泛函分析知識(shí)點(diǎn)

1、泛函分析知識(shí)點(diǎn)最新好資料推薦-如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除泛函分析知識(shí)點(diǎn)知識(shí)體系概述(一)、度量空間和賦范線性空間第一節(jié)度量空間的進(jìn)一步例子1.距離空間的定義：設(shè)X是非空集合，若存在一個(gè)映射d:XXXrR,使得x,y,zX,下列距離公理成立：(1)非負(fù)性：d(x,y)>0,d(x,y)=0x=y;(2)對稱性：d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式：d(x,y)<d(x,z)+d(z,y);則稱d(x,y)為x與y的距離，X為以d為距離的距離空間，記作(X,d)2.幾類空間例1離散的度量空間例2序列空間S例3有界函數(shù)空間B(A)例4可測函數(shù)空M(X)例5Ca,b空間即連續(xù)函數(shù)空間例

2、6l2第二節(jié)度量空間中的極限，稠密集，可分空間1 .開球定義設(shè)(X,d)為度量空間，d是距離，定義U(xo,)=xX|d(x,xo)<為x0的以為半徑的開球，亦稱為x0的一領(lǐng)域.2 .極限定義若xnX,xX,s.t.limdxn,x0則稱x是點(diǎn)列xn的極限.3 .有界集定義若dAsupdx,y,則稱A有界x,yA4 .稠密集定義設(shè)X是度量空間，E和M是X中兩個(gè)子集，令M表示M的閉包，如果EM,那么稱集M在集E中稠密，當(dāng)E=X時(shí)稱M為X的一個(gè)稠密集。5 .可分空間定義如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱X是可分空間。第三節(jié)連續(xù)映射1 .定義設(shè)X=(X,d),Y=(Y,d)是兩個(gè)度量空間，T是X

3、到Y(jié)中映射，x0X，如果對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)0,使對X中一切滿足dx,x0的x,有dTx,Tx0則稱T在x0連續(xù).Y,dX2 .定理1設(shè)T是度量空間(X,d)到度量空間中的映射，那么T在x0X連續(xù)的充要條件為當(dāng)xn%n時(shí)，必有TxnTxon3 .定理2度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射的充要條件為Y中任意開集M的原像T1M是X中的開集.第四節(jié)柯西(cauchy)點(diǎn)列和完備度量空間1.定義設(shè)X=(X,d)是度量空間，xn是X中點(diǎn)列，如果對任意給定的正數(shù)0,存在正整數(shù)NN，使當(dāng)n,m>N時(shí)，必有dxn,xm,則稱xn是X中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。如果度量空間(X,d)中每個(gè)柯西點(diǎn)列

4、都在(X,d)中收斂，那么稱(X,d)是完備的度量空間.【注意】(1)Q不是完備集(2) Rn完備(3) cauchy列不一定收斂，但收斂列一定是cauchy列.(4) Ca,b完備2.定理完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.第五節(jié)度量空間的完備化1 .定義設(shè)(X,d),(X,d)是兩個(gè)度量空間，如果存在X到X上的保距映射T,即dTx,Tydx,y,則稱(X,d)和(X,d)等距同構(gòu)，此時(shí)T稱為X到X上等距同構(gòu)映射。2 .定理1(度量空間的完備化定理)設(shè)*=(X,d)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間X=(X,d),使X與X的某個(gè)稠密子空間W等距同構(gòu)，并且AA

5、X在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若(X,d)也是一完備度量空間，且X與XAA的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則(X8)與(X,d)等距同構(gòu)。3 .定理1'設(shè)*=(X,d)是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間X=(X,d),使X為X的稠密子空間。第六節(jié)壓縮映射原理及其應(yīng)用1 .定義設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個(gè)數(shù)，0V<1,使得對所有的x,yX,dTx,Tydx,y,則稱T是壓縮映射。2 .定理1（壓縮映射定理）（即Barnach不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)X是完備的度量空問，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（就是說，方程Tx=x,有且只有一個(gè)解）.補(bǔ)充定義：若Tx=x,

6、則稱x是T的不動(dòng)點(diǎn)。x是T的不動(dòng)點(diǎn)x是方程Tx=x的解。3 .定理2設(shè)函數(shù)fx,y在帶狀域axb,y中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fyx,y.如果還存在常數(shù)m和M滿足（0mfyx,yM,mM,則方程fx,y0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)yx作為解：fx,x0,xa,b第七節(jié)線性空間1.定義1設(shè)X是一非空集合，在X中定義了元素的加法運(yùn)算和實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）與X中元素的乘法運(yùn)算，滿足下列條件：（1）關(guān)于加法成為交換群，即對任意x,yX,存在uX與之相對應(yīng)，記為u=x+y,稱為x和y的和，滿足1） xyyx;2） xyzxyz任何x,y,zX;3）在X中存在唯一元素，使對任何xX，成立xx,稱為

7、X中零元素；4）對X中每個(gè)元素x,存在唯一元素xX,使xx，稱x為x的負(fù)元素，記為x;（2）對于X中每個(gè)元素xX,及任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）a,存在元素uX與之對應(yīng)，記為uax,稱為a與x的數(shù)積，滿足1） 1xx;2） a（bx）abx對任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）a和b成立；3） abxaxbx,axyaxby,則稱X按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成為線性空間或向量空間，其中的元素稱為向量。如果數(shù)積運(yùn)算只對實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）有意義，則稱X是實(shí)（復(fù)）線性空間。例1Rn,對Rn中任意兩點(diǎn)x二（3,2,酊）,y=（11,R,甲）和任何實(shí)（復(fù)）數(shù)a定義x+y=（1+.1,2+印，,n+rfi）,ax=（a1,a2,an工容易驗(yàn)證R

