彈性力學(xué)_第六章 平面問(wèn)題的基本理論

1、彈性力學(xué)彈性力學(xué)第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-102022-3-73 xyxyyx、2022-3-742022-3-75 圖圖 6-1 2tz0)(0)(0)(2tzyz2tzxz2tzz，000yzxzz，zxzy00，0,0zw但2022-3-76 2022-3-772022-3-78 zxzyz=000，zxzy0,00w，)(yxz2022-3-79第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5

2、6-66-7 6-8 6-9 6-10 圖圖 6-32022-3-7112022-3-712 0 xyF0F0,cM， 0Mc02dy1dx2dy1dx)dyy(2dx1dy2dx1dy)dxx(yxyxyxxyxyxyyxxy6-1 2022-3-7130Fx01dxdyf1dx1dx)dyy(1dy1dy)dxx(xyxyxyxxxx0Fy00yyxyxyxxfyxfyx 6-2 2022-3-714xyyx2022-3-715第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 設(shè)設(shè)x

3、，y坐標(biāo)面上一點(diǎn)坐標(biāo)面上一點(diǎn)P的應(yīng)力分量為的應(yīng)力分量為 如圖如圖6-4a所示。在校核強(qiáng)度條件時(shí)，還需要求出通過(guò)此點(diǎn)所示。在校核強(qiáng)度條件時(shí)，還需要求出通過(guò)此點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。在的任一斜面上的應(yīng)力。在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面點(diǎn)附近取一個(gè)平面AB，它平行于該斜面，并與經(jīng)過(guò)它平行于該斜面，并與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)而垂直于點(diǎn)而垂直于x軸和軸和y軸的軸的兩個(gè)平面劃出一個(gè)微小的三棱柱兩個(gè)平面劃出一個(gè)微小的三棱柱PAB，圖，圖6-4b。當(dāng)面。當(dāng)面積積AB無(wú)限減小而趨于無(wú)限減小而趨于P點(diǎn)時(shí)，平面點(diǎn)時(shí)，平面AB上的應(yīng)力就是上的應(yīng)力就是P點(diǎn)在上述斜面上的應(yīng)力。現(xiàn)設(shè)斜面上的全應(yīng)力點(diǎn)在上述斜面上的應(yīng)力?，F(xiàn)設(shè)斜面上的全應(yīng)力p可可以分解

4、為沿坐標(biāo)向的分量以分解為沿坐標(biāo)向的分量 ，或沿法向和切向，或沿法向和切向的分量的分量 ，如圖，如圖 6-4b所示。所示。 ,xyxy,xypp,nn 2022-3-7176.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖圖 6- 4用用n代表斜面代表斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：的外法線方向，其方向余弦為： mynlxn,cos,cos，2022-3-7186.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 00yxFF，0 xxyxpABPAPB0yxyypABPBPAdsmdslds及2/ldsmdsxxxyyyxyplmpml 6-3 2022-3-7196.3 平面

5、問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 。,xyppxynyxnmplpmplp，xyyxnlmml222xyxynmllm226-4 6-5 nn及切應(yīng)力。 2022-3-7206.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) ： mplpyx，2022-3-7216.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)lmyxyxyxlmlm， 022xyyxyxxyyxyx221226-6 yx216-7 （a） 2022-3-7226.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1101111111cos 90sintancoscosmlxyx11tan22yxy

6、22tan（b） 2022-3-7236.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)再利用式（再利用式（6-7），可得：），可得： xxy12tan（c） 1tantan21 212022-3-7246.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 1122210yxxy，（d） ：2212mln2022-3-7256.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)122ml2212)( lnn122022-3-7266.3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)12221242122141llllmn2022-3-70212ln22l221 276.3 平面

7、問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 ,P A P B 圖 6-5 2022-3-7296.4 幾何方程幾何方程xuudxuuxdxx yvvdyvyvdyy2022-3-7306.4 幾何方程幾何方程 xyvuvvdxvvxdxx2022-3-7316.4 幾何方程幾何方程uy xyvuxyxvyuyvxuxyyx， 2022-3-7326.4 幾何方程幾何方程2022-3-7336.4 幾何方程幾何方程第六章第六章 6-1 6-

