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1、浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-2003(春春)財(cái)會財(cái)會主講主講:鄭必平鄭必平浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您第二章一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)2.1極限極限概念 數(shù)列數(shù)列及數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列是按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)簡記作，數(shù)列也看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)(n=1,2,-)稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。123,nx x xx nxf n nxnx浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您定義定義2.1給定一個數(shù)列,如果當(dāng)n無限增大時，無限地趨近某個固定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮時，數(shù)列以A為極限.記作這時，也稱數(shù)列收斂，即當(dāng)時，數(shù)列收斂于A。否則，如果當(dāng)n無限增大時不能趨近某個固

2、定的常數(shù)A，則稱當(dāng)時，數(shù)列發(fā)散。nxnxnxlimnnnxAxA n或nxnnxnxn nx7214lim 1.nnpn例 求浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義定義2.3設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)時的鄰域內(nèi)(點(diǎn)可以除外)有定義，如果當(dāng)x無限趨于(但)時，函數(shù)f(x)無限地趨近于某個固定常數(shù)A，則稱當(dāng)x趨于時，f(x)以A為極限，記作若自變量x趨于時，函數(shù)f(x)沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)處沒有極限。0 x0 x0 x0 xx0 x 00limxxf xAf xA xx或0 x0 x浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您例9求解y=c是常數(shù)函數(shù)，無論自變量如何變化，函數(shù)y始

3、終為常數(shù)c，說明常數(shù)函數(shù)的極限即為其自身。0limxc0limxcc010limxxx例求 解函數(shù)y=x，當(dāng)時,有即0 xx0y xx 00limxxxx浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您左極限左極限和右極限右極限定義2.4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)（點(diǎn)可以除外）有定義，如果當(dāng)x且無限趨于（即x從的左側(cè)趨于，記為）時，函數(shù)f(x)無限地趨近于固定常數(shù)L，則稱當(dāng)x趨于時，f(x)以L為左極限，記作如果當(dāng)x且x無限趨于（即x從的右側(cè)趨于，記為）時，函數(shù)f(x)無限趨近于固定常數(shù)R，則稱當(dāng)x趨于時，f(x)以R為右極限,記作0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 xx0 x 00limxxf xLf x

4、L或0 x0 x0 x0 x0 xx0 x浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 00limxxfxRfxR或定理定理2.1當(dāng)時，函數(shù)f(x)極限存在的充分必要條件是當(dāng)時，函數(shù)f(x)的左，右極限存在且相等，即0 xx0 xx 000limlimlimxxxxxxf xAf xf xA浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您2.2極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則定理2.3在某個變化過程中，如果變量u分別以A，B為極限，則有以下結(jié)論：（1）變量uv以AB為極限，即lim(uv)=AB(2)變量uv以AB為極限，即lim(uv)=AB(3)當(dāng)B0時，變量以為極限，即vuBABAvulim浙江

5、廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您nnnnnnAuuAnAuAuAukAukkulimlim,lim. 3lim,lim. 2lim)lim(. 1則存在，對正整數(shù)若推論則若推論推論浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您求下列極限求下列極限)3(lim. 13xx求6333limlimlim333xxxx解：)2(lim. 221xxx求11211lim2limlimlim)2(lim:111121xxxxxxxxxx解浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您1352lim.321xxxx求23461352lim65limlim)lim(2) 52(lim041lim3) 13(lim2111212111xxxxxxx

6、xxxxxxxxx所以又因?yàn)榻猓阂驗(yàn)檎憬瓘V播電視大學(xué)淳安分校歡迎您285lim. 422xxxx求285lim0852lim085lim02lim2222222xxxxxxxxxxxxx而）（，）（解： 浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您965lim. 5223xxxx求：6132lim965lim32)3)(3()3)(2(965322322xxxxxxxxxxxxxxxx解：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xxx11lim. 60求21111lim)11(lim)111111(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx解：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您56122lim. 722nnn

7、nn求：2561122lim/ ) 56(/ ) 122(lim56122lim22222222nnnnnnnnnnnnnnnnn解：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您兩個重要極限兩個重要極限exxxxxx)11 (lim.2; 1sinlim.10ezzx10)1 (lim或浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xxxtanlim.90求111cos1limsinlim)1cossin(limtanlim0000 xxxxxxxxxxxx解：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xkxxsinlim.100求：解解：將kx視為一個變量，即令kx=t，當(dāng)x0時，t0.于是有kkttkxkxxx1sinlimsin

8、lim00浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您21211cos11lim)sinlim(cos11cos1lim)cos1()cos1)(cos1(limcos1lim0202202020 xxxxxxxxxxxxxxxxx解：20cos1lim.11xxx求：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xxx2)11 (lim.12求：22222211lim11lim11lim)11()11(exxxxxxxxxxxxx解：浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xxx31lim.13 求：33333311lim31lim.,331lim31lim3131euxuxxuxxxxuxxxxxxxxx于是有時，當(dāng)令看成解：將

