等差數(shù)列專題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識點回顧與技巧點撥1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示2等差數(shù)列的通項公式若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則其通項公式為ana1(n1)d(nm)dp.3等差中項如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，如果A是x和y的等差中項，則A.4等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若

2、an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項)5等差數(shù)列的前n項和公式若已知首項a1和末項an，則Sn，或等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Snna1d.6等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Snn2n，數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是SnAn2Bn(A，B為常數(shù))7最值問題在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值，若a10，d0，則Sn存在最小值 一個推導利用倒序相加法推導等差數(shù)

3、列的前n項和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設元(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設元四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而

4、不能用來證明等差數(shù)列回顧：1已知等差數(shù)列an中，a3=9，a9=3，則公差d的值為（）AB1CD12已知數(shù)列an的通項公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（）A以7為首項，公差為2的等差數(shù)列B以7為首項，公差為5的等差數(shù)列C以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D不是等差數(shù)列3在等差數(shù)列an中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（）A23B24C25D264兩個數(shù)1與5的等差中項是（）A1B3C2D5（2005黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考點1:等差數(shù)列的通項與前n項和題型1：已知等差數(shù)列的某些項，

5、求某項【解題思路】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質，再考慮基本量法【例1】已知為等差數(shù)列，則 解：方法1：方法2：，方法3：令，則方法4：為等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，設其公差為，則為首項，為第4項.方法5：為等差數(shù)列，三點共線 對應練習：1、已知為等差數(shù)列，（互不相等），求.2、已知個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個數(shù).題型2：已知前項和及其某項，求項數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式求出及，代入可求項數(shù)； 利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出，代入可求項數(shù).【例2】已知為等差數(shù)列的前項和，求解：設等差數(shù)列的首項為，公差為，則對應練習：3、若一個等差數(shù)列的前4項和為36，后4

6、項和為124，且所有項的和為780，求這個數(shù)列的項數(shù).4.已知為等差數(shù)列的前項和，則 .題型3：求等差數(shù)列的前n項和【解題思路】（1）利用求出，把絕對值符號去掉轉化為等差數(shù)列的求和問題.（2）含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【例3】已知為等差數(shù)列的前項和，. （1） ； 求；求.解：，當時，當時，當時， .由，得，當時，；當時，.（1）； ；（3）時， 當時， 對應練習：5、已知為等差數(shù)列的前項和，求.考點2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列； 2、中項法：()是等差數(shù)列；3、通項公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列；4、

7、項和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列.【例4】已知為等差數(shù)列的前項和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.解：方法1：設等差數(shù)列的公差為，（常數(shù)）數(shù)列是等差數(shù)列.方法2：，數(shù)列是等差數(shù)列.對應練習：6、設為數(shù)列的前項和， （1） 常數(shù)的值； （2） 證：數(shù)列是等差數(shù)列.考點3 :等差數(shù)列的性質【解題思路】利用等差數(shù)列的有關性質求解.【例5】1、已知為等差數(shù)列的前項和，則 ；2、知為等差數(shù)列的前項和，則 .解：1、；2、方法1：令，則.，；方法2：不妨設 .，；方法3：是等差數(shù)列，為等差數(shù)列三點共線.對應練習：7、含個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（ ） 8.設、分別是等差數(shù)列、的前項和，則 .

8、考點4： 等差數(shù)列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用與的關系式及等差數(shù)列的通項公式可求；2、求出后，判斷的單調性.【例6】已知為數(shù)列的前項和，；數(shù)列滿足：，其前項和為1 數(shù)列、的通項公式； 設為數(shù)列的前項和，求使不等式對都成立的最大正整數(shù)的值.解：，當時，； 當時， 當時，；，是等差數(shù)列，設其公差為.則，.2 ，是單調遞增數(shù)列.當時，對都成立所求最大正整數(shù)的值為.對應練習：9.已知為數(shù)列的前項和，.1 數(shù)列的通項公式；數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由.課后練習：1.(2010廣雅中學)設數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項和，

9、則A B C D2.在等差數(shù)列中，則 .3.數(shù)列中，當數(shù)列的前項和取得最小值時， . 4.已知等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其公差是 . 5.設數(shù)列中，則通項 . 6.從正整數(shù)數(shù)列中刪去所有的平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的第項是 .答案與解析：對應練習：1、【解析】2、【解析】設這個數(shù)分別為則解得當時，這個數(shù)分別為：；當時，這個數(shù)分別為：3、【解析】4、【解析】設等差數(shù)列的公差為，則.5、【解析】方法1：設等差數(shù)列的公差為，則；方法2：6、【解析】，由知：，當時，數(shù)列是等差數(shù)列.7、【解析】（本兩小題有多種解法），.選B.8、【解析】 填.9、【解析】當時，且，是以為公差的等差數(shù)列，其首