第七章保險的數(shù)理基礎

1、第七章 保險的數(shù)理基礎第一節(jié) 保險費率的厘定原則第二節(jié) 人身保險費率的厘定第三節(jié) 財產(chǎn)保險的費率厘定 教學目的及要求通過本章的學習，要求學生了解保險費率厘定的方法；理解保險費率厘定的原則；掌握保險費及保險費率的概念。 教學重點及難點單利、復利、現(xiàn)值、終值、生命表、財產(chǎn)險純保費率等的計算。附一：隨機事件和概率 一、隨機現(xiàn)象和隨機事件 隨機現(xiàn)象是在一定條件下，某一實驗結(jié)果或觀察結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，可能這樣發(fā)生，也可能那樣發(fā)生。 在實驗或觀察中，我們關心某個結(jié)果是否出現(xiàn)，這個結(jié)果被稱為隨機事件。二、概率 隨機事件發(fā)生的可能性的大小，稱之為隨機事件的概率。 確定性法則。確定性可以用1表示。 簡

2、單概率。一個事件將會發(fā)生或不會發(fā)生的概率可以用一個分數(shù)表示，取值范圍從0到1。 復合概率。兩個相互獨立的事件將會同時發(fā)生的概率是事件將會分別發(fā)生的單個概率的乘積，即21pp 若事件不是相互獨立的，即兩項非獨立事件的復合，其概率等于其中一個事件發(fā)生的概率，乘以該事件發(fā)生后，另一事件發(fā)生的條件概率。 如兩所房屋，每一所房屋發(fā)生火災的概率為1/50。在相互獨立的條件下，兩所房屋均發(fā)生火災的概率為1/2500，在非獨立條件下，若一所房屋發(fā)生火災，另一所也會發(fā)生火災的概率上升為1/2，則該所房屋發(fā)生火災后引起另一所房屋也發(fā)生火災的概率為1/100 互不相容事件 不可能同時發(fā)生的事件稱為互不相容事件。兩兩

3、互不相容事件中，任何一件事情發(fā)生的概率等于各件事情分別發(fā)生的概率總和。 在任何一年，死亡概率加上生存概率等于1，因為一個人不是在該時期內(nèi)生存，就是在該時期內(nèi)死亡。附二：概率分布與期望損失 一、概率分布 用來描述各種結(jié)果及其對應概率的。 在保險經(jīng)營中，由于變量一般都取有限個值，故概率分布可通過基本上互不相容的事件及其對應的概率，按順序排列起來，用表或圖說明。二、數(shù)學期望與損失期望值 一個隨機變量的數(shù)學期望值是它所能取到的各個數(shù)值與其概率乘積之和。 在保險經(jīng)營中，常常會涉及到損失期望值概率。損失期望值即損失的不確定性數(shù)額與損失概率的乘積總和。nnXPXPXPXPXE332211第一節(jié) 保險費率的厘

4、定原則 一、保險費與保險費率 二、保險費率厘定的基本原則一、保險費與保險費率（Premium and Premium Rate） 1.保險費，簡稱保費，投保人為獲得經(jīng)濟保障而繳納給保險人的費用。 投保人繳納的保險費一般稱為毛保費，它可以分解為純保費和附加保費兩部分。 其中，純保費是保險人用來建立保險基金，將來用于賠償或給付的那部分保費，也稱為凈保費；附加費主要用于保險人的各項業(yè)務開支和預期利潤，包括職工工資、業(yè)務費、企業(yè)管理費、代理手續(xù)費、稅金、利潤等。一、保險費與保險費率 2.保險費率，保險費與保險金額的比例，是每一單位保險金額的保險費的計收標準，又稱保險價格。通常以每百元、每千元保險金額應

5、繳的保險費表示（、） 保險費率與保險費之間存在以下關系： 保險費保險金額保險費率， 保險費率保險費/保險金額 與保險費的分解相對應，保險費率也有純費率和附加費率之分。保險費率純費率附加費率二、保險費率厘定的基本原則公平合理原則 指保險費率在保險人與投保人之間及各投保人之間要體現(xiàn)公平合理的原則。保險人與投保人之間的公平合理，一方面表現(xiàn)為必須貫徹補償原則，另一方面強調(diào)保險費率不能偏高。各投保人之間的公平合理，是指保險人向投保人收取的保險費，應與保險標的所面臨的危險程度相適應。 2.充分原則 收取的保費在支付賠款及合理的營業(yè)費用、稅收后，仍有一部分利潤。 確保保險人的償付能力。3.相對穩(wěn)定原則 在一

