂變分原理的數(shù)學(xué)問(wèn)題是泛函求極值問(wèn)題。所謂變分原理的數(shù)學(xué)問(wèn)題是泛函求極值問(wèn)題。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.35最小作用原理最小作用原理n泛函泛函)(xfy 我們知道函數(shù)的定義，即，假如一個(gè)連續(xù)變化的函數(shù)表示為：我們知道函數(shù)的定義，即，假如一個(gè)連續(xù)變化的函數(shù)表示為：xyxx)(,(xfxyyx那么那么稱(chēng)為自變量稱(chēng)為自變量是自變量是自變量的函數(shù)，如果一個(gè)的函數(shù)，如果一個(gè)和和 f(

26、x) 的關(guān)系為，的關(guān)系為，成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng)為泛函，為泛函，與與的關(guān)系類(lèi)似于的關(guān)系類(lèi)似于與與的關(guān)系，因此也的關(guān)系，因此也函數(shù)函數(shù)v與與稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)。稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.36最小作用原理最小作用原理)()(xxfyn泛函泛函泛函求極值泛函求極值同函數(shù)一樣，泛函的穩(wěn)定值可以用極值描述，即微分等于同函數(shù)一樣，泛函的穩(wěn)定值可以用極值描述，即微分等于0時(shí)的值。時(shí)的值。發(fā)生一微小變化，即擾動(dòng)時(shí)，發(fā)生一微小變化，即擾動(dòng)時(shí)，如果函數(shù)如果函數(shù)可以表示為可以表示為其中其中 (x) 為任意給定函數(shù)，為任意給定函數(shù)，為數(shù)值參數(shù)。參量為數(shù)值參數(shù)。參量的變換意味著的變換意味著函數(shù)函數(shù)y的

27、連續(xù)變化。當(dāng)?shù)倪B續(xù)變化。當(dāng)=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y值為值為f(x)即即y0。)(xf 電子光學(xué)第二章(Kang) P.37最小作用原理最小作用原理n泛函泛函泛函求極值泛函求極值212( ,)( ,)2x fx f 當(dāng)當(dāng)變化時(shí)，顯然泛函變化時(shí)，顯然泛函v也隨著變化。也隨著變化。01dd2220 dd 11222式中式中因此因此為為的一階微分形式，用的一階微分形式，用表示，稱(chēng)為泛函表示，稱(chēng)為泛函的一階變分，稱(chēng)為泛函的極值，的一階變分，稱(chēng)為泛函的極值，稱(chēng)為二階變分，如此類(lèi)推稱(chēng)為二階變分，如此類(lèi)推。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.38最小作用原理最小作用原理n泛函泛函 在物理問(wèn)題中一個(gè)常用的泛函表

28、示形式是下面的定積分形式的泛函，這個(gè)在物理問(wèn)題中一個(gè)常用的泛函表示形式是下面的定積分形式的泛函，這個(gè)積分形式的泛函極值問(wèn)題，既變分問(wèn)題所描述的是能量問(wèn)題。假設(shè)一個(gè)積分積分形式的泛函極值問(wèn)題，既變分問(wèn)題所描述的是能量問(wèn)題。假設(shè)一個(gè)積分形式的泛函表示為：形式的泛函表示為：式中式中y是是x的連續(xù)函數(shù)，且在該區(qū)間具有一階、二階導(dǎo)數(shù)存在。的連續(xù)函數(shù)，且在該區(qū)間具有一階、二階導(dǎo)數(shù)存在。dxyyxFxx10),()(x現(xiàn)在研究泛函現(xiàn)在研究泛函的極值問(wèn)題，由于當(dāng)存在函數(shù)的極值問(wèn)題，由于當(dāng)存在函數(shù)時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y和一階微分可以分別表示為：和一階微分可以分別表示為：)()(xxfy)()(xxfy 電子光學(xué)第二

