求軌跡方程的常用方法例題及變式

1、求軌跡方程的常用方法:題型一直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據所滿足的幾何條件，將幾何條件M|P(M)直接翻譯成x,y的形式f(x,y)=0,然后進行等價變換，化簡f(x,y)=0,要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點適合這個條件而毫無例外(純粹性)；反之，適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏(完備性)。例1過點A(2,3)任作互相垂直的兩直線AM和AN,分別交x,y軸于點M,N,求線段MN中點P的軌跡方程。解：設P點坐標為P(x,y),由中點坐標公式及M,N在軸上得M(0,2y),N(2x,0)(x,yR)AM_ANkAMkAN=-10

2、-32y-3,J.=-1(x¥1),化簡得4x+6y-13=0(x=1)2x-20-23當x=1時，M(0,3),N(2,0),此時MN的中點P(1,)它也滿足方程4x+6y13=0,所以中點P的軌跡方程為4x+6y13=0。變式1已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍。(1) 求動點M的軌跡C的方程；(2) 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點。若A是PB的中點，求直線m的斜率。題型二定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。22例2動圓M過定點P(-4,0),且與圓C:x+y

3、8x=0相切，求動圓圓心M的軌跡方程。解：根據題意|MC|-1MP|=4,說明點M到定點C、P的距離之差的絕對值為定值，故點M的軌跡是雙曲線。2a=4a=2,c=4b=c2-a2=1222故動圓圓心M的軌跡方程為=1412變式2在4ABC中，BC=24,AC,AB上的兩條中線長度之和為39,求ABC的重心的軌跡方程.解：以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標2系，如圖1,M為重心，則有BM+CM=父39=26.3.M點的軌跡是以B,C為焦點的橢圓，其中c=12,a=13.b=Ja2c2=5.22：所求ABC的重心的軌跡方程為工+L=1(y#0)16925題型三相關點法此法

4、的特點是動點M(x,y)的坐標取決于已知曲線C上的點(x',y')的坐標，可先用x,y來表示x',y',再代入曲線C的方程f(x,y)=0,即得點M的軌跡方程。22例3如圖，從雙曲線x-y=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N,求線段QN的中點P的軌跡方程分析：從題意看動點P的相關點是Q,Q在雙曲線上運動，所以本題適合用相關點法。解：設動點P的坐標為(x,y),點Q的坐標為(x1,y1),則點N的坐標為(2xx1,2yy1)丁N在直線x+y=2上，,二2x-Xi+2yy1=2又丁PQ垂直于直線x*y=2,yy1=1,即xy+y1Xi=0x一X1由解得y-1

5、y-122_又點Q在雙曲線x-y=1上，x1-y1=1代入，得動點P的軌跡方程為2x22y22x+2y1=02變式3已知ABC的頂點B(3,0),C(1,0),頂點A在拋物線y=x上運動，求4ABC的重心G的軌跡方程.I一31x03，x0=3x+2,解：設G(x,y),A(%,y0),由重心公式，得3«又|為y0=3y.3'2.2-A(x0,y°)在拋物線y=x上，y0=劭.將，代入，得3y=(3x+2)2(y00),即所求曲線方程是y=3x2+4x+4(y#0).3題型四參數法選取適當的參數，分別用參數表示動點坐標x,y,得出軌跡的參數方程，消去參數，即得其普通方

6、程，選參數時必須首先充分考慮到制約動點的各種因素，然后在選取合適的參數，因為參數不同，會導致運算量的不同，常見的參數有截距、角度、斜率、線段長度等。例4已知線段AA'=2a,直線l垂直平分AA'于O,在l上取兩點P,P使有向線段OP,OP,滿足OPOP'=4,求直線AP與AP'的交點M的軌跡方程.解：如圖2,以線段AA'所在直線為x軸，以線段AA'的中垂線為y軸建立直角坐標系.設點P(0,t)(t00),4則由題意，得P'”4|.由點斜式得直線AP,AP'的方程分別為y=L(x+a),y(x-a).ata兩式相乘，消去t,得4x2

7、+a2y2=4a2(y*0).這就是所求點M的軌跡方程.2變式4設橢圓方程為x2+=1，過點M（0,1）的直線l交橢圓于點A,B,O是坐標原點，4111l上的動點P滿足OP=（OA+OB），點N的坐標為（萬,萬），當l繞點N旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）|NP|的最小值與最大值.分析：（1）設出直線l的方程，與橢圓方程聯立，求出x1+x2,y1+y2,進而表示出點P坐標，用消參法求軌跡方程；（2）將|NP|表示成變量x的二次函數。解：（1）法一：直線l過點M（0,1）,當l的斜率存在時，設其斜率為k,則l的方程為y=kx+1。設A（x1，y1），B（x2,y2）,由題設可列方程為y

8、=kx+12V21x=114將代入并化簡得:22-一(4+k)x+2kx3=0,所以x2y2=2k4k284k2OPOAOB);)=()2224k4k設點P的坐標為（x,y）,則-k4k244k2消去參數k得4x2+y2y=0當直線l的斜率不存在時，A,B的中點坐標為原點（0,0）,也滿足方程,所以點P的軌跡方程為4x2+y2y=0。法二：設點P的坐標為(x,y),因A(xyi),B(x2,y2)在橢圓上，所以22Xi2X2”=142y2=14一得：x12-x22-(y12-y22)=04一、，、1/所以(xix2)(xi-x2)(yiy2)(yi-y2)=04i.Vi-y2當xi#x2時，有xi+x2+-(yi+y2)=04x1-x2xi+x2x二2并且=2y-1_yi-y2、xx1-x2將代入并整理得4x2+y2y=0當xi=x2時，點A,B的坐標分別為(0,2)、(0-2),12x2(y-力這時點P的坐標為(0,0),也滿足，所以點P的軌跡方程為彳+廣一=1。164111(2)由點P的軌跡方程知x2<