8、2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-1034 x xx xy yz zy yy yz zx xz zz zx xy yx x y yx x y yx x y yy y z zy y z zz z x xz z x x1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E2 21 1 + + 1 1= = =G GE E1 1= =G G1 1= =G G 6-10 2022-3-735 )1 (2EG 2022-3-736 0, 0, 0zyzxzx xx xy

9、yy yy yx xz zx xy yx x y yx x y yz z x xy y z z1 1= =- - E E1 1= =- - E E= = - -+ + E E2 21 1 + + = =E E= = 0 0= = 0 02022-3-737： xyxyxyyyxxEEE12116-12 )(Eyxz 2022-3-738 0, 0, 0zyzxz )(yxz2211112 1xxyyyxxyxyEEE2022-3-73911112 2E E =,E =,E =1-1-1-1-2022-3-740 xyyx,xyyx,第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

10、平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 （1）位移邊界條件）位移邊界條件 （2）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件 （3）混合邊界條件）混合邊界條件 svvsuuss，6-14 us su sv2022-3-742 s sfsfyx和xpyp sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 2022-3-743 ss,xypp,xyxy2022-3-744 , l m2022-3-745 2022-3-746第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6

11、-9 6-10 2022-3-748 yfyfylxxyxlxx（a） 2022-3-749xllh 2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/111111hhhhylxxyhhhhxlxxhhhhxlxxdyfdyydyfydydyfdy（b） 2022-3-750 2022-3-751第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-102022-3-7531. 求解平面問(wèn)題的一般過(guò)程求解平面問(wèn)題的一般過(guò)程 00yyxyxyxxfyxfyx（1）平衡微分方程平衡微分方程 6-2 xy

12、xyuxvyuvyx6-8 2022-3-754 xyxyxyyyxxEEE12116-12 xyxyxy2yyx2xE)1 (2)1(E1)1(E16-13 2022-3-7552022-3-756 svvsuuss，6-14 sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 , uxyxyxyyyxxEEE1211222022-3-7572022-3-758yuxvExuyvEyvxuExyyx121122 6-17 0f)yxu21x21y(1E0f)yx21yu21xu(1Ey222222x2222226-18 sysxlflf)yux(21)xuy(m1E)xyu(21m)yxu(1E2

13、2 6-19 2022-3-759 21EE換為2022-3-7601換為 2022-3-761第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10,xyxy2022-3-763 xvyuyvxuxyyx，xy對(duì)對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)和的二階導(dǎo)數(shù)和對(duì)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)相加，得：的二階導(dǎo)數(shù)相加，得： yxxvyuuxyxyyx2223232222yxyxyx即：2y22x2xy2xyyx（6-20） 上式稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。它表示在連續(xù)假定條件下，上式稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。它表示在連續(xù)假定條

14、件下， 形變分量形變分量 xyyx，不是互相獨(dú)立的，而是相關(guān)的，否則不是互相獨(dú)立的，而是相關(guān)的，否則 , u v不存在。不存在。 2022-3-764 222xyyx22()()2(1)yxx yxy （a） yyxyxxyxfyxf-xy （b） 2022-3-765 yxxy2022-3-766yfxfyxyx2yx2y22x2xy2 （c） )yfxf)(1 ()(yx(yxyx2222（6-21） )yfxf)(1 ()(yxyx2（ 6-21 ）22222yx 1代換后即可得出代換后即可得出)yfxf(1)(yxyx2222yx （ 6-22 ）2022-3-767 2022-3-7

15、68 sflmsfmlysxyyxsyxx （ ）,xyxy2022-3-769 2022-3-770第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)6-4 幾何方程幾何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 0)(yx2 （ 6-23 ）yxyx是調(diào)和函數(shù)。是調(diào)和函數(shù)。 因此，在平衡微分方程（因此，在平衡微分方程（6-2）及相容方程（）及相容方程（6-23）中，只包括）中，只包括 yxxyyx,三個(gè)未知數(shù)，利用這三個(gè)方程及應(yīng)力邊界條件三個(gè)未知數(shù)，利用這三個(gè)方程及應(yīng)力邊界條件（6-15）就可以進(jìn)行解題。）就可以進(jìn)行解題。 2022-3-7722

