第七章保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)

1、第七章 保險(xiǎn)的數(shù)理基礎(chǔ)第一節(jié) 保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定原則第二節(jié) 人身保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定第三節(jié) 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的費(fèi)率厘定 教學(xué)目的及要求通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生了解保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的方法；理解保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的原則；掌握保險(xiǎn)費(fèi)及保險(xiǎn)費(fèi)率的概念。 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)單利、復(fù)利、現(xiàn)值、終值、生命表、財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)純保費(fèi)率等的計(jì)算。附一：隨機(jī)事件和概率 一、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件 隨機(jī)現(xiàn)象是在一定條件下，某一實(shí)驗(yàn)結(jié)果或觀察結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，可能這樣發(fā)生，也可能那樣發(fā)生。 在實(shí)驗(yàn)或觀察中，我們關(guān)心某個(gè)結(jié)果是否出現(xiàn)，這個(gè)結(jié)果被稱(chēng)為隨機(jī)事件。二、概率 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，稱(chēng)之為隨機(jī)事件的概率。 確定性法則。確定性可以用1表示。 簡(jiǎn)

2、單概率。一個(gè)事件將會(huì)發(fā)生或不會(huì)發(fā)生的概率可以用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示，取值范圍從0到1。 復(fù)合概率。兩個(gè)相互獨(dú)立的事件將會(huì)同時(shí)發(fā)生的概率是事件將會(huì)分別發(fā)生的單個(gè)概率的乘積，即21pp 若事件不是相互獨(dú)立的，即兩項(xiàng)非獨(dú)立事件的復(fù)合，其概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率，乘以該事件發(fā)生后，另一事件發(fā)生的條件概率。 如兩所房屋，每一所房屋發(fā)生火災(zāi)的概率為1/50。在相互獨(dú)立的條件下，兩所房屋均發(fā)生火災(zāi)的概率為1/2500，在非獨(dú)立條件下，若一所房屋發(fā)生火災(zāi)，另一所也會(huì)發(fā)生火災(zāi)的概率上升為1/2，則該所房屋發(fā)生火災(zāi)后引起另一所房屋也發(fā)生火災(zāi)的概率為1/100 互不相容事件 不可能同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為互不相容事件。兩兩

3、互不相容事件中，任何一件事情發(fā)生的概率等于各件事情分別發(fā)生的概率總和。 在任何一年，死亡概率加上生存概率等于1，因?yàn)橐粋€(gè)人不是在該時(shí)期內(nèi)生存，就是在該時(shí)期內(nèi)死亡。附二：概率分布與期望損失 一、概率分布 用來(lái)描述各種結(jié)果及其對(duì)應(yīng)概率的。 在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中，由于變量一般都取有限個(gè)值，故概率分布可通過(guò)基本上互不相容的事件及其對(duì)應(yīng)的概率，按順序排列起來(lái)，用表或圖說(shuō)明。二、數(shù)學(xué)期望與損失期望值 一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值是它所能取到的各個(gè)數(shù)值與其概率乘積之和。 在保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中，常常會(huì)涉及到損失期望值概率。損失期望值即損失的不確定性數(shù)額與損失概率的乘積總和。nnXPXPXPXPXE332211第一節(jié) 保險(xiǎn)費(fèi)率的厘

4、定原則 一、保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)費(fèi)率 二、保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原則一、保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)費(fèi)率（Premium and Premium Rate） 1.保險(xiǎn)費(fèi)，簡(jiǎn)稱(chēng)保費(fèi)，投保人為獲得經(jīng)濟(jì)保障而繳納給保險(xiǎn)人的費(fèi)用。 投保人繳納的保險(xiǎn)費(fèi)一般稱(chēng)為毛保費(fèi)，它可以分解為純保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部分。 其中，純保費(fèi)是保險(xiǎn)人用來(lái)建立保險(xiǎn)基金，將來(lái)用于賠償或給付的那部分保費(fèi)，也稱(chēng)為凈保費(fèi)；附加費(fèi)主要用于保險(xiǎn)人的各項(xiàng)業(yè)務(wù)開(kāi)支和預(yù)期利潤(rùn)，包括職工工資、業(yè)務(wù)費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)、代理手續(xù)費(fèi)、稅金、利潤(rùn)等。一、保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)費(fèi)率 2.保險(xiǎn)費(fèi)率，保險(xiǎn)費(fèi)與保險(xiǎn)金額的比例，是每一單位保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)費(fèi)的計(jì)收標(biāo)準(zhǔn)，又稱(chēng)保險(xiǎn)價(jià)格。通常以每百元、每千元保險(xiǎn)金額應(yīng)