6、定時期內(nèi)應保持保險費率的穩(wěn)定。 保險費率的相對穩(wěn)定性對保險雙方都有好處。 從被保險人的角度來看，如果費率經(jīng)常波動，會誘發(fā)投保人的投機心理，也會使投保人難以確定保費預算，增加對保險公司的反感，導致保險公司業(yè)務量的減少。 從保險人的角度來看，穩(wěn)定的費率有利于穩(wěn)定成本核算和業(yè)務經(jīng)營。 當然，費率的穩(wěn)定也是相對的,應當根據(jù)實際情況加以調(diào)整。4.促進防災防損原則 保險費率的厘定要能促進防災防損，減少危險事故。 一方面要鼓勵和引導被保險人從事預防損失的活動。另一方面，保險公司也應積極從事防災防損活動，其所需經(jīng)費，在厘定費率時也應予以考慮。應用1 設某一地區(qū)有1000棟住房，每棟住房的價值為100 000元

7、。根據(jù)以往的資料知道，每年火災發(fā)生的頻率為每年0.1%，且為全損，若保險公司提出，如果每棟住房的房主每年繳納110元保費，則由保險公司承擔全部風險損失。分析 保險公司所收保費額=1000110=110,000 保險公司每年應賠款額=10000.1%100000=100,000 最后賠余額=110000100000=10,000 遭受火災風險損失者的損失，由全部房主共同承擔，保險公司只是起組織分攤風險的作用，并且因有效的組織風險損失分攤獲得相應的報酬。應用2 假設某人（風險規(guī)避者）家中被盜的可能性為 10。損失為10000美元，我們假定他有50000美元的財富，若投保需繳納1000美元的保費。該

8、人是否愿意投保？分析盜竊發(fā)生（P=0.1）未發(fā)生盜竊（P0.9）期望財富（美元）不投保400005000049000投保490004900049000啟示 保險一方面能夠滿足投保人的安全保障需求，另一方面也使保險公司憑借收取的保費完全可以對被保險人進行補償，并且可以盈利。 損失的可預計性是保險體系得以運行的基礎，同時也是計算保險費率的參考。第二節(jié) 人身保險費率的厘定 一、單利、復利和現(xiàn)值、終值一、單利、復利和現(xiàn)值、終值 二、生命表二、生命表 三、保費支付方式三、保費支付方式一、單利、復利和現(xiàn)值、終值一、單利、復利和現(xiàn)值、終值 （一）單利、復利（一）單利、復利 1 1、單利、單利 不管貸款期限長

9、短，僅按本金計算利息，不管貸款期限長短，僅按本金計算利息，對利息不再付息。對利息不再付息。 I=PI=Pi n; S=P(1+i n) 式中，式中，I為利息額；為利息額；P為本金；為本金；i為利息率；為利息率；n為借貸期限；為借貸期限；S為本利和。為本利和。2 2、復利、復利 將所生利息加入本金，將所生利息加入本金，逐年計算利息。逐年計算利息。 按復利計算的本利和按復利計算的本利和公式是：公式是： 單利的實質(zhì)利率逐期遞減，復利的實質(zhì)利率保持恒定。 短期業(yè)務一般單利計息。 長期業(yè)務一般復利計息。()niPS+1=()1+1=niPI（二）現(xiàn)值和終值 為了在一個特定時期為了在一個特定時期末取得一定

10、金額而現(xiàn)末取得一定金額而現(xiàn)在需要投資的本金稱在需要投資的本金稱現(xiàn)值?，F(xiàn)值即本金，現(xiàn)值。現(xiàn)值即本金，終值即本利和。終值即本利和。 1 1、單利的現(xiàn)值和終值、單利的現(xiàn)值和終值 在單利中，現(xiàn)值公式在單利中，現(xiàn)值公式為：為：P= 2 2、復利的現(xiàn)值和終值、復利的現(xiàn)值和終值 復利的現(xiàn)值公式為：復利的現(xiàn)值公式為： P=inS+1niS)+1 (二、生命表二、生命表生命表：生命表：又稱死亡表，根據(jù)一定時期某一國家或地區(qū)的特定人群的有關生存、死亡的統(tǒng)計資料，加以分析整理形成的表格。 幾個基本欄目：x：被觀察的人口年齡 ：生存數(shù)，指x歲的生存人數(shù) ：死亡數(shù)，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù) ：年生存率，指x歲的人在