8、n按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成實(shí)（復(fù)）線性空間.2.定義2設(shè)xi,x2,xn是線性空間X中的向量，如果存在n個(gè)不全為零的數(shù)ai,a2,加,使alxi+0（2x2+onxn=0,（1）則稱xi,x2，,xn線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).n不難看出，x1,x2,xn線性無關(guān)的充要條件為，若iXi0,i1必有a1=02=>=an=0.3 .定義3設(shè)M是線性空間X的一個(gè)子集，如果M中任意有限個(gè)向量都線性無關(guān)則稱M是X中線性無關(guān)子集.設(shè)M和L為X中兩個(gè)子集，若M中任何向量與L中任何向量都線性無關(guān)，則稱M和L線性無關(guān).4 .定義4設(shè)X是線性空間，M是X中線性無關(guān)子集，如果spanM=X,則稱M的基數(shù)為X的維

9、數(shù)，記為dimX,M稱為X的一組基.如果M的基數(shù)為有限數(shù)，則稱X是有限維線性空間，否則稱X是無限維線性空間.如果X只含零元素，稱X為零維線性空間.第八節(jié)賦范線性空間和巴拿赫（Banach）空間1.定義1設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）的線性空間，如果對每個(gè)向量xCX,有一個(gè)確定的實(shí)數(shù),記為IXII與之對應(yīng)并且滿足：1°x|也且X=0等價(jià)于x=0;2°IX月域IX|其中a為任意典復(fù)）數(shù);3°x+yII<XI+iy口x,yX,則稱IXII為向量x的范數(shù)，稱X按范數(shù)|xII成為賦范線性空間.112 .弓I理1（H?lder不等式）設(shè)p>1,1,fLpa,b,gLqa,b那么

10、f（t）g（t）pq在a,b上L可積，并且bftgtdt|f|p|g|qa113 引理2（Minkowski不等式）設(shè)p>1,f,gCLpa,b,那么f+gCLpa,b,并且成立不f+gIp<IfIp+lgp4 .定理1當(dāng)p>1時(shí),Lpa,b按（6）中范數(shù)fp成為賦范線性空間.5 .定理2Lpa,b（p11）是Banach空間.6 .定理3設(shè)X是n維賦范線性空間，e1,e2,ien是X的一組基，則存在常數(shù)M和M',使得對一切nXkekk1成立1n2“22-M|x|kM|x|.k17 .推論1設(shè)在有限維線性空間上定義了兩個(gè)范數(shù)IIxII和XU1，那么必存在常數(shù)M和M&#

11、39;,使得MxII<XHKMxin8 .定義2設(shè)(Ri,IX11)和但2,X2)是兩個(gè)賦范線性空間.如果存在從Ri到R2上的線性映射日和正數(shù)C1,c2,使得對一切xCR1,成立c1IIx12<x11<c2IIx12則稱(R1jx11)和(R2,k12)這兩個(gè)賦范空間是拓?fù)渫瑯?gòu)的.8.推論2任何有限維賦范空間都和同維數(shù)歐氏空間拓?fù)渫瑯?gòu).相同維數(shù)的有限維賦范空間彼此拓?fù)渫瑯?gòu).(二)有界線性算子和連續(xù)線性泛函第一節(jié)有界線性算子和連續(xù)線性泛函定義1設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)(或復(fù))的線性空間，D是X的線性子空間萬為D到Y(jié)中的映射，如果對任何x,yD,及數(shù)a,有T(x+y尸Tx+Ty,T(

12、ax)=aTx,(2)則稱T為D到Y(jié)中的線性算子，其中D稱為T的定義域，記為D(T),TD稱為T的值域，記為R(T),當(dāng)T取值于實(shí)(或復(fù))數(shù)域時(shí)，就稱T為實(shí)(或復(fù))線性泛函.定義2設(shè)X和Y是兩個(gè)賦范線性空間乃是X的線性子空間D(T)到Y(jié)中的線性算子,如果存在常數(shù)c,使對所有xCD(T),有TxIIwix口(3)則稱T是D(T)到Y(jié)中的有界線性算子，當(dāng)D(T尸X時(shí)，稱T為X到Y(jié)中的有界線性算子，簡稱為有界算子.對于不滿足條件(3)的算子，稱為無界算子.本書主要討論有界算子.定理1設(shè)T是賦范線性空間X到賦范線性空間Y中的線性算子，則T為有界算子的充要條件為T是X上連續(xù)算子.定理2設(shè)X是賦范線性空間，f是X上線性泛函，那么f是X上連續(xù)泛函的充要條件為f的零空間N是X中的閉子空間定義3T為賦范線性空間X的子空間D(T)到賦范線性空間Y中的線性算子，稱|T|sup網(wǎng)(4)x0xxDT為算子T在D(T)上的范數(shù).引理1設(shè)T是D(T)上有界線性算子，那么|T|sup|Tx|sup|TX|(6)xDTxDTlxl1lxl1出.有界線性算子和連續(xù)線性泛函的例子例6賦范線性空間X上的相似算子Tx=w是有界線性算子，且肝=|油特別IIIx|=1,O=0.第二節(jié)有界線性算子空間和共腕空間I.有界線性算子全體所成空間定理1當(dāng)Y是Banac