《應(yīng)用泛函分析》習(xí)題解答

1、精選文檔泛函分析與應(yīng)用-國防科技大學(xué)第 一 章第一節(jié)3設(shè)是賦范空間中的Cauchy列，證明有界，即。證明：，當(dāng)時，有，不妨設(shè)，則。取，則有，令，則。6設(shè)是Banach空間，中的點列滿足（此時稱級數(shù)絕對收斂），證明存在，使（此時記為，即）.證明：令，則。由于絕對收斂，則它的一般項。因此，總，當(dāng)時，有，所以是中的Cauchy列，又因為是Banach空間，則必存在，使得。9（Hamel基）設(shè)是線性空間的非空子集，若中任意多個元素都是線性無關(guān)的，則稱是線性無關(guān)的。若是線性無關(guān)的，且，則稱是是的一個Hamel基。此時若是無窮集，則稱是無窮維的；若是有限集，則稱是有限維的，并定義的維數(shù)為中所含有的元素個數(shù)

2、。通常用表示的維數(shù)，并約定當(dāng)時，可以證明任何線性空間都存在Hamel基。證明酉空間的維數(shù)為，并問當(dāng)視為實線性空間時，其維數(shù)是多少？證明：設(shè)，則有。令，則對任意的，必有，因此是空間的基，則。當(dāng)視為實線性空間時，可令基為，則對任意的，有，所以。10證明，這里。證明：取，只需證線性無關(guān)。為此對，令。則。因此必有，求該式求導(dǎo)后有。依次類推，有，所以對任意的，都有線性無關(guān)，即。第 二 節(jié)2.（點到集合的距離）設(shè)是的非空子集，。定義到的距離為：證明：1) 是的內(nèi)點；2) 是的孤立點，且；3) 是的外點。解：1）必要性：是的內(nèi)點，使得，都有。充分性：，使得，使得是的內(nèi)點。2）必要性：是的孤立點，且，使得，且

3、，使得，且。充分性：，且，使得，使得是的孤立點。3）必要性：是的外點，使得，都有。充分性：，使得是的外點。3設(shè)是中的非空閉集，證明：。解：必要性：，使得。充分性：，使得。7舉例說明無窮多個閉集之并不一定是閉集。解：。8證明。證明：設(shè)，使得。若中有無窮項互異，則；否則有無窮多相取同一個值，則，由此可知：，則。另一方面，由于且，所以。綜上所述，有。9證明：1）的內(nèi)部是含于的最大開集，即；2）的閉包是包含的最小閉集，即。證明：1）設(shè)是含于的最大開集，則。設(shè)，使得，使得。所以。綜上所述，則表明的內(nèi)部是含于的最大開集。2）設(shè)是包含的最小閉集，且。設(shè)，使得，使得，所以。綜上所述，則表明的閉包是包含的最小閉

4、集。10利用習(xí)題9的結(jié)論證明：1），2）。證明：1）。是開集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，是含于的最大開集，所以。此外，設(shè)，而。由，使得，使得。 （1）而由，都有，此與（1）式矛盾，故，所以。綜上所述，有。2）。這表明是包含的閉集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，是包含的最小閉集，所以。此外，設(shè)。由，都有，都有。特別有，因此取，所以有且，故，所以。綜上所述，有。12設(shè)。試寫出，及的孤立點的全體。解：；的孤立點。13設(shè)、均是的子集，且，證明：1）若在中稠密，則在中稠密 ；2）若不中稠密，則不在中稠密。證明：1）在中稠密，存在，使得，存在，使得在中稠密。2）不在中稠密和，使得和，使得不在中稠密。第 三 節(jié)2設(shè)，且

5、，證明：。證明：設(shè)；另一方面，設(shè)。綜上所述，。4設(shè)，證明：1）在處連續(xù)只要滿足，則；2）在處連續(xù)對于任意，存在，使。證明：1）必要性：若，且對于任意，存在，使得當(dāng)時，有。再由在處連續(xù)對于任意，存在，使得當(dāng)，。若取，則表明對于任意，存在，當(dāng)時，有，因此。充分性：對于任意，存在，使得當(dāng)時，有；對于任意，存在，使得當(dāng)時，有，顯然對于特定的，也存在，使得當(dāng)時，有。因此取，對于任意的，存在，使得當(dāng)，有，所以在處連續(xù)。2）必要性：在處連續(xù)對于，存在，使得當(dāng)時，有。所以對于，都有，因此。充分性：設(shè)，由條件可知，存在，使得當(dāng)時，都有，由連續(xù)的定義可知，在處連續(xù)。5（集合的邊界）稱集為集合的邊界，記為，并稱中的