29、章(Kang) P.39最小作用原理最小作用原理n泛函泛函因此，泛函因此，泛函v也是也是的函數(shù)，泛函取極值可以表示為的函數(shù)，泛函取極值可以表示為0)(0dd0，即即y0 xx 0yy 1xx 1yy 0)()(10 xx函數(shù)函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)值分別為的兩個(gè)端點(diǎn)值分別為處，處，處，處，應(yīng)有應(yīng)有 電子光學(xué)第二章(Kang) P.40最小作用原理最小作用原理n泛函泛函這時(shí)泛函這時(shí)泛函V的極值可以表示為的極值可以表示為dxyyxFddddxx0100),(0)(010dxdydyFddyyFxx)(0 xddy)(0 xdyd0)(0100dxyFyFddxx根據(jù)端點(diǎn)的初始條件，上式中根據(jù)端點(diǎn)的初始條件，

30、上式中代入方程中，可得：代入方程中，可得： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.41最小作用原理最小作用原理n泛函泛函將上式第二項(xiàng)做分部積分將上式第二項(xiàng)做分部積分101010)(xxxxxxdxyFdxdyFdxyF0)()(01xx0)(10dxyFdxdyFxx將兩個(gè)端點(diǎn)值帶入，由于將兩個(gè)端點(diǎn)值帶入，由于因此上式的第一項(xiàng)為零，極值可以表示為：因此上式的第一項(xiàng)為零，極值可以表示為： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.42最小作用原理最小作用原理n歐拉方程歐拉方程0yFdxdyF對(duì)于任意函數(shù)對(duì)于任意函數(shù) ，上式成立的必要條件是，上式成立的必要條件是該式稱(chēng)為歐拉方程，變分學(xué)的一個(gè)基本方程。泛函極值的必

31、要條件該式稱(chēng)為歐拉方程，變分學(xué)的一個(gè)基本方程。泛函極值的必要條件是積分函數(shù)要滿(mǎn)足歐拉方程，即歐拉方程成立，也就是說(shuō)，上述是積分函數(shù)要滿(mǎn)足歐拉方程，即歐拉方程成立，也就是說(shuō)，上述定積分泛函的極值問(wèn)題等價(jià)于歐拉方程。定積分泛函的極值問(wèn)題等價(jià)于歐拉方程。對(duì)于一個(gè)多變量泛函，可以用多個(gè)歐拉方程分量表示，而歐拉方程對(duì)于一個(gè)多變量泛函，可以用多個(gè)歐拉方程分量表示，而歐拉方程等價(jià)于牛頓運(yùn)動(dòng)方程，即變分問(wèn)題與牛頓運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的。等價(jià)于牛頓運(yùn)動(dòng)方程，即變分問(wèn)題與牛頓運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的。)(x 電子光學(xué)第二章(Kang) P.43最小作用原理最小作用原理n哈密頓原理哈密頓原理將積分函數(shù)將積分函數(shù)F換成拉格朗日函數(shù)

32、，對(duì)應(yīng)的變分問(wèn)題為：換成拉格朗日函數(shù)，對(duì)應(yīng)的變分問(wèn)題為：1012312301123( , , , , , , )0, , ,ttL t q q q q q q dttt ttq q q 當(dāng)時(shí)取固定值對(duì)應(yīng)的歐拉方程為：對(duì)應(yīng)的歐拉方程為：112233000dFFdtqqdFFdtqqdFFdtqq 電子光學(xué)第二章(Kang) P.44最小作用原理最小作用原理n哈密頓原理哈密頓原理n將拉格朗日函數(shù)帶入到變分式中，即得到電磁場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的哈密頓原理：將拉格朗日函數(shù)帶入到變分式中，即得到電磁場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的哈密頓原理：0)2(1020dtAeeUmttn顯然哈密頓原理中的積分函數(shù)是顯然哈密頓原理中的積分函

33、數(shù)是能量能量形式，滿(mǎn)足哈密頓原理，表示在各種運(yùn)動(dòng)形式，滿(mǎn)足哈密頓原理，表示在各種運(yùn)動(dòng)形式中，應(yīng)滿(mǎn)足能量最小。形式中，應(yīng)滿(mǎn)足能量最小。n哈密頓原理中的積分變量為哈密頓原理中的積分變量為時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)，它表示粒子運(yùn)動(dòng)與時(shí)間坐標(biāo)的關(guān)系，因，它表示粒子運(yùn)動(dòng)與時(shí)間坐標(biāo)的關(guān)系，因此它對(duì)應(yīng)的是運(yùn)動(dòng)方程，而對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律研究，我們更感興趣的是粒子運(yùn)此它對(duì)應(yīng)的是運(yùn)動(dòng)方程，而對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律研究，我們更感興趣的是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，因此希望泛函積分中的時(shí)間坐標(biāo)換為空間的坐標(biāo)。動(dòng)的軌跡，因此希望泛函積分中的時(shí)間坐標(biāo)換為空間的坐標(biāo)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.45最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原

