第2章邏輯函數(shù)及其化簡

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2章 邏輯函數(shù)及其化簡內(nèi)容提要本章是數(shù)字邏輯電路的基礎，主要內(nèi)容包含：（1）基本邏輯概念，邏輯代數(shù)中的三種基本運算（與、或、非）及其復合運算（與非、或非、與或非、同或、異或等）。（2）邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)律（變量和常量的關系、交換律、結合律、分配律、重疊律、反演律、調(diào)換律等）。（3）邏輯代數(shù)基本運算公式及三個規(guī)則（代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則）。（4）邏輯函數(shù)的五種表示方法（真值表法、表達式法、卡諾圖法、邏輯圖法及硬件描述語言）及其之間關系。本章主要講述了前三種。（5）邏輯函數(shù)的三種化簡方法（公式化簡法、卡諾圖法和QM法）。教學基本要求要求掌握：（1）邏輯代數(shù)的基本

2、定律和定理。（2）邏輯問題的描述方法。（3）邏輯函數(shù)的化簡方法。重點與難點本章重點：（1）邏輯代數(shù)中的基本公式、基本定理和基本定律。（2）常用公式。（3）邏輯函數(shù)的真值表、表達式、卡諾圖表示方法及其相互轉(zhuǎn)換。（4）最小項和最大項概念。（5）邏輯函數(shù)公式化簡法和卡諾圖化簡法。主要教學內(nèi)容2.1   邏輯代數(shù)中的三種基本運算和復合運算2.1.1 三種基本運算2.1.2 復合運算 2.2   邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)律 2.3   邏輯代數(shù)的常用運算公式和三個規(guī)則2.3.1 邏輯代數(shù)的常用運算公式2.3.2 邏輯代數(shù)的三個規(guī)則 2.4 

3、;  邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.1 邏輯函數(shù) 2.4.2 邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式2.4.4 邏輯函數(shù)的同或、異或表達式 2.5   邏輯函數(shù)化簡2.5.1 公式法化簡 2.5.2 卡諾圖化簡2.1   邏輯代數(shù)中的三種基本運算和復合運算2.1.1 三種基本運算1. 與運算（邏輯乘）2. 或運算（邏輯加）3. 非運算（邏輯非）2.1.2 復合運算1. 與非運算與非運算是與運算和非運算的組合，先進行與運算，再進行非運算。2. 或非運算或非運算是或運算和非運算的組合，先進行或運算，再進行非運算。3. 與或非運算與或非運算

4、是與運算、或運算和非運算的組合，先進行與運算，再進行或運算，最后進行非運算。4. 同或運算同或邏輯是這樣一種邏輯關系，當A、B相同時，輸出P為1；當A、B不相同時，輸出P為0。5. 異或運算異或邏輯與同或邏輯相反，當A、B不相同時，輸出P為1；當A、B相同時，輸出P為0。2.2 邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)律 表221列出了邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)律。表221 邏輯代數(shù)基本公式以上基本公式也叫布爾恒等式，其正確性均可用真值表證明。對于異或、同或邏輯運算也有相類似的基本運算公式，如表222所示。表222 異或和同或邏輯運算的基本公式和基本規(guī)律必須說明的是，調(diào)換律是同或、異或的特殊規(guī)律，它說明等式兩邊的

5、變量是可以調(diào)換的。利用調(diào)換律可以證明：例21 證明。證：對于同或和異或函數(shù)，非運算也可以調(diào)換，即根據(jù)同或和異或重疊律可以推廣為（1）奇數(shù)個A重疊同或運算得A，偶數(shù)個A 重疊同或運算得 1。（2）奇數(shù)個A重疊異或運算得A，偶數(shù)個A 重疊異或運算得 0。2.3   邏輯代數(shù)的常用運算公式和三個規(guī)則2.3.1 邏輯代數(shù)的常用運算公式表231列出了邏輯代數(shù)的常用公式。以上各公式在公式法化簡中可以消去多余變量和多余乘積項。2.3.2 邏輯代數(shù)的三個規(guī)則1.代入規(guī)則任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)變量A的地方都代之以一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。利用代入規(guī)則可以擴大邏輯代數(shù)等

6、式的應用范圍。2.反演規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)表達式F，如果將F中所有的“·”換為“+”，所有的“+”換為“·”，所有的0換為1，所有的1換為0，所有的原變量換為反變量，所有的反變量換為原變量，則得到一個新的函數(shù)式為F。F為原函數(shù)F的反函數(shù)，它是反演律的推廣。利用反演規(guī)則可以很方便地求出反函數(shù)。例22 求邏輯函數(shù)F的反函數(shù)解（1）根據(jù)反演規(guī)則 （2）如果將作為一個整體，則 （3）如果將作為一個變量，則以上三式等效，但繁簡程度不同。3. 對偶規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)表達式F，如果將F中所有的“·”換為“+”，所有的“+”換為“·”； 所有的0換為1，所有的