5、繳的保險(xiǎn)費(fèi)表示（、） 保險(xiǎn)費(fèi)率與保險(xiǎn)費(fèi)之間存在以下關(guān)系： 保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn)金額保險(xiǎn)費(fèi)率， 保險(xiǎn)費(fèi)率保險(xiǎn)費(fèi)/保險(xiǎn)金額 與保險(xiǎn)費(fèi)的分解相對(duì)應(yīng)，保險(xiǎn)費(fèi)率也有純費(fèi)率和附加費(fèi)率之分。保險(xiǎn)費(fèi)率純費(fèi)率附加費(fèi)率二、保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原則公平合理原則 指保險(xiǎn)費(fèi)率在保險(xiǎn)人與投保人之間及各投保人之間要體現(xiàn)公平合理的原則。保險(xiǎn)人與投保人之間的公平合理，一方面表現(xiàn)為必須貫徹補(bǔ)償原則，另一方面強(qiáng)調(diào)保險(xiǎn)費(fèi)率不能偏高。各投保人之間的公平合理，是指保險(xiǎn)人向投保人收取的保險(xiǎn)費(fèi)，應(yīng)與保險(xiǎn)標(biāo)的所面臨的危險(xiǎn)程度相適應(yīng)。 2.充分原則 收取的保費(fèi)在支付賠款及合理的營(yíng)業(yè)費(fèi)用、稅收后，仍有一部分利潤(rùn)。 確保保險(xiǎn)人的償付能力。3.相對(duì)穩(wěn)定原則 在一

6、定時(shí)期內(nèi)應(yīng)保持保險(xiǎn)費(fèi)率的穩(wěn)定。 保險(xiǎn)費(fèi)率的相對(duì)穩(wěn)定性對(duì)保險(xiǎn)雙方都有好處。 從被保險(xiǎn)人的角度來(lái)看，如果費(fèi)率經(jīng)常波動(dòng)，會(huì)誘發(fā)投保人的投機(jī)心理，也會(huì)使投保人難以確定保費(fèi)預(yù)算，增加對(duì)保險(xiǎn)公司的反感，導(dǎo)致保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)量的減少。 從保險(xiǎn)人的角度來(lái)看，穩(wěn)定的費(fèi)率有利于穩(wěn)定成本核算和業(yè)務(wù)經(jīng)營(yíng)。 當(dāng)然，費(fèi)率的穩(wěn)定也是相對(duì)的,應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際情況加以調(diào)整。4.促進(jìn)防災(zāi)防損原則 保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定要能促進(jìn)防災(zāi)防損，減少危險(xiǎn)事故。 一方面要鼓勵(lì)和引導(dǎo)被保險(xiǎn)人從事預(yù)防損失的活動(dòng)。另一方面，保險(xiǎn)公司也應(yīng)積極從事防災(zāi)防損活動(dòng)，其所需經(jīng)費(fèi)，在厘定費(fèi)率時(shí)也應(yīng)予以考慮。應(yīng)用1 設(shè)某一地區(qū)有1000棟住房，每棟住房的價(jià)值為100 000元

7、。根據(jù)以往的資料知道，每年火災(zāi)發(fā)生的頻率為每年0.1%，且為全損，若保險(xiǎn)公司提出，如果每棟住房的房主每年繳納110元保費(fèi)，則由保險(xiǎn)公司承擔(dān)全部風(fēng)險(xiǎn)損失。分析 保險(xiǎn)公司所收保費(fèi)額=1000110=110,000 保險(xiǎn)公司每年應(yīng)賠款額=10000.1%100000=100,000 最后賠余額=110000100000=10,000 遭受火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)損失者的損失，由全部房主共同承擔(dān)，保險(xiǎn)公司只是起組織分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn)的作用，并且因有效的組織風(fēng)險(xiǎn)損失分?jǐn)偒@得相應(yīng)的報(bào)酬。應(yīng)用2 假設(shè)某人（風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者）家中被盜的可能性為 10。損失為10000美元，我們假定他有50000美元的財(cái)富，若投保需繳納1000美元的保費(fèi)。該