6、點為的邊界點。證明：1），即的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點，又有的點；2）且。證明：1） 必要性：且。由，使得，存在，使得當(dāng)時，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點。由存在，且，存在，使得當(dāng)時，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點。充分性：顯然成立。2） 必要性：且。由，使得，而。由，使得，而。充分性：由，使得。由，使得。所以， 。6驗證例4中構(gòu)造的泛函滿足題給條件。已知：，和是中互不相交的非空閉集。驗證：由于，且當(dāng)時，；時，。9證明開集總可以表示為可列個閉集之并，而閉集總可以表示為可列個開集之交。證明：（1）設(shè)是閉集，不妨設(shè)。令，則是開集，且，于是。另一方面，設(shè)，即。因此。綜上所述，。因此閉集總可以表示為可列個開集之交。（2）利

7、用（1）中的結(jié)論以及de Morgan公式，可得：。顯然是開集，是閉集，這表明開集總可以表示為可列個閉集之并。10設(shè)均是實賦范空間，是連續(xù)映射，且滿足可加性：對任意，恒有。證明：是線性算子。（提示：注意到非零有理數(shù)形如（，與互質(zhì)），先對有理數(shù)說明，然后利用連續(xù)性。）證明：令為（1）式。則在（1）式中，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，令此式為（2）式。此外利用（1）式還可得：，令此式為（3）式。又，且，有，有，令此式為（4）式。由在中稠密，使得。因此。由是線性算子。第 四 節(jié)2設(shè)表示定義于上“直至階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的函數(shù)的全體，按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘，是線性空間。對，其中表示，則成為賦范空間。證明它是Banach

8、空間。證明：（） 證明賦范空間。正定性與絕對齊性是顯然的。下證此范數(shù)滿足三角不等式。設(shè)，則。所以按此范數(shù)它是賦范空間。（）證明完備性。設(shè)是中的Cauchy列。則，當(dāng)時，有，即（）式。特別的，對于每個，（）式都成立。所以是中的Cauchy列。于是使，所以一致收斂到。當(dāng)時有，所以。同理可得：當(dāng)時，有。最終有，所以。綜上所述，它是Banach空間。5設(shè)、是賦范空間的子集，且，證明：（） 若是第二綱集，則必是第二綱集；（） 若是第一綱集，則必是第一綱集；證明：先證明（）。是第一綱集，則，其中是稀疏集。令，則也是稀疏的。下面來證。設(shè)，按的定義必有，則；另一方面，設(shè)，則必存在，使得，按的定義有，所以。由此

9、可知：。所以必是第一綱集。（） 若必是第一綱集的話，按（）中的結(jié)論可知必是第一綱集，此與是第二綱集矛盾，所以是第一綱集。6設(shè)是賦范空間中的閉集，且不是稀疏集，證明必包含中某個閉球。證明：不是稀疏集存在中某個開集，使得在中稠密。取，使得，所以有。7設(shè)是賦范空間的真閉子空間，證明是中稀疏集。證明：由習(xí)題6的結(jié)論可知：如果不是稀疏集，則，使得。因此，有，則，所以，此與是的真閉子空間矛盾。由此可知：是中稀疏集。8證明是中的第一綱集。證明：用表示次數(shù)不超過的多項式，則是的真閉子集，由習(xí)題7的結(jié)論可知在是稀疏的。又，這表明是中的第一綱集。第 五 節(jié)1證明緊集必是完備子集。證明：設(shè)是緊集，且是中的Cauch

10、y序列。則， ，使得當(dāng)時，有。又因為是緊集，則及，使得。因此當(dāng)時，也有。由此可知：收斂，且極限為。則是完備子集。2證明緊集的閉子集是緊集，緊集必是閉集。證明：設(shè)是緊集，且是閉集。，有，使得，子列，使得是列緊的（1）式。又因為是閉集，則（2）式。由（1）（2）式可知，是緊集緊集的閉子集是緊集。設(shè)是緊集。，且，使得，且。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，可知，由此可知是閉集。3證明列緊集的閉包是列緊集，因而列緊集的閉包是緊集。證明：設(shè)是列緊集。，由接觸點的性質(zhì)，存在，使得（1）式。，使得，。因此是列緊的。又式閉集，則，所以是緊集。4證明：若是緊集，則也是緊集。證明：是緊集，子列，使得，且，子列，