7、1換為0，則得到一個新的函數(shù)表達式F*，F(xiàn)*稱為F的對偶式。在證明或化簡邏輯函數(shù)時，有時通過對偶式來證明或化簡更方便。邏輯代數(shù)中邏輯運算的規(guī)則是“先括號，然后乘，最后加”的運算優(yōu)先次序。在以上三個規(guī)則應用時，都必須注意與原函數(shù)的運算順序不變。2.4   邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.1 邏輯函數(shù)如果以邏輯變量作為輸入，以運算結果作為輸出，則輸出與輸入之間是一種函數(shù)關系，這種函數(shù)關系稱為邏輯函數(shù)。任何一個具體的因果關系都可以用邏輯函數(shù)來描述它的邏輯功能。2.4.2 邏輯函數(shù)的描述方法邏輯函數(shù)的描述方法有真值表、函數(shù)表達式、卡諾圖、邏輯圖及硬件描述語言。有關卡諾圖及硬件描述語言將

8、在后面敘述。1.真值表求出邏輯函數(shù)輸入變量的所有取值下所對應的輸出值，并列成表格，稱為真值表。例23 有a、b、c三個輸入信號，只有當a為1，且b、c至少有一個為1時輸出為1，其余情況輸出為0。解 a、b、c三個輸入信號共有8種可能，如表241左邊所列。對應每一個輸入信號的組合均有一個確定輸出。根據(jù)題意，如表241右邊所列，則表241即為例23所述問題的真值表。表241 例23真值表2. 邏輯函數(shù)表達式將輸出和輸入之間的關系寫成與、或、非運算的組合式就得到邏輯函數(shù)表達式。根據(jù)例23中的要求及與、或邏輯的基本定義，“b、c中至少有一個為1”可以表示為或邏輯關系(b+c)，同時還要a為1，可以表示

9、為與邏輯關系，寫成a(b+c)。因此可以得到例23的邏輯函數(shù)表達式3. 邏輯圖將邏輯函數(shù)表達式中各變量之間的與、或、非等邏輯關系用邏輯圖形符號表示，即得到表示函數(shù)關系的邏輯圖。例23的邏輯圖如圖241所示。圖 241 例23的邏輯圖4. 各種描述方法之間的相互轉(zhuǎn)換（1）由真值表寫出邏輯函數(shù)表達式。一般方法為： 由真值表中找出使邏輯函數(shù)輸出為1的對應輸入變量取值組合。 每個輸入變量取值組合狀態(tài)以邏輯乘形式表示，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0。 將所有使輸出為1的輸入變量取值邏輯乘進行邏輯加，即得到邏輯函數(shù)表達式。例24 由表242寫出邏輯函數(shù)表達式。解 由表242可見，使F=1的

10、輸入組合有abc為000、001、010、100和111，對應的邏輯乘為a b c、a b c、abc、ab c和abc，所以邏輯函數(shù)表達式為表242真值表（2）由邏輯函數(shù)表達式列真值表將輸入變量取值的所有狀態(tài)組合逐一列出，并將輸入變量組合取值代入表達式，求出函數(shù)值，列成表，即為真值表。（3）由邏輯函數(shù)表達式畫邏輯圖用邏輯圖符號代替函數(shù)表達式中的運算符號，即可畫出邏輯圖。例25 已知邏輯函數(shù)表達式為，試畫出相應邏輯圖。解 用與、或、非等邏輯圖符號代替表達式中的運算符號，按運算的優(yōu)先順序連接起來，如圖242所示。圖 242 例25邏輯圖（4）由邏輯圖寫邏輯函數(shù)表達式從輸入端開始逐級寫出每個邏輯圖

11、形符號對應的邏輯運算，直至輸出，就可以得到邏輯函數(shù)表達式。2.4.3 邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)的標準形式有最小項表達式（標準與或式）和最大項表達式（標準或與式）。1. 最小項表達式（標準與或式）在一個邏輯函數(shù)的與或表達式中，每一個乘積項（與項）都包含了全部輸入變量，每個輸入變量或以原變量形式，或以反變量形式在乘積項中出現(xiàn)，并且僅僅出現(xiàn)一次，這樣的函數(shù)表達式稱為標準與或式。由于包含全部輸入變量的乘積項稱為最小項，所以全部由最小項邏輯加構成的與或表達式又稱為最小項表達式。（1）最小項的性質(zhì)由于最小項包含了全部輸入變量，且每個輸入變量均以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，所以有以下性質(zhì)： 在輸入變量的任

12、何取值下必有一個最小項，而且只有一個最小項的值為1。 全部最小項之和為1。 任意兩個最小項的乘積為0。（2）最小項編號假設一個3變量函數(shù)，ABC為其最小項，只有當A=1，B=0，C=1時才會使最小項ABC=1，如果將ABC取值101看作二進制數(shù)，那么它所表示的十進制數(shù)為5，為了以后書寫及使用方便，記作m5。據(jù)此，可以得到3變量最小項編號表，如表243所示。表243 3變量最小項和最大項（3）如何求最小項表達式 由真值表寫出的邏輯函數(shù)表達式為最小項表達式，因此對一個任意的邏輯函數(shù)表達式可以先轉(zhuǎn)換成真值表，再寫出最小項表達式。例26 將F=AB+BC 轉(zhuǎn)換成最小項表達式。解 F=AB+BC 的真值