34、理n根據(jù)哈密頓原理，帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以用下式表示：根據(jù)哈密頓原理，帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以用下式表示：21ttLdt式中式中LTUM為拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù) iiLpqiiieApP可以定義廣義動(dòng)量可以定義廣義動(dòng)量P為為(分量分量pi,i=1,2,3)因此，廣義動(dòng)量因此，廣義動(dòng)量P也可以表示為也可以表示為 電子光學(xué)第二章(Kang) P.46最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原理r20prmeAeUrmLrpW2210)(10dtLrptt用速度矢量用速度矢量總能量為總能量為點(diǎn)乘上式兩邊，可以得到點(diǎn)乘上式兩邊，可以得到常數(shù)常數(shù)因此，由于上式等于常數(shù)，滿(mǎn)足變分為零的

35、條件，即可以表示為：因此，由于上式等于常數(shù)，滿(mǎn)足變分為零的條件，即可以表示為： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.47最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原理01010ttttLdtdtrp010ttLdtrdtds010010ppttdsspdtrp10000()0 p=m v= -2em U*pppeA sds而第一式而第一式此式表示此式表示最小作用原理最小作用原理?？梢詫?xiě)成兩個(gè)變分的和可以寫(xiě)成兩個(gè)變分的和而第二式由哈密頓原理可知，為零而第二式由哈密頓原理可知，為零，因此，上式可以寫(xiě)為，因此，上式可以寫(xiě)為將廣義動(dòng)量帶入將廣義動(dòng)量帶入 電子光學(xué)第二章(Kang) P.48最小作用原理

36、最小作用原理n最小作用原理最小作用原理最小作用原理中的被積函數(shù)為動(dòng)量，積分元是弧長(zhǎng)。即，最小作用原理是將哈密頓最小作用原理中的被積函數(shù)為動(dòng)量，積分元是弧長(zhǎng)。即，最小作用原理是將哈密頓原理的一個(gè)能量對(duì)時(shí)間的積分求極值問(wèn)題，變換成一個(gè)動(dòng)量對(duì)弧長(zhǎng)積分的求極值原理的一個(gè)能量對(duì)時(shí)間的積分求極值問(wèn)題，變換成一個(gè)動(dòng)量對(duì)弧長(zhǎng)積分的求極值問(wèn)題，是完全等價(jià)的。問(wèn)題，是完全等價(jià)的。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.49最小作用原理最小作用原理n軌跡的相似性原理軌跡的相似性原理已知帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，可以用最小作用原理表示，將被積函數(shù)用已知帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，可以用最小作用原理表示，將被積函數(shù)用廣義動(dòng)量表示，

37、最小作用原理可以表示為：廣義動(dòng)量表示，最小作用原理可以表示為：0)2(1000ppdsseAUem100ppU ds當(dāng)只有電場(chǎng)時(shí)，上式可以簡(jiǎn)化為當(dāng)只有電場(chǎng)時(shí)，上式可以簡(jiǎn)化為由于最小作用原理與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的，因此，可以利用由于最小作用原理與帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的，因此，可以利用最小作用原理的形式討論帶電粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和具有的性質(zhì)：最小作用原理的形式討論帶電粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和具有的性質(zhì)： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.50最小作用原理最小作用原理n軌跡的相似性原理軌跡的相似性原理0(10ppdsUme0)2(1000ppdsseAUemme1.軌跡與荷質(zhì)比的關(guān)系軌跡與荷質(zhì)比的關(guān)系在