11、使得，且是緊集。5證明緊集的有限并是緊集，緊集的任意交是緊集。證明：設(shè)是一列有限的緊集，記。，則必存在整數(shù)，使得含有的無窮多項，記為。由是緊集，則的子列，使得，且。因此，都存在它的子列，且。所以緊集的有限并是緊集。設(shè)是一列緊集，記。，則對任意整數(shù)，都有。由是緊集，則的子列，使得，且，即。因此，都存在它的子列，且。所以緊集的任意交是緊集。6設(shè)是中一列不增的非空緊集，證明。若將條件中“緊集”改為“閉集”，試問結(jié)論是否成立？證明：由非空，可取。再由題意知，則。顯然，由是緊集，則的子列，使得，且；此外取，由是緊集，則的子列，使得，且。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則，且。依此類推，當(dāng)時，有，的子

12、列，使得，且。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則。由此可知：，則。7設(shè)是中的非空緊集，映射連續(xù)，證明是中的緊集，即緊集的連續(xù)像仍是緊集。證明：設(shè)是中的序列，由像與原像的性質(zhì)，可知是的原像，再由是非空緊集，可知存在子列，而是連續(xù)的，則，因此是中的緊集。8設(shè)是中的緊集，映射連續(xù)，證明在上一致連續(xù)，即對于任何，存在，當(dāng)，且時，恒有。證明：用反證法。，當(dāng)，且時，恒有。不妨取，則（）式。由于是緊集中的序列，則必存在子列，由（）式可知，。再由的連續(xù)性，則，此與矛盾。所以在上一致連續(xù)。9設(shè)是中的非空緊集，泛函連續(xù)，證明在上有界，且在可達到其最大值和最小值。證明：由習(xí)題 7結(jié)論可知，是緊集，則必有界。設(shè)，

13、則必存在一列，使得。由是緊集，則及，使得。由的連續(xù)性，存在及，使得。由此可知：。同理可證：存在。11設(shè)是中的非空緊集，證明存在使。證明：顯然泛函連續(xù)，且是非空緊集。再由，根據(jù)習(xí)題9的結(jié)論可知：必存在，使得。第 六 節(jié)5設(shè)是一組實數(shù)，滿足條件，其中。證明代數(shù)方程組對任何都存在唯一解。分析：代數(shù)方程組等價于，其中，。顯然，證明解的唯一性等價于證明映射有唯一的不動點。證明：令的映射為，。所以。上述推導(dǎo)過程中，（1）應(yīng)用了許瓦爾茲不等式，（2）利用了條件。由是壓縮映射，且是完備子空間，由壓縮映射原理可知：存在唯一的不動點。6已知，證明函數(shù)方程在上存在唯一的連續(xù)解。證明：令為：。所以是上的壓縮映射，且是

14、完備的。由壓縮映射原理可知：映射存在唯一的不動點。7設(shè)是一組實數(shù)，滿足。證明無窮代數(shù)方程：，對任何必存在唯一解。證明：令，。方程組等價與。令為。則對和有：，。由上述推導(dǎo)可知是壓縮上的壓縮映射，又是完備的。所以在上有唯一的不動點。8（第二類Fredholm方程解的存在唯一性）設(shè)有線性積分方程：，其中，是參數(shù)，積分核在上連續(xù)，且滿足：，則上述積分方程對絕對值充分小的，在中存在唯一解。（提示：令，。）證明：令為：。則。上述推導(dǎo)過程中，（1）利用的Holder不等式。令，則。顯然，如果，則。所以是上的壓縮映射，又因為是完備的，所以在存在唯一的不動點。9（Volterra積分方程解的存在唯一性）設(shè)在上連