13、表如表244所示。 表244 例26真值表 利用A=AB+AB把非標準與或式中每一個乘積項所缺變量補齊，展開成最小項表達式。如例26中，F(xiàn)是包含A、B、C三變量的函數(shù)，則2. 最大項表達式（標準或與式）（1）最大項的性質(zhì)最大項是指這樣的和項，它包含了全部變量，每個變量或以原變量或以反變量的形式出現(xiàn)，且僅僅出現(xiàn)一次，因此：在輸入變量的任何取值下，必有一個最大項，而且只有一個最大項的值為0。全體最大項之積為0。任意兩個最大項之和為1。（2）最大項編號見表243最右列。全部由最大項組成的邏輯表達式為標準或與表達式，又稱為最大項表達式。（3）如何求最大項表達式 由真值表可以直接寫出最大項表達式。將真值

14、表中輸出為0的一組輸入變量組合狀態(tài)（用原變量表示變量取值0，用反變量表示變量取值1）用邏輯加形式表示，再將所有的邏輯加進行邏輯乘，就得到標準或與表達式。對于任意一個函數(shù)表達式均可先列真值表，再寫出標準或與式（最大項表達式）。如由表243可以寫出例26函數(shù)F的最大項表達式為 利用A=(A+B)(A+B)，將每個和項所缺變量補齊，展開成最大項表達式。（4）最小項表達式與最大項表達式的關系如果有一個函數(shù)的最小項表達式為則其最大項表達式為ji，j為2n個編號中除去i以外的號碼。如上例中2.5   邏輯函數(shù)化簡2.5.1 公式法化簡所謂化簡就是使邏輯函數(shù)中所包含的乘積項最少，而且每個

15、乘積項所包含的變量因子最少，從而得到邏輯函數(shù)的最簡與或邏輯表達式。邏輯函數(shù)化簡通常有以下三種方法：（1）公式化簡法又稱代數(shù)法，利用邏輯代數(shù)公式進行化簡。它可以化簡任意邏輯函數(shù)，但取決于經(jīng)驗、技巧、洞察力和對公式的熟練程度。（2）卡諾圖法又稱圖解法。卡諾圖化簡比較直觀、方便，但對于5變量以上的邏輯函數(shù)就失去直觀性。（3）QM法又稱為列表法。這種方法適合于機器運算，已有數(shù)字電路計算機輔助分析程序。公式法化簡常用以下四種方法：1. 合并法常用公式AB+AB=A，兩項合并為一項。2. 吸收法常用公式A+AB=A及AB+AC+BCD.=AB+AC，消去多余項。3. 消去法常用公式A+AB=A+B，消去多

16、余因子。4. 配項法常用公式A+A=1，將某乘積項乘以（A+A），一項展開成兩項，或利用公式AB+AC=AB+AC+BC，配BC項。配項的目的是為了和其他乘積項合并，以達到最簡的目的。例28 化簡函數(shù)。解 例29 化簡函數(shù)F=(A+B)(A+B)(B+C)(A+C)。解 求F的對偶式再求F*的對偶式例210 化簡函數(shù)解 2.5.2 卡諾圖化簡1. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法所謂卡諾圖就是將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，最小項按循環(huán)碼（即相鄰兩組之間只有一個變量取值不同的編碼）規(guī)則排列組成的方格圖。圖251（a）和（b）分別為3變量函數(shù)和4變量函數(shù)的卡諾圖。圖251 3變量函數(shù)和4變量函

17、數(shù)的卡諾圖n變量的卡諾圖可以表示n變量的邏輯函數(shù)。若，則在卡諾圖對應的mi最小項的方格中填1，其余填0。2. 卡諾圖合并最小項規(guī)律將2i個相鄰的1格進行合并（卡諾圖中加圈表示），合并成一項，該乘積項由（ni）個變量組成。3. 卡諾圖化簡的基本步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，一般按如下步驟進行：（1）作出描述邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）圈出沒有相鄰的1格。（3）找出只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)，把含有2i個相鄰1格圈在一起，構成一個合并乘積項。（4）余下沒有被包含的1格有兩種或兩種以上合并可能，選擇既能包含全部1格又使圈數(shù)最少的合并方法，使卡諾圖中全部1格均被覆蓋。例211 用卡諾圖化簡F=AB+B

18、 D+BCD+A BC。解 卡諾圖如圖252所示，化簡得F=AB+B D+ACD。圖252 例211卡諾圖例212 已知求F=XY的最簡與或邏輯表達式。解 要求F的卡諾圖，可以通過X和Y卡諾圖進行異或運算，即X、Y兩卡諾圖相同位置上的數(shù)值進行異或運算，得F的卡諾圖，如圖253所示。對F化簡得F=B+AC+AD。圖 253自我檢測題 1. 判斷以下邏輯關系（正確打，錯誤打×）：（1）若A=B，則AB=A。 ( )（2）若AB=AC，則B=C。 ( )（3）若A+B=A+C，則B=C。 ( )（4）若A+B=A+C且AB=AC，則B=C。 ( ) 2. 判斷下列函數(shù)F1和F2有何關系？為什么？