38、不存在磁場(chǎng)的電場(chǎng)中，被積函數(shù)不含粒子質(zhì)量和電荷，即在不存在磁場(chǎng)的電場(chǎng)中，被積函數(shù)不含粒子質(zhì)量和電荷，即可以看出，對(duì)于不同類(lèi)型的帶電粒子，上式不變，即軌跡相同，也就是說(shuō)，可以看出，對(duì)于不同類(lèi)型的帶電粒子，上式不變，即軌跡相同，也就是說(shuō)，不管粒子的質(zhì)量和電荷的大小，軌跡是一樣的，即，帶電粒子在靜電場(chǎng)中不管粒子的質(zhì)量和電荷的大小，軌跡是一樣的，即，帶電粒子在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子的荷質(zhì)比運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子的荷質(zhì)比 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。但有磁場(chǎng)時(shí)，最小作用原理表示為：但有磁場(chǎng)時(shí)，最小作用原理表示為：可以看出軌跡與荷質(zhì)比可以看出軌跡與荷質(zhì)比有關(guān)，荷質(zhì)比越大，磁場(chǎng)的作用越強(qiáng)。有關(guān)，荷質(zhì)比越大，磁場(chǎng)的作用越強(qiáng)。 電子光

39、學(xué)第二章(Kang) P.51最小作用原理最小作用原理n軌跡的相似性原理軌跡的相似性原理2.軌跡與電磁場(chǎng)大小成比例變化無(wú)關(guān)軌跡與電磁場(chǎng)大小成比例變化無(wú)關(guān) 當(dāng)僅存在當(dāng)僅存在電場(chǎng)電場(chǎng)時(shí)，將最小作用原理的被積函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)，不影響變分時(shí)，將最小作用原理的被積函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)，不影響變分為為0條件的成立，說(shuō)明，當(dāng)電場(chǎng)增大或減小條件的成立，說(shuō)明，當(dāng)電場(chǎng)增大或減小K倍時(shí)，被積函數(shù)不變，即軌跡不變。倍時(shí)，被積函數(shù)不變，即軌跡不變。 當(dāng)有當(dāng)有磁場(chǎng)磁場(chǎng)時(shí)，將式寫(xiě)成如下形式：時(shí)，將式寫(xiě)成如下形式： 0)21 (1000ppdssAUmeK可以看出，電場(chǎng)變化可以看出，電場(chǎng)變化K倍，磁場(chǎng)需要變化倍，磁場(chǎng)需要變化倍，

40、可以使軌跡保持不變倍，可以使軌跡保持不變。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.52最小作用原理最小作用原理n軌跡的相似性原理軌跡的相似性原理3.幾何尺寸變化，軌跡形狀不變，幾何尺寸變化，軌跡形狀不變，當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相對(duì)分布不變，只是幾何尺寸變化時(shí)，可以表示為：當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相對(duì)分布不變，只是幾何尺寸變化時(shí)，可以表示為：軌跡與電磁場(chǎng)大小成比例變化無(wú)關(guān)軌跡與電磁場(chǎng)大小成比例變化無(wú)關(guān)),(zyxU),(zyxA),(KzKyKxU),(KzKyKxA xKx yKy zKz dsKds0)2(1000ppdsseAUem，變換為變換為如果令坐標(biāo)變量為如果令坐標(biāo)變量為，那么，微分弧元那么，微分弧元，代入

41、變分中，有，代入變分中，有成立，可以說(shuō)明尺寸變化同樣倍數(shù)，但分布不變時(shí)，軌跡形狀不變。成立，可以說(shuō)明尺寸變化同樣倍數(shù)，但分布不變時(shí)，軌跡形狀不變。 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.53提綱提綱n引言引言n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程 電子光學(xué)第二章(Kang) P.54折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率上節(jié)證明了最小作用原理與運(yùn)動(dòng)方程的等價(jià)性，即可以采用最小作用原理描述上節(jié)證明了最小作用原理與運(yùn)動(dòng)方程的等價(jià)性，即可以采用最小作用原理描述一個(gè)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

42、一個(gè)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。本節(jié)證明，描述力學(xué)問(wèn)題中帶電粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題最小作用原理形式相似于光線(xiàn)光學(xué)本節(jié)證明，描述力學(xué)問(wèn)題中帶電粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題最小作用原理形式相似于光線(xiàn)光學(xué)中的費(fèi)馬原理，從而將帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)形式與光線(xiàn)光學(xué)軌跡的表現(xiàn)形式中的費(fèi)馬原理，從而將帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)形式與光線(xiàn)光學(xué)軌跡的表現(xiàn)形式統(tǒng)一起來(lái)。統(tǒng)一起來(lái)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.55折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率12211sinsinnn121n2n和和分別為入射角和反射角，分別為入射角和反射角，為折射角，為折射角，和和已知光線(xiàn)光學(xué)的基礎(chǔ)是折射和反射定律：已知光線(xiàn)光學(xué)的基礎(chǔ)是折射和反射定律：其中其中分別為