16、022-3-773 2022-3-774 。 yxxyyx,00yyxyxyxxfyxfyx0)(yx2(a) (b) 2022-3-775 0, yf, xfxyyyxx(c) 00yxyxyxyyxx(d) yxff,2022-3-776xfyyfx DyCx xfDyfC，2022-3-777()xyxyxyAx(e) 2022-3-778 xAxy)(xyxyyxByyBxy2022-3-779)yB(x,)y, x(A和yBxA)y, x(AdyBdxdyAxB 2022-3-780yx,x,y2xy22y22x yx, yfx, xfy2xyy22yx22x2022-3-781 通

17、過(guò)微分方程求得的應(yīng)力分量式（通過(guò)微分方程求得的應(yīng)力分量式（6-24）還需要滿足）還需要滿足相容方程（相容方程（6-23）。將式）。將式6-24代入代入6-23，得：，得：0)yfxxfy)(yx(y22x2222222022-3-782 式中式中 表示：表示：40)xy)(yx(22222222042022-3-783)yx( )yx(yyx2x222222224422444 2022-3-7844彈性力學(xué)彈性力學(xué)機(jī)電工程學(xué)院陳濤7-1 多項(xiàng)式解多項(xiàng)式解答答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)

18、數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式cybxa應(yīng)力分量：0, 0, 0yxxyyx應(yīng)力邊界條件：0YX結(jié)論：（1）線形應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式22cybxyax1.對(duì)應(yīng)于 ，應(yīng)力分量 。 2ax0,2, 0yxxyyxa7.1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答872022-3-72ax結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) ）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)

19、 ）的問(wèn)題。如圖7-1（a）。y0a0axyobbbbxyoa2a2xyoc2c22.對(duì)應(yīng)于 ，應(yīng)力分量 。 bxybyxxyyx, 0, 0結(jié)論：應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板受均布剪力問(wèn)題。如圖7-1（b）。bxy圖7-1（a）（b）（c）882022-3-7x3.應(yīng)力函數(shù) 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設(shè) ）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè) ）的問(wèn)題。如圖7-1（c）。2cy0c0c三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式3ay對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：0, 0,6yxxyyxay結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。如圖7-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx圖xy圖7-21892022-3-

20、7具體解法如下:如圖7-2,取單位寬度的梁來(lái)考察,并令每單位寬度上力偶的矩為 。這里 的因次是力長(zhǎng)度/長(zhǎng)度，即力。MM在左端或右端，水平面力應(yīng)當(dāng)合成為力偶，而力偶的矩 ，這就要求：M2222, 0hhhhxxMydydy222226 , 06hhhhMdyyaydya前一式總能滿足，而后一式要求：32hMa 代入式（a），得：0, 0,123yxxyyxyhM將式（a）中的 代入，上列二式成為：x902022-3-7因?yàn)榱航孛娴膽T矩是 ，所以上式可改寫(xiě)為：1213hI0, 0,yxxyyxyIM結(jié)果與材料力學(xué)中完全相同。注意：注意： 對(duì)于長(zhǎng)度 遠(yuǎn)大于深度 的梁，上面答案是有實(shí)用價(jià)值的；對(duì)于長(zhǎng)度

21、 與深度 同等大小的所謂深梁，這個(gè)解答是沒(méi)有什么實(shí)用意義的。lhlh912022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法 以矩形梁的純彎曲問(wèn)題為例，說(shuō)明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。一、平面應(yīng)力的情況一、平面應(yīng)力的情況 將應(yīng)力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(17.2 位移分量的求出位

22、移分量的求出932022-3-7得形變分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再將式（a）代入幾何方程：yuxvyvxuxyyx得：0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式積分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式1f2f942022-3-7得：xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左邊只是 的函數(shù)，而等式右邊只是 的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù) 。于是有：yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21積分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022v