8、人是否愿意投保？分析盜竊發(fā)生（P=0.1）未發(fā)生盜竊（P0.9）期望財(cái)富（美元）不投保400005000049000投保490004900049000啟示 保險(xiǎn)一方面能夠滿足投保人的安全保障需求，另一方面也使保險(xiǎn)公司憑借收取的保費(fèi)完全可以對(duì)被保險(xiǎn)人進(jìn)行補(bǔ)償，并且可以盈利。 損失的可預(yù)計(jì)性是保險(xiǎn)體系得以運(yùn)行的基礎(chǔ)，同時(shí)也是計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率的參考。第二節(jié) 人身保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定 一、單利、復(fù)利和現(xiàn)值、終值一、單利、復(fù)利和現(xiàn)值、終值 二、生命表二、生命表 三、保費(fèi)支付方式三、保費(fèi)支付方式一、單利、復(fù)利和現(xiàn)值、終值一、單利、復(fù)利和現(xiàn)值、終值 （一）單利、復(fù)利（一）單利、復(fù)利 1 1、單利、單利 不管貸款期限長(zhǎng)

9、短，僅按本金計(jì)算利息，不管貸款期限長(zhǎng)短，僅按本金計(jì)算利息，對(duì)利息不再付息。對(duì)利息不再付息。 I=PI=Pi n; S=P(1+i n) 式中，式中，I為利息額；為利息額；P為本金；為本金；i為利息率；為利息率；n為借貸期限；為借貸期限；S為本利和。為本利和。2 2、復(fù)利、復(fù)利 將所生利息加入本金，將所生利息加入本金，逐年計(jì)算利息。逐年計(jì)算利息。 按復(fù)利計(jì)算的本利和按復(fù)利計(jì)算的本利和公式是：公式是： 單利的實(shí)質(zhì)利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。 短期業(yè)務(wù)一般單利計(jì)息。 長(zhǎng)期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計(jì)息。()niPS+1=()1+1=niPI（二）現(xiàn)值和終值 為了在一個(gè)特定時(shí)期為了在一個(gè)特定時(shí)期末取得一定

10、金額而現(xiàn)末取得一定金額而現(xiàn)在需要投資的本金稱(chēng)在需要投資的本金稱(chēng)現(xiàn)值?，F(xiàn)值即本金，現(xiàn)值?，F(xiàn)值即本金，終值即本利和。終值即本利和。 1 1、單利的現(xiàn)值和終值、單利的現(xiàn)值和終值 在單利中，現(xiàn)值公式在單利中，現(xiàn)值公式為：為：P= 2 2、復(fù)利的現(xiàn)值和終值、復(fù)利的現(xiàn)值和終值 復(fù)利的現(xiàn)值公式為：復(fù)利的現(xiàn)值公式為： P=inS+1niS)+1 (二、生命表二、生命表生命表：生命表：又稱(chēng)死亡表，根據(jù)一定時(shí)期某一國(guó)家或地區(qū)的特定人群的有關(guān)生存、死亡的統(tǒng)計(jì)資料，加以分析整理形成的表格。 幾個(gè)基本欄目：x：被觀察的人口年齡 ：生存數(shù)，指x歲的生存人數(shù) ：死亡數(shù)，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù) ：年生存率，指x歲的人在

11、一年后仍生存的概率 ：年死亡率，指x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率xlxdxpxq生命表的選擇生命表的選擇 按對(duì)象：國(guó)民生命表、經(jīng)驗(yàn)生命表 按性別：男子表、女子表、男女混合表 不同壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的精算，應(yīng)結(jié)合不同分類(lèi)，選擇適當(dāng)?shù)纳碜鳛轭A(yù)定死亡率的基礎(chǔ) 選擇生命表作為精算基礎(chǔ)時(shí)，應(yīng)考慮生命表人群的死亡狀況與計(jì)算對(duì)象的死亡狀況接近。 國(guó)民生命表：以一個(gè)國(guó)家或特定地區(qū)人口為對(duì)象，根據(jù)該國(guó)或地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)等資料編制的一種反映特定區(qū)域普通國(guó)民的生死狀況的生命表。 經(jīng)驗(yàn)生命表：根據(jù)人身保險(xiǎn)被保險(xiǎn)人的死亡經(jīng)驗(yàn)制成的一種生命表。被保險(xiǎn)人的生死狀況比同年齡普通民眾生死狀況好。三、人身保險(xiǎn)費(fèi)的支付方式躉繳保費(fèi)：一次性付清（