9、浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您2.3函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)與連續(xù)函數(shù)函數(shù)的連續(xù)與連續(xù)函數(shù) .lim6 .200000的連續(xù)點(diǎn)稱為處連續(xù)，點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)鄰域內(nèi)有定義并滿足在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定義xfxxxfxfxfxxfxx .limlim000000處右連續(xù)在點(diǎn)，則稱若處左連續(xù)；在點(diǎn)，則稱若xxfxfxfxxfxfxfxxxx函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) .limlim321000000 xfxfxfxxxxxxx存在，但是處有定義，且有極限在點(diǎn)處極限不存在；在點(diǎn)處沒有定義；在點(diǎn)浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您2.4 導(dǎo)數(shù)與微分的概念導(dǎo)數(shù)與微分的概念 xxfxxfxfdxdydxdfyxfxxfy

10、xxfyxxfxxfyxyxxxfxxfyyxxxxxfyxxxxxxxxx000000000000000lim|limlim007 . 2000即，或記為處的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)并稱此極限值為函數(shù)處可導(dǎo)，在點(diǎn)存在，則稱函數(shù)的極限時，兩個改變量之比若當(dāng)取得相應(yīng)的改變量時，函數(shù)取得改變量處在點(diǎn)變量的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定義浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您xxxxaanneyeyaayayxyxyxyxyxyxyaxexyxynxyxy1,ln,sin,coscos,sin1,lnln1log1,log,常見導(dǎo)數(shù)公式常見導(dǎo)數(shù)公式浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 .|,|9 . 20000000處可微在點(diǎn)

11、，并稱即處的微分，記作在點(diǎn)函數(shù)為的改變量，稱是自變量處可導(dǎo)，在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定義xxfxxfdydyxxfyxfxxxxyxxxxdxedyeyadxadyayxdxdyxyxdxdyxydxxdyxydxaxedxxdyxydxnxdyxyxxxxaann;ln;sin,cos;cos,sin;1,ln;ln1log1,log.,1浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您2.5導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則定理2.6設(shè)函數(shù)u（x），v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則u(x)+v(x)在點(diǎn)x處亦可導(dǎo)，且 xvxuxvxu定理2.7設(shè)函數(shù)u（x），v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則u(x)v(x)在點(diǎn)x處

12、亦可導(dǎo)，且 xvxuxvxuxvxu定理2.8設(shè)函數(shù)u（x），v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，v(x)0，則在點(diǎn)x處亦可導(dǎo)，且 xvxu xvxvxuxvxuxvxu2浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 223333cos03cos5sin5sin.5sin1xxxxxxxxyxxy解：的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)例xxexxxexxxexxxeyyxxxeyxxxxxsin2cos22cos2cos2,cos242222解：求設(shè)函數(shù)例浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 dxxdxydyxxxxxxxxxxxyxxy222212121111111111.115解：的導(dǎo)數(shù)和微分：求函數(shù)例浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 xuxxu

13、yyxufyxxfyxuufyxxuxuufy,9 . 2或處可以導(dǎo)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)且設(shè)定理復(fù)合函數(shù)的微分公式為dxuydxydyxu浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 3113030302160230213021,.218xuxuyyxuuyxyxu解：令的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)例 xxxxuxuyxuuyyxyxutancossinsin1coslncos,ln:cosln.10令解，求導(dǎo)數(shù)設(shè)例浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)設(shè)y=y（x）是由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)，將y=y(x)代入方程中，得到恒等式F(x,y(x)=0利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，恒等式

14、兩邊對自變量x求導(dǎo)數(shù)，視y為中間變量，就可以求得y對x的導(dǎo)數(shù).dxdy隱函數(shù)的微積分法實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用。浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 .,0220.1522222222yxyyyyxyyxayxxxyxxyyayxxyxxx得解出和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，的函數(shù)，方程兩邊對是解：方程中的導(dǎo)數(shù)對所確定的隱函數(shù)：求方程例浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您.31cot63131sin31cos31sin31sin1,31sinln182222222xxxxxxxyyxy解：求：設(shè)函數(shù)例 dxxxxdxdxxdxxxddxxdxxddxdddydyxxyxxxxx21233ln321233ln32121033ln321ln33:21ln33192223333解，求：設(shè)函數(shù)例浙江廣播電視大學(xué)淳安分校歡迎您 .sinsincossin0sincossin0cossin,., 0cossin20 xyxxxyxyyyyxyyxyxyxyxyxyxdxdyxyyxyxy，有解出求導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊對的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)：由方程例浙江廣播電視大學(xué)淳安