23、xxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常數(shù) 、 、 須由約束條件求得。0u0v（d）952022-3-7（一）簡(jiǎn)支梁（一）簡(jiǎn)支梁如圖7-3（a），約束條件為：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu代入式（d），就得到簡(jiǎn)支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁軸的撓度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxylMMoxyl圖7-3（a）（b）962022-3-7（二）懸臂梁（二）懸臂梁如圖7-3（b），約束條件為：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得

24、出：EIMlEIMlvu,2, 0200代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁軸的撓度方程：20)(2)(xlEIMvy二、平面應(yīng)變的情況二、平面應(yīng)變的情況 只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的 換為 ， 換為 即可。E21E1972022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7

25、.3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷 設(shè)有矩形截面的簡(jiǎn)支梁，深度為 ，長(zhǎng)度為 ，受均布載荷 ，體力不計(jì)，由兩端的反力 維持平衡。如圖7-4所示。取單位寬度的梁來(lái)考慮，可視為平面應(yīng)力問(wèn)題。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h圖7-4 用半逆解法。假設(shè) 只是 的函數(shù)：xy)(yfy則：)(22yfx對(duì) 積分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。)(1yf)(2yf（a）（b）992022-3-7 現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對(duì) 求四階導(dǎo)數(shù)：將以上結(jié)果代入相容方程，得：4244144424422224

26、44)()(2)(,)(, 0dyyfddyyfdxdyyfdxydyyfdyxx0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容條件要求此二次方程有無(wú)數(shù)的根(全梁內(nèi)的 值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。即：x0)(2)(, 0)(, 0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd1002022-3-7前面兩個(gè)方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(第三個(gè)方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：234523232610)

27、()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（f）（g）（h）1012022-3-7這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù) 、 等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。ABK 因?yàn)?面是梁和荷載的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于 yz面。這樣， 和 應(yīng)當(dāng)是 的偶函數(shù)，而 應(yīng)當(dāng)是 的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見(jiàn)：yzxyxxyx0GFE 將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，三個(gè)

28、應(yīng)力分量變?yōu)椋?23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx 上式中共有六個(gè)待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（一）考察上下兩邊的邊界條件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq（i）1022022-3-7整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh由于這四個(gè)方程是獨(dú)立的，互不矛盾的，而且只包含四個(gè)未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqxhqxyyx

29、2362232264623333323（k）（l）（j）1032022-3-7（二）考察左右兩邊的邊界條件（二）考察左右兩邊的邊界條件 由于對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n） 將式（j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh積分，得：0K 將式（j）代入式（n），得：0)646(322332ydyHyyhqyhqlhh積分，得：hqhqlH10321042022-3-7將式 （l）代入，上式成為：2223)236(hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：22)(hhlxxyq

30、ldy將 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK將式 （p）、（k）、（l）整理，得應(yīng)力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）1052022-3-7式（q）可以改寫(xiě)為：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(各應(yīng)力分量沿鉛直方向的變化大致如圖7-5所示。 在 的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項(xiàng)是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)。對(duì)于通常的淺梁，修正項(xiàng)很小，可以不計(jì)。對(duì)于較深的梁，則需注意修正項(xiàng)。xy 的最大絕對(duì)值是 ，發(fā)生

31、在梁頂。在材料力學(xué)中，一般不考慮這個(gè)應(yīng)力分量。 和材料力學(xué)里完全一樣。 qxyxyxy圖7-52h2h1062022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力 設(shè)有楔形體,如圖7-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直角成角 ，下端無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為 ，液體的密度為 ，試求應(yīng)

32、力分量。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：gxy2Ngoxyyx圖圖圖圖7-6（a）（b）1082022-3-7 取坐標(biāo)軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：3223eycxyybxax（二）邊界條件（二）邊界條件左面（ ）應(yīng)力邊界條件：0 x0)( ,)(00 xxyxxgy這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量（一）應(yīng)力分量 在該問(wèn)題中，體力分量 ，所以應(yīng)力分量的表達(dá)式為：gYX , 0cybxyxgybyaxYyxeycxXxyxyyx22266222222（a）1092022-3-7右面（ ）， ，應(yīng)力邊界條件：ytgx 0YX0)()(0)()(ytgxxyytgxyytgxxyytgxxlmml將