43、兩個(gè)介質(zhì)的折射率，可以證明沿折射分別為兩個(gè)介質(zhì)的折射率，可以證明沿折射-反射定律的實(shí)際光線(xiàn)反射定律的實(shí)際光線(xiàn)路程，光的傳播時(shí)間最短；路程，光的傳播時(shí)間最短； 電子光學(xué)第二章(Kang) P.56折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率)(2011210OPOPcnOPOP12ncOPcnOPcnOPOP12012110和和為兩種媒質(zhì)中傳播的相速度，為兩種媒質(zhì)中傳播的相速度，光反射情況下：光反射情況下：折射光程所需時(shí)間：折射光程所需時(shí)間： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.57折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率n可以說(shuō)明，入射光程和反射光程為最短直線(xiàn)距離，所需時(shí)間最短，即光的可以

44、說(shuō)明，入射光程和反射光程為最短直線(xiàn)距離，所需時(shí)間最短，即光的傳播時(shí)間為最短距離所需時(shí)間，右邊等于最短距離比相速，既時(shí)間；左邊傳播時(shí)間為最短距離所需時(shí)間，右邊等于最短距離比相速，既時(shí)間；左邊為每段光線(xiàn)的時(shí)間為每段光線(xiàn)的時(shí)間n一般情況下由下式表示：一般情況下由下式表示：iiilcn最小 電子光學(xué)第二章(Kang) P.58折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率10PPnds100PPnds用積分表示為用積分表示為最小，即最小，即此式為費(fèi)馬原理，此式中的折射率表示為連續(xù)變化的函數(shù)。此式為費(fèi)馬原理，此式中的折射率表示為連續(xù)變化的函數(shù)。該式與電子光學(xué)中最小作用原理一致，因此可以用光學(xué)傳播的概該式

45、與電子光學(xué)中最小作用原理一致，因此可以用光學(xué)傳播的概念來(lái)描述帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律念來(lái)描述帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律這是電子光學(xué)建立的理論基礎(chǔ)。這是電子光學(xué)建立的理論基礎(chǔ)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.59折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n折射率折射率002seAUemnr20*(1*)2reUUUm cUn 2211sinsin2211sinsinUU通過(guò)類(lèi)比的方法得到電子光學(xué)的折射率為通過(guò)類(lèi)比的方法得到電子光學(xué)的折射率為其中其中低速靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，折射率表示可以簡(jiǎn)化為低速靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，折射率表示可以簡(jiǎn)化為電子光學(xué)折射定律為電子光學(xué)折射定律為 電子光學(xué)第二章(Kang) P.60折射率與軌跡方程折

46、射率與軌跡方程n折射率折射率但電子光學(xué)中建立類(lèi)似的棱鏡是困難的，因?yàn)?，棱鏡需要電子透明且電位要有但電子光學(xué)中建立類(lèi)似的棱鏡是困難的，因?yàn)?，棱鏡需要電子透明且電位要有突變界面，而制作突變界面工藝上是困難的，因此建立對(duì)電子透明的、電位突突變界面，而制作突變界面工藝上是困難的，因此建立對(duì)電子透明的、電位突變的電子棱鏡將是非常有意義的研究方向。變的電子棱鏡將是非常有意義的研究方向。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.61折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n軌跡方程軌跡方程利用折射率，從最小作用原理可以直接得到粒子軌跡方程利用折射率，從最小作用原理可以直接得到粒子軌跡方程0),( dsqqnii0iiqnq

47、ndsdi從最小作用原理或費(fèi)馬原理得到從最小作用原理或費(fèi)馬原理得到等價(jià)的歐拉方程為：等價(jià)的歐拉方程為：1，2，3 電子光學(xué)第二章(Kang) P.62折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n軌跡方程軌跡方程其中其中iqdzyxds2211010221zzzzdzdzyxndsn0 xxdzd0yydzd表示對(duì)弧長(zhǎng)求導(dǎo)函數(shù)，如果將表示對(duì)弧長(zhǎng)求導(dǎo)函數(shù)，如果將z坐標(biāo)作為自變量，將坐標(biāo)作為自變量，將代入方程中可得到代入方程中可得到對(duì)應(yīng)的歐拉方程為對(duì)應(yīng)的歐拉方程為 電子光學(xué)第二章(Kang) P.63折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n軌跡方程軌跡方程折射率為折射率為2201)2(yxsAUdsdzAdsdyA

