示范教案（3．3圓周角和圓心角的關系第5課時）

1、第五課時課 題 332 圓周角和圓心角的關系(二)教學目標 (一)教學知識點 1掌握圓周角定理幾個推論的內容 2會熟練運用推論解決問題 (二)能力訓練要求 1培養(yǎng)學生觀察、分析及理解問題的能力 2在學生自主探索推論的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學習方式 (三)情感與價值觀要求 培養(yǎng)學生的探索精神和解決問題的能力.教學重點 圓周角定理的幾個推論的應用教學難點 理解幾個推論的“題設”和“結論”教學方法 指導探索法教具準備 投影片三張 第一張：引例(記作332 A) 第二張：例題(記作332 B) 第三張：做一做(記作332 C)教學過程 創(chuàng)設問題情境，引入新課 師請同學們回憶一下

2、我們前幾節(jié)課學習了哪些和圓有關系的角?它們之間有什么關系? 生學習了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即圓周角定理 師我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數(shù)學思想方法? 生分類討論、化歸、轉化思想方法 師同學們請看下面這個問題：(出示投影片332 A)已知弦AB和CD交于O內一點P，如下圖求證：PAPB=PCPD 師生共析要證PAPBPCPD，可證由此考慮證明以PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似由于圖中沒有這兩個三角形，所以考慮作輔助線AC和BD要證PACPDB由已知條件可得APC與DPB相等，如能再找到一對角相等如AD或CB便可證得所求結

3、論如何尋找A=D或C=B.要想解決這個問題我們需先進行下面的學習 講授新課 師請同學們畫一個圓，以A、C為端點的弧所對的圓周角有多少個?(至少畫三個)它們的大小有什么關系?你是如何得到的? 生 弧AC所對的圓周角有無數(shù)個，它們的大小相等，我是通過度量得到的 師大家想一想，我們能否用驗證的方法得到上圖中的ABCADCAEC?(同學們互相交流、討論) 生由圖可以看出，ABC、ADC和AEC是同弧(弧AC)所對的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學的圓周角定理可知，它們都等于圓心角AOC的一半，所以這幾個圓周角相等 師通過剛才同學的學習，我們上面提出的問題A=D或CB找到答案了嗎? 生找到了，它們屬于同弧所對

4、的圓周角由于它們都等于同弧所對圓心角的一半，這樣可知AD或CB 師如果我們把上面的同弧改成等弧，結論一樣嗎? 生一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，這樣，我們便可得到等弧所對的圓周角相等 師通過我們剛才的探討，我們可以得到一個推論 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等 師若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結論成立嗎?請同學們互相議一議 生如右圖，結論不成立因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在弦不是 直徑的情況下是不相等的. 注意：(1)“同弧”指“同一個圓” (2)“等弧”指“在同圓或等圓中” (3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦” 師接下來我們看下

5、面的問題： 如右圖，BC是O的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角，還是鈍角?你是如何判斷的?(同學們互相交流，討論) 生直徑BC所對的圓周角是直角，因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是BOC=180，所以BAC=90 師反過來，在右圖中，如果圓周角BAC=90，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心O嗎?為什么? 生弦BC經(jīng)過圓心O，因為圓周角BAC=90連結OB、OC，所以圓心角BOC=180，即BOC是一條線段，也就是BC是O的一條直徑 師通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論： 直徑所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑 注意：這一推論應用非常廣泛，一般地，如果

6、題目的已知條件中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角直角：如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑即可解決問題 師為了進一步熟悉推論，我們看下面的例題(出示投影片332 B) 例如圖示，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系?為什么? 師生共析由于AB是O的直徑，故連接AD由推論直徑所對的圓周角是直角，便可得ADBC，又因為ABC中，ACAB，所以由等腰三角形的二線合一，可證得BD=CD 下面哪位同學能敘述一下理由? 生BD=CD理由是： 連結AD AB是O的直徑， ADB=90 即ADBC 又ACAB, BDCD 師通過我們學習圓周角定理及推論，大家互

7、相交流，討論一下，我們探索上述問題時，用到了哪些方法?試舉例說明 生在得出本節(jié)的結論過程中，我們用到了度量與證明的方法，比如說在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；還學到了分類與轉化的方法比如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎，其他兩種情況都可以轉化為第一種情況來解決，再比如說，學習圓周角定義時，可由前面學習列的圓心角類比得出圓周角的概念 .P107 隨堂練習 1為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形？說一說這種設計的合理性 答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等 2如下圖，哪

8、個角與BAC相等?答：BDCBAC 3. 如下圖，O的直徑AB10 cm，C為O上的一點，ABC30，求AC的長 解：AB為O的直徑 ACB=90 又ABC=30， AC=AB=10=5(cm) 4小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形，根據(jù)下圖，你能判斷哪個是半圓形?為什么?答：圖(2)是半圓形、理由是：90的圓周角所對的弦是直徑 下面我們一起來看一個問題：做一做(出示投影片 332 C)船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁，如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內，C表示一個危險臨界點，ACB就是“危險角”當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時

9、，就有可能觸礁；當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁(1)當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域?為什么?(2)當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域?為什么? 分析：這是一個有實際背景的問題，由題意可知：“危險角” ACB實際上就是圓周角，船P與兩個燈塔的夾角為，P有可能在O外，P有可能在O內，當C時，船位于暗礁區(qū)域內；當C時，船位于暗礁區(qū)域外，我們可采用反證法進行論證 解：(1)當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角” C時，船位于暗礁區(qū)域內(即O內)，理由是： 連結BE，假設船在(O上，則有=C，這與C矛盾，所以船不可能在O上；假設船在O外，則有AEB

10、，即C，這與C矛盾，所以船不可能在O外因此船只能位于O內 (2)當船與兩個燈塔的夾角小于“危險角” C時，船位于暗礁區(qū)域外(即O外)理由是： 假設船在O上，則有C，這與AEB，即C這與C矛盾，所以船不可能在O內，因此，船只能位于O外 注意：用反證法證明命題的一般步驟： (1)假設命題的結論不成立； (2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾 (3)山矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確 課時小結 本節(jié)課我們學習了圓周角定理的2個推論，結合我們上節(jié)課學到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對的圓心角，弧，弦、弦心距之間的關系，實現(xiàn)了圓中這些量之間相等關系的轉化，而圓周角定

11、理建立了圓心角與圓周角之間的關系，因此，最終實現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)，線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關系的相等相互轉化，從而為研究圓的性質提供了有力的工具和方法 .課后作業(yè) 課本P108 習題35 活動與探究1 如下右圖，BC為O的直徑，ADBC于D，P是弧AC上一動點，連結PB分別交AD、AC于點E、F (1)當弧PA=弧AB時，求證：AE=EB； (2)當點P在什么位置時，AF=EF，證明你的結論 過程(1)連結AB證AE=EB需證ABEBAE (2)執(zhí)果索因尋條件：要AF=EF，即要AAEF，而AEF=BED，而要A=BED，只需BC，從而轉化為弧PC=弧AB 結果(1)證明：延長AD交O于點M，連結AB、BM BC為O的直徑，ADBC于D 弧AB=弧BM BADBMD 又弧AB=弧AP， ABP=BMD BADABP AEBE (2)當弧PC=弧AB時，AF=EF 證明：弧PC=弧AB， PBC=ACB 而AEFBED90-PBC， EAF=90-ACB AEF=EAF AF=EF板書設計 332 圓周角和圓心角的關系(二)一、推論一： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等二、推論二： 直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑三、例題四、隨堂練