15、續(xù)，則Volterra積分方程：對任意及任何參數(shù)都存在唯一的連續(xù)解（提示：令，映射為。然后用歸納法說明。取充分大使。在利用定理4。）證明：令映射為，且。利用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，設(shè)，則：。因此當(dāng)充分大時，。所以為上的壓縮映射，又是完備的，所以在上有唯一的不動點。由書P30頁上的定理4可知：在上有唯一的不動點。第 七 節(jié)2設(shè)是上的實函數(shù)，對，令，證明等價于。證明：充分性顯然。下證必要性。令，則，由于，且，則。3定義為，再定義為，試問與是否可換（即）？并求，及。注：定義域空間中的范數(shù)為：；值域空間中的范數(shù)為：。解： 。取，則，因此與是不可換。（1），所以；又當(dāng)時，故。綜上所述，。（2），所以；又當(dāng)時，

16、故。綜上所述，。（3），所以；又當(dāng)時，故。綜上所述，。（4），所以；又當(dāng)時，故。綜上所述，。4設(shè)無窮矩陣滿足：。定義為：對，其中。證明：。證明：。所以。另一方面，對任意固定的，令，且。則，由的任意性，所以。綜上所述，。5（Hilert-Schmidt）型積分算子）設(shè)，令為：。證明。（提示：利用Holder不等式。）證明：。所以。上述推導(dǎo)過程中，（1）利用了Holder不等式。6設(shè)，定義為：。證明：。證明：。所以。令一方面，令，則。因此；再令，又有。由此可知：。綜上所述，。7證明上的非零線性泛函不是連續(xù)的等價于在中稠密。證明：必要性：不連續(xù)無界，且，使得。，令，則，且，由稠密性定義可知：在中稠密

17、。充分性：若連續(xù)是上的閉子空間。又因為在中稠密，所以。此與矛盾。故若不連續(xù)。第 八 節(jié)1設(shè)是非負整數(shù)，證明上次數(shù)不超過的多項式全體是的閉子空間。證明：容易驗證按上的范數(shù)成為賦范空間，下面要證明它是閉的。令，則容易驗證是的基，且。又因為有限維空間是閉集。所以是的閉子空間。2證明定理3（賦范空間是有限維的充要條件是：中的有界閉集都是緊集。）證明：不妨設(shè)，為它的基。構(gòu)造為，這里由此可知與拓撲同構(gòu)。又因為有界閉集都是緊集與是有限維是等價的，所以是有限維等價與中的有界閉集都是緊集。3設(shè)，與均是的非空子集，且其中一個是閉集，另一個是緊集，證明存在，使。特別當(dāng)時，。證明：不妨設(shè)是閉集，是緊集。定義為，由于是

18、連續(xù)映射，且緊集的連續(xù)像是緊集，則必存在，使得。令，則是有界閉集，又因為是有限維的，所以是緊集。由的取法顯然有。緊，使。第二章第一節(jié)4設(shè)賦范空間，證明：對于任何，恒有。證明：由49頁的推論1可知：存在，使得，且。另一方面有，所以。5設(shè)是賦范空間中的子空間，。證明只要滿足，則。證明：必要性。用反證法。設(shè)滿足，但，由50頁的推論2的結(jié)論可知，這與矛盾。所以只要這一條件成立，必可推出只要滿足，則。充分性：同樣用反證發(fā)。則由50頁的推論2的結(jié)論可知：存在滿足，且，顯然這與矛盾。所以只要滿足，則這一條件成立，必可推出。6設(shè)是賦范空間的非空集，。證明可用中元的有限線性組合逼近的充要條件是：只要滿足，則。證

19、明：該題即要證明只要滿足，則。必要性。設(shè)，則由習(xí)題5的結(jié)論可知：只要滿足，則。而由的構(gòu)造可知：。充分性：由以及習(xí)題5的結(jié)論直接可得。7設(shè)是賦范空間中有限個線性無關(guān)向量，證明存在使，。證明：以為例來說明。令，則它為中的子空間。因為線性無關(guān)，所以。由泛函延拓定理知：，使得，。再由的構(gòu)造方法可知。同理可得：。8設(shè)是賦范空間，滿足條件只要且，則，證明。證明：由習(xí)題4的結(jié)論可知：，又由于，所以。第四節(jié)3設(shè)按范數(shù)是Banach空間，且當(dāng)時，對一切恒有。證明范數(shù)與范數(shù)等價。（提示：先證是閉算子，再用必圖像定理知該算子有界，最后用逆算子定理得結(jié)論。）證明：令為。顯然是線性雙映射。設(shè)，且，。由（）的完備性可知，