33、式（a）代入，得：02,6cygyey0, 6/cge代入式（a），得：bxgybyaxgyyxxyyx226（b）將式（b）代入，得：0)(2602gmltgmbamtgglbmtg（c）又：sin)90cos(),cos(,cos),cos(0yNmxNl1102022-3-7代入式（c），得：3236,2ctggctggactggb將這些系數(shù)代入式（b），得：223)()2(gxctgyggctgxgctggctggyyxxyyx各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖7-6b所示。注意：注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無(wú)限長(zhǎng)的。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這里不是一個(gè)平面問(wèn)題。

34、2.對(duì)于壩身底部來(lái)說(shuō)，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。1112022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答 用逆解法。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：)(sinyfx（a）其中 是任意常數(shù)，它的因次是長(zhǎng)度-1，而 是 的任意函數(shù)。)(yfy將式（a）代入相容方程，得：0)()(2)(sin422244

35、yfdyyfddyyfdx（b）yDychyCyshyBchyAshyf)(解之，得：其中 、 、 、 都是任意常數(shù)。得到應(yīng)力函數(shù)的一個(gè)解答：ABCD)(sinyDychyCyshyBchyAshx假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：)(cos1yfx同樣可以得出應(yīng)力函數(shù)的另一個(gè)解答：（c）1132022-3-7仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級(jí)數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)：)(cos)(sin11yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 相應(yīng)的應(yīng)力分量：將式（c）與（d）疊加，得：)(cos)(sinyychDyyshCychByshAxyD

36、ychyCyshyBchyAshx其中 、 、 、 也都是任意常數(shù)。ABCD)(cosyychDyyshCychByshAx（d）1142022-3-7)2()2(cos)2()2(sin121222yychDyyshCychCByshDAxyychDyyshCychCByshDAxymmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxcos)sin121222yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmy1152022-3-7)()(sin)()(cos12122yychCyyshDychDAyshCBx

37、yychCyyshDychDAyshCBxyxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxy這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應(yīng)力分量表達(dá)式，使其滿足某個(gè)問(wèn)題的邊界條件，就得出該問(wèn)題的解答。mmAmBmCmmAmBmCmDmD1162022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任

38、意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 設(shè)簡(jiǎn)支梁的跨度為 ，高度為 ，坐標(biāo)軸如圖7-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為 及 ，左右兩端的反力分別為 及 。 lH)(xq)(1xqR1RR1R)(xq)(1xqlHxyo圖7-71182022-3-7為了滿足邊界條件（c），取：0mmmmDCBA),3 , 2 , 1(mlmm上下兩邊正應(yīng)力的邊界條件：)()(),()(10 xqxqHyyyy上下兩邊剪應(yīng)力的邊界條件：0)( , 0)(0Hyxyyxy左右兩端正應(yīng)力的邊界條件：0)( , 0)(0lxxxx左

39、右兩端剪應(yīng)力的邊界條件：1000)(,)(RdyRdyHlxxyHxxy（a）（b）（c）（d）1192022-3-7應(yīng)力分量簡(jiǎn)化為：lymychClymyshDlymchDmlAlymshCmlBlxmlmlymychDlymyshClymchBlymshAlxmlmlymychDlymyshClymchCmlBlymshDmlAlxmlmmmmmmmmxymmmmmymmmmmmmx)()(cossin)2()2(sin122212221222（1）1202022-3-7代入邊界條件（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù) 、 、 、 的方程。mAmBmCmD0)()(cos0cos121

40、2lHmHchClHmHshDlHmchDmlAlHmshCmlBlxmmDmlAlxmmmmmmmmmmmm)(sin11222xqlHmHchDlHmHshClHmchBlHmshAlxmmlmmmmm)(sin1222xqBlxmmlmm（e）（f）（g）（h）1212022-3-7由式（e）、（f），得：0)()(0lHmHshlHmchmlDlHmHchlHmshmlClHmshBlHmchADmlAmmmmmm（i）（j）按照傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法則，有：lmlxmdxlxmxqlxq01sinsin)(2)(與式（g）對(duì)比，得：lmdxlxmxqlBml0222sin)(2從而，得：l