48、dsdxAsAzyx0221yxdzds其中，其中， 電子光學(xué)第二章(Kang) P.64折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n軌跡方程軌跡方程22( 2(1)()xyzdxdydz dsUxyAAAdsdsds dz)()1 (222zyxAyAxAyxU1222xAxyxUdzdxdzd)()1 (222xAxAyxAxxUyxUxzyx展開(kāi)后折射率展開(kāi)后折射率帶入歐拉方程得到軌跡方程為：帶入歐拉方程得到軌跡方程為： 電子光學(xué)第二章(Kang) P.64折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n軌跡方程軌跡方程)()1 (222xAxAyxAxxUyxUzyx222=1xdUxAdzxy)()1 (2

49、22yAyAyyAxyUyxUzyx222=1ydUyAdzxy另一個(gè)分量方程為： 電子光學(xué) 第二章 (Kang) P.65提綱提綱n引言引言n牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率與軌跡方程折射率與軌跡方程n電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì) 電子光學(xué)第二章(Kang) P.67電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性n圓孔夫瑯和費(fèi)衍射圓孔夫瑯和費(fèi)衍射 電子光學(xué)第二章(Kang) P.68電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性n前面討論的電子光學(xué)原理，基于帶電粒子的粒子性，采用的質(zhì)點(diǎn)

50、動(dòng)力學(xué)方法前面討論的電子光學(xué)原理，基于帶電粒子的粒子性，采用的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方法描述帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。描述帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。n如同幾何光學(xué)一樣，在電子光學(xué)中存在著幾何像差，但幾何像差不能解釋電如同幾何光學(xué)一樣，在電子光學(xué)中存在著幾何像差，但幾何像差不能解釋電子光學(xué)儀器的局限分辨率，這是由于電子除了與線(xiàn)形光學(xué)一樣的折射、反射子光學(xué)儀器的局限分辨率，這是由于電子除了與線(xiàn)形光學(xué)一樣的折射、反射規(guī)律外，它同樣具備干涉、衍射、偏正等現(xiàn)象，即具有另一個(gè)重要的性質(zhì)規(guī)律外，它同樣具備干涉、衍射、偏正等現(xiàn)象，即具有另一個(gè)重要的性質(zhì)波動(dòng)波動(dòng)現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.69電子

51、運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性n目前，高分辨電子光學(xué)系統(tǒng)分辨率已經(jīng)達(dá)到原子尺度，但是由于電子透鏡的球目前，高分辨電子光學(xué)系統(tǒng)分辨率已經(jīng)達(dá)到原子尺度，但是由于電子透鏡的球差不能克服，使用的光闌孔徑非常小，所以衍射效應(yīng)是影響系統(tǒng)分辨率的首要因素差不能克服，使用的光闌孔徑非常小，所以衍射效應(yīng)是影響系統(tǒng)分辨率的首要因素之一。之一。n研究高分辨電子像的形成和電子光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)問(wèn)題、電子離子與物質(zhì)的研究高分辨電子像的形成和電子光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)問(wèn)題、電子離子與物質(zhì)的散射作用及其與物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，利用衍射圖樣研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)以及電子全息散射作用及其與物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，利

52、用衍射圖樣研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)以及電子全息 技術(shù)等問(wèn)題，都要把電子離子運(yùn)動(dòng)作為波動(dòng)過(guò)程處理。技術(shù)等問(wèn)題，都要把電子離子運(yùn)動(dòng)作為波動(dòng)過(guò)程處理。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.70電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性研究帶電粒子的波動(dòng)性，基礎(chǔ)自然是量子力學(xué)。但是對(duì)于粒子在自由空間的運(yùn)動(dòng)研究帶電粒子的波動(dòng)性，基礎(chǔ)自然是量子力學(xué)。但是對(duì)于粒子在自由空間的運(yùn)動(dòng)可以類(lèi)似與波動(dòng)光學(xué)，用惠根斯可以類(lèi)似與波動(dòng)光學(xué)，用惠根斯-菲涅爾原理處理。菲涅爾原理處理。自由電子和離子運(yùn)動(dòng)，可以視為德布羅意波，其動(dòng)量、能量和波動(dòng)參量的關(guān)系為：自由電子和離子運(yùn)動(dòng)，可以視為德布羅意波，其動(dòng)量、能量和波動(dòng)