12、除年金保險(xiǎn)以外，很少有人壽保險(xiǎn)是以躉繳的方式購(gòu)買(mǎi)，但躉繳是費(fèi)率計(jì)算的基礎(chǔ)）定期繳納均衡保費(fèi)：定期繳納固定款額定期繳納非均衡保費(fèi)（自然保費(fèi)）：定期繳納可變款額第三節(jié) 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定 一、損失率 損失率指保險(xiǎn)財(cái)產(chǎn)價(jià)值遭受損失的比率，是計(jì)算純費(fèi)率的關(guān)鍵。 損失率 保險(xiǎn)金額損失率是保險(xiǎn)費(fèi)率的最低限度。保險(xiǎn)金額保險(xiǎn)賠償二、計(jì)算均值、均方差 為避免偶然性，不能以某一次或某一很短時(shí)期的損失率作為制定純費(fèi)率的依據(jù)，通常保險(xiǎn)人根據(jù)以往若干年（至少5年）資料計(jì)算損失率，求均值，得平均損失率，再加上一定的安全加成作為純費(fèi)率。例 下表為過(guò)去十年某財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)的損失率資料。 則均值為：年份12345678910損失率%4

13、.8 4.55.65.34.64.85.24.15.35.8%5=10%8 . 5+%3 . 5+%1 . 4+%2 . 5+%8 . 4+%6 . 4+%6 . 5+%5 . 4+%8 . 4=nX 從上表的實(shí)際損失率看，沒(méi)有一年為5%，最高年份達(dá)5.8%，最低年份達(dá)4.1%，具有不穩(wěn)定性，這種不穩(wěn)定性，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)為某種指標(biāo)的波動(dòng)率，測(cè)定波動(dòng)率的方法就是計(jì)算均方差，這就是計(jì)算損失率的波動(dòng)幅度。 均方差的公式為： 其中X為過(guò)去每一年的損失率，a為均值，n為計(jì)算損失率的年數(shù)。()nX2a 求出均方差為0.00529 即過(guò)去十年中損失率的波動(dòng)幅度為0.00529。 三、計(jì)算穩(wěn)定系數(shù) 偏差系數(shù)為：

14、10.58%，波動(dòng)幅度與算術(shù)平均數(shù)的比率為偏差系數(shù)。 在具體操作中，為抵消實(shí)際損失對(duì)于往年損失率均值的偏差，要在算術(shù)平均數(shù)上加個(gè)穩(wěn)定系數(shù)，這個(gè)穩(wěn)定系數(shù)基本上相當(dāng)于偏差系數(shù)，為避免每次計(jì)算均方差的麻煩，實(shí)際工作中常將穩(wěn)定系數(shù)取值確定在1020%，可保證保險(xiǎn)財(cái)務(wù)的穩(wěn)定。四、確定純費(fèi)率 純費(fèi)率損失率算術(shù)平均數(shù)（1+穩(wěn)定系數(shù)） 上例：純費(fèi)率0.05（1+0.1058）5.529% 或損失率+均方差=0.05+0.00529=0.05529 毛費(fèi)率純費(fèi)率+附加費(fèi)率 在國(guó)際保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，為便于計(jì)算，附加費(fèi)率經(jīng)常表示為純費(fèi)率（而不是保險(xiǎn)總金額）的一定比例，這時(shí)毛費(fèi)率的計(jì)算公式是： 毛費(fèi)率純費(fèi)率（1+附加費(fèi)率） 當(dāng)保險(xiǎn)公司收取保費(fèi)后，多將其中的一部分資金用于投資，投資收益可以充當(dāng)保費(fèi)收入，使保險(xiǎn)的毛費(fèi)率降低，增強(qiáng)保險(xiǎn)產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力。 毛費(fèi)率投資收益率附加費(fèi)率）純費(fèi)率（+1+1作業(yè)五 1、已知某保險(xiǎn)公司在四年后要支付某被保險(xiǎn)人1萬(wàn)元保險(xiǎn)金，求此保險(xiǎn)金的現(xiàn)值。