20、。且中的收斂等價于一致收斂，所以。此外。再由，可得。所以是閉算子。根據(jù)閉圖像定理，則是有界的。所以。又根據(jù)逆算子定理，也是有界的。所以。綜上所述，與范數(shù)等價。4設(shè)均是Banach空間，若對于任意的，方程都有唯一的解。證明。證明：設(shè)，且，。由的連續(xù)性意知是連續(xù)的。由于是Banach空間，所以。由解的唯一性可知：。所以是閉算子。根據(jù)閉圖像定理，則。5設(shè)是Banach空間，、均的閉子空間，且（即對于任意的，都有唯一的表示，其中，）。又設(shè)，。證明：的充要條件是且。（提示：對，其中，令，說明是Banach空間。）證明：首先說明是賦范空間。正定性和絕對齊性是顯然的。下面證明滿足三角不等式。設(shè)，則。由于，所

21、以。由此可知是賦范空間。下面再進一步說明它還是Banach空間。設(shè)是中的Cauchy列。則，當(dāng)時，有。（）式。這表明和分別是和中的Cauchy列，又和是完備的，所以。令（）式中，則。這表明，所以是Banach空間。下面要說明的是范數(shù)與是等價的。令為。則是線性雙映射。取，且，。顯然有。，所以在有，則必有，而，所以。由此可知，是閉算子。根據(jù)閉圖像定理可知有界。再根據(jù)逆算子定理也有界。由此可以容易推出與是等價的。最后我們來證明題目的結(jié)論。必要性：已知，由與等價，則。充分性：由且。第五節(jié)1設(shè)實數(shù)列對任何滿足的實數(shù)列，都有。證明：。證明：令為，其中。則。由一致有界原理可知：（）式。此外。所以；另一方面取

22、，則。由此可知：由（）式可知：。2設(shè)實數(shù)列對任何滿足的實數(shù)列，都有。證明：。證明：令為，其中。則。由一致有界原理可知（）式。此外，所以。另一方面，令，則。綜上所述，。根據(jù)（）式有，即。第六節(jié)2設(shè)是賦范空間的子空間，。若。證明。證明：若，則由泛函延拓定理可知，存在，使得，。再由。已知是連續(xù)的，且，所以。此與矛盾，故。3設(shè)，且。證明：。證明：由泛函延拓定理可得：存在，使得，。由。又是連續(xù)的，所以。4定義算子為。證明，并求。證明：已知與是等距同構(gòu)的，所以，使得。，式中為對序列的左移兩步算子，即。所以。第七節(jié)3設(shè)，是的特征值，證明是的特征值，這里。證明：。依此類推，可得，所以是的特征值。7定義為，證明

23、是緊線性算子，且。（注：原題要證明，本人認為有誤。）證明：令為。則是線性算子，且是有限秩算子，所以是緊線性算子。，所以。由于是Banach空間，所以。，所以是單映射，又是的真子空間。再由的任意性，。第三章第一節(jié)2設(shè)實數(shù)列滿足，證明：。證明：設(shè)，。則，。由Schwarz不等式可得：。3設(shè)是內(nèi)積空間中的點列，且對一切，。證明：。證明：必要性是顯然的。下證充分性。（）式。由于當(dāng)時，。所以由（）式可得：。4證明按范數(shù)不能成為內(nèi)積空間，即該范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出。解：取，。則，。，。這表明不滿足平行四邊形法則，即該范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出。第二節(jié)2設(shè)是Hilbert空間的非空子集，。證明：已知，顯然,所以。，有，

24、而由構(gòu)造方法可知：。所以，。另一方面，。綜上所述，有。由內(nèi)積的連續(xù)性，很容易得到。3設(shè)是Hilbert空間的凸子集，是中的點列，且滿足條件：。證明是中的收斂點列。（提示：仿定理3的證明。）證明：5設(shè)是Hilbert空間的子空間，證明。（提示：利用投影定理。）證明：由于。不妨設(shè)是閉集，否則用代替。由習(xí)題2的結(jié)論有，所以只要證明。設(shè)，則關(guān)于的投影為。由于，所以上式也可理解為關(guān)于的投影，又因為關(guān)于的投影也可寫成：，而投影是唯一的，所以。這表明。綜上所述，。6設(shè)是Hilbert空間的子空間，且對任何，在上的投影都存在，證明是的閉子空間。（提示：利用投影定理。）證明：實際上只要證明是閉集即可。設(shè)是中的收斂點列，且滿足。由條件知：關(guān)于有唯一的分解