重視和發(fā)掘習(xí)題的潛功能

1、重視和發(fā)掘習(xí)題的潛功能烏魯木齊鐵二中高中部 楊 帆郵編830023，電辦公室）家庭），字?jǐn)?shù)：2142烏魯木齊市中學(xué)教學(xué)目標(biāo)與檢測（數(shù)學(xué)（高二上冊）達(dá)標(biāo)訓(xùn)練二填空題第一題是這樣的：已知a,b,c是ABC的三條邊，比較大?。╝bc）2 4（abbcca）。這道題的解答可以用特殊值法。取abc1，得（abc）29，4（abbcca）12，所以（abc）24（abbcca）。將這道題稍微變形，就是全日制普通高級中學(xué)教科書（實(shí)驗(yàn)修訂本·必修）數(shù)學(xué)第二冊（上）第31頁B組題的第6題：設(shè)a,b,c為ABC的三邊，求證：a2b2c22（abbc

2、ca）。這道題的解法緊緊圍繞三角形的邊的特征，依據(jù)不同的思維，不同的入口結(jié)合不等式證明的不同方法，可以得到不同的證法。并且依據(jù)已經(jīng)證明的結(jié)論，還可以進(jìn)行引申。1、常規(guī)思維法 不等式的證明最基本的方法就是求差比較法，基于此，有如下的解法：證法一a2b2c22（abbcca）a2 2abb2c22aca2c22bcb2a2b2c2（ab）2（ca）2（cb）2a2b2c2（ab）2c2（ca）2b2（cb）2a2（abc）（abc）（cab）（cab）（cba）（cba）又a,b,c為ABC的三邊abc0 abc0 cab0 cab0 cba0 cba0（abc）（abc）（cab）（cab）（c

3、ba）（cba）0 a2b2c22（abbcca）利用不同的組合，然舊利用求差比較法可以得到證法二 a2b2c22（abbcca） （a2abca）（b2abbc）（c2bcac） a（abc）b（bac）c（cba） a（bca）b（acb）c（bac）又a,b,c為ABC的三邊a0，b0，c0且abc，acb，bca利用同向正則不等式可以相乘，得到a（bca）b（acb）c（bac）0 a（bca）b（acb）c（bac）0a2b2c22（abbcca）2、利用分析法，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系和同向正則不等式可以相乘的性質(zhì)可以得到證法三：a,b,c為ABC的三邊a0，b0，c0且abc，acb

4、，bca利用同向正則不等式可以相乘，得到a(bc)a2 b(ac)b2c(ab)c2又 2（abbcca） abacbcbabcac a(bc)b(ac)c(ab)a2b2c2 a2b2c22（abbcca）在討論題目的證明過程中，有的同學(xué)想到了這樣的證明方法：證法四a,b,c為ABC的三邊abc， bca，acb（ab）2c2， （bc）2a2，（ac）2b2上述三個(gè)不等式相得（ab）（bc）2（ac）2a2b2c2即a2b2c22（abbcca）這種證明簡明扼要，非常優(yōu)秀，說明學(xué)生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由abc， bca，acb就一定推出（ab）2c2， （bc）2a2，（ac

5、）2b2的推理不嚴(yán)謹(jǐn)，師生共同改進(jìn)證明方法可以得到下列優(yōu)秀證法證明：a,b,c為ABC的三邊|ab|c， |bc|a，|ac|b（ab）2c2， （bc）2a2，（ac）2b2上述三個(gè)同向不等式相得（ab）（bc）2（ac）2a2b2c2即a2b2c22（abbcca）題目證明完成后，進(jìn)一步引申，可以得到下面的命題：已知a,b,c為ABC的三邊,求證關(guān)于x的不等式x2（abc）xabacbc0的解集為R。證明： a,b,c為ABC的三邊x2（abc）xabacb（x）2abacbc（x）24（abbcac）（abc）2由前面的命題可知（abc）24（abacbc） a2b2c22（abbcca） （a2abca）（b2abbc）（c2bcac） a（abc）b（bac）c（cba） a（bca）b（acb）c（bac）04（abbcac）（abc）20又（x）20（x）24（abbcac）（a