53、參量的關(guān)系為：Eh hpk式中式中 h為普朗克常量，為普朗克常量，。為波動(dòng)頻率。為波動(dòng)頻率。=2為角頻率。為角頻率。2h為波長(zhǎng)，為波長(zhǎng)，k =2/,波數(shù)。波數(shù)。 電子光學(xué)第二章(Kang) P.71電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波長(zhǎng)為：帶電粒子的波長(zhǎng)為：0hm低速運(yùn)動(dòng)粒子低速運(yùn)動(dòng)粒子2201hvmc相對(duì)論速度運(yùn)動(dòng)粒子相對(duì)論速度運(yùn)動(dòng)粒子考慮到帶電粒子的能量和速度完全由加速電位決定，上式可寫(xiě)為：考慮到帶電粒子的能量和速度完全由加速電位決定，上式可寫(xiě)為：02*hem U低速運(yùn)動(dòng)粒子低速運(yùn)動(dòng)粒子020*/2*(1)2eUhem Um c相對(duì)論速度運(yùn)動(dòng)粒

54、子相對(duì)論速度運(yùn)動(dòng)粒子 電子光學(xué)第二章(Kang) P.72電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n帶電粒子的波動(dòng)性帶電粒子的波動(dòng)性對(duì)于電子，代入各個(gè)常數(shù)，可得對(duì)于電子，代入各個(gè)常數(shù)，可得6r1.225/ nm U(1 0.983*10*)rUU5*10U 0.0037nm伏特時(shí)，波長(zhǎng)伏特時(shí)，波長(zhǎng)由此可見(jiàn)，電子波長(zhǎng)比可見(jiàn)光短幾個(gè)數(shù)量級(jí)，具有更高的分辨率。對(duì)于離子，由此可見(jiàn)，電子波長(zhǎng)比可見(jiàn)光短幾個(gè)數(shù)量級(jí)，具有更高的分辨率。對(duì)于離子，其質(zhì)量比電子重得多，其波長(zhǎng)還要短很多。其質(zhì)量比電子重得多，其波長(zhǎng)還要短很多。舉例：當(dāng)舉例：當(dāng) 電子光學(xué)第二章(Kang) P.73電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n圓

55、孔夫瑯和費(fèi)衍射圓孔夫瑯和費(fèi)衍射當(dāng)平行電子束通過(guò)一個(gè)圓孔光闌時(shí)，在光闌后面的屏幕上，出現(xiàn)明暗交替當(dāng)平行電子束通過(guò)一個(gè)圓孔光闌時(shí)，在光闌后面的屏幕上，出現(xiàn)明暗交替的圓環(huán)條紋，這就是圓孔光闌的夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象。的圓環(huán)條紋，這就是圓孔光闌的夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象。圖圖 2.2 2.2 圓孔衍射圓孔衍射 電子光學(xué)第二章(Kang) P.74電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)電子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)性質(zhì)n圓孔夫瑯和費(fèi)衍射圓孔夫瑯和費(fèi)衍射在自由空間，可不用解薛定諤方程，而近似的利用惠根斯在自由空間，可不用解薛定諤方程，而近似的利用惠根斯-菲涅爾原理。菲涅爾原理。 根據(jù)惠更斯假說(shuō)，波陣面上的每一個(gè)點(diǎn)均可看成產(chǎn)生球面子波的次級(jí)根據(jù)惠更斯假說(shuō)，波陣面上的每一個(gè)點(diǎn)均可看成產(chǎn)生球面子波的次級(jí)波源，以后任何時(shí)刻的波陣面都是由這些子波所形成的包絡(luò)。波源，以后任何時(shí)刻的波陣面都是由這些子波所形成的包絡(luò)。 菲涅爾補(bǔ)充道：假定這些次級(jí)波相互干涉，說(shuō)明了衍射現(xiàn)象。菲涅爾補(bǔ)充道：假定這些