11、一年后仍生存的概率 ：年死亡率，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率xlxdxpxq生命表的選擇生命表的選擇 按對象：國民生命表、經(jīng)驗生命表 按性別：男子表、女子表、男女混合表 不同壽險業(yè)務的精算，應結(jié)合不同分類，選擇適當?shù)纳碜鳛轭A定死亡率的基礎 選擇生命表作為精算基礎時，應考慮生命表人群的死亡狀況與計算對象的死亡狀況接近。 國民生命表：以一個國家或特定地區(qū)人口為對象，根據(jù)該國或地區(qū)人口統(tǒng)計等資料編制的一種反映特定區(qū)域普通國民的生死狀況的生命表。 經(jīng)驗生命表：根據(jù)人身保險被保險人的死亡經(jīng)驗制成的一種生命表。被保險人的生死狀況比同年齡普通民眾生死狀況好。三、人身保險費的支付方式躉繳保費：一次性付清（

12、除年金保險以外，很少有人壽保險是以躉繳的方式購買，但躉繳是費率計算的基礎）定期繳納均衡保費：定期繳納固定款額定期繳納非均衡保費（自然保費）：定期繳納可變款額第三節(jié) 財產(chǎn)保險費率的厘定 一、損失率 損失率指保險財產(chǎn)價值遭受損失的比率，是計算純費率的關鍵。 損失率 保險金額損失率是保險費率的最低限度。保險金額保險賠償二、計算均值、均方差 為避免偶然性，不能以某一次或某一很短時期的損失率作為制定純費率的依據(jù)，通常保險人根據(jù)以往若干年（至少5年）資料計算損失率，求均值，得平均損失率，再加上一定的安全加成作為純費率。例 下表為過去十年某財產(chǎn)險的損失率資料。 則均值為：年份12345678910損失率%4

13、.8 4.55.65.34.64.85.24.15.35.8%5=10%8 . 5+%3 . 5+%1 . 4+%2 . 5+%8 . 4+%6 . 4+%6 . 5+%5 . 4+%8 . 4=nX 從上表的實際損失率看，沒有一年為5%，最高年份達5.8%，最低年份達4.1%，具有不穩(wěn)定性，這種不穩(wěn)定性，在統(tǒng)計學上稱為某種指標的波動率，測定波動率的方法就是計算均方差，這就是計算損失率的波動幅度。 均方差的公式為： 其中X為過去每一年的損失率，a為均值，n為計算損失率的年數(shù)。()nX2a 求出均方差為0.00529 即過去十年中損失率的波動幅度為0.00529。 三、計算穩(wěn)定系數(shù) 偏差系數(shù)為：

14、10.58%，波動幅度與算術平均數(shù)的比率為偏差系數(shù)。 在具體操作中，為抵消實際損失對于往年損失率均值的偏差，要在算術平均數(shù)上加個穩(wěn)定系數(shù)，這個穩(wěn)定系數(shù)基本上相當于偏差系數(shù)，為避免每次計算均方差的麻煩，實際工作中常將穩(wěn)定系數(shù)取值確定在1020%，可保證保險財務的穩(wěn)定。四、確定純費率 純費率損失率算術平均數(shù)（1+穩(wěn)定系數(shù)） 上例：純費率0.05（1+0.1058）5.529% 或損失率+均方差=0.05+0.00529=0.05529 毛費率純費率+附加費率 在國際保險業(yè)務中，為便于計算，附加費率經(jīng)常表示為純費率（而不是保險總金額）的一定比例，這時毛費率的計算公式是： 毛費率純費率（1+附加費率） 當保險公司收取保費后，多將其中的一部分資金用于投資，投資收益可以充當保費收入，使保險的毛費率降低，增強保險產(chǎn)品的競爭力。 毛費率投資收益率附加費率）純費率（+1+1作業(yè)五 1、已知某保險公司在四年后要支付某被保險人1萬元保險金，求此保險金的現(xiàn)值。