41、mdxlxmxqmlB022sin)(2（k）1222022-3-7同樣由式（h），得：lmmmmdxlxmxqmllHmHchDlHmHshClHmchBlHmshA0122sin)(2（ ）l求出式（k）及式（ ）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（ ）四式求得系數(shù) 、 、 、 ，從而由公式（1）求得應(yīng)力分量。llmAmBmCmD 求出應(yīng)力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用兩個(gè)反力與荷載的平衡作為校核之用。R1R結(jié)論：結(jié)論：1.用級(jí)數(shù)求解平面問(wèn)題時(shí)，計(jì)算工作量很大。 2.由于梁的兩端的應(yīng)力邊界條件不能精確滿足，因而應(yīng)力的解答只適用于距兩端較遠(yuǎn)之處；對(duì)于跨度與高度同等大小的

42、梁，這種解答是沒(méi)有用處的。 1232022-3-77-1 多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 簡(jiǎn)支梁受均布載荷簡(jiǎn)支梁受均布載荷7-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力7-5 級(jí)數(shù)式解答級(jí)數(shù)式解答7-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章第七章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法例題例題例題例題1設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為 ，在一邊側(cè)面上受均布剪力 ，如圖1，試求應(yīng)力分量。q解：解：1.采用半逆解法，設(shè) 。導(dǎo)出 使其滿足雙調(diào)和方程：0 x0)()(, 00, 0)()()()()(, 0414444224444144444122dx

43、xfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyxxyqhg圖11252022-3-7 取任意值時(shí)，上式都應(yīng)成立，因而有：y23232312341444)()(,)(0)(, 0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中， 中略去了常數(shù)項(xiàng)， 中略去了 的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)力無(wú)影響。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：)23(26)26(0222222CBxAxyxPyFExBAxyYyxXxyxyyx（2）1262022-3-73.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：, 0)(0 xx能自然滿足：0, 0)

44、(0Cxyx, 0)(hxx能自然滿足：0, 026 , 0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）, 0)(0yyx不能精確滿足，只能近似滿足：hhyyxydxBxAxdy000200)23(, 0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常數(shù) 和 ，進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：ABhqBhqA,2（4）1272022-3-7（1） 中的 不能略去，因?yàn)?對(duì)剪應(yīng)力有影響。（2）在上端部，首先應(yīng)使應(yīng)力分量精確滿足邊界條件，如不能，則可運(yùn)用圣維南原理放松滿足。本題 能精確滿足，因此， 在此處是精確解，而 在上端部是近似解。（3）若設(shè) ，則導(dǎo)出的應(yīng)力函數(shù) 和應(yīng)力分量為：4.分析：)(xfC

45、xCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31 (2, 0hxhqxPyhxhqyxyyx（5）DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdyyfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(（6）（7）常數(shù)確定后代入式（7），所得結(jié)果與式（5）相同。1282022-3-7例題例題2 如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為 ，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。lxygolxygo0q0qlx圖2（a）（b）解：解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：3223DyCxyyBxAx不難驗(yàn)證其滿足 。所以應(yīng)力分量為：041292022-3-7CyBx

46、yxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：上邊界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來(lái)求解上邊界受線形載荷 作用的問(wèn)題，見(jiàn)圖2（b）。0qlxq 1302022-3-7 例題例題3 3 如果 為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足，問(wèn)02)( ,22yxyx是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：解： 將代入相容條件，得：x10)(2)

47、2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。將代入相容條件得y21312022-3-7也能作為應(yīng)力函數(shù)。把 代入相容條件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以， 也可作為應(yīng)力函數(shù)。30)2(,2222222yy1322022-3-7lxq00qO60lqyl30lqxlh解：解： 1、由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系：BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1）圖3 例題例題4 4 圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷

48、載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。FxyExDxyyCxBxyyAx3335331332022-3-72、含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由邊界條件確定待定系數(shù)：) 3 (0)(6)2(6)2(6 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx1342022-3-7) 6(0)2(33)2(5)2(9 , 0)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExh

49、CxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0, 0)()7(6804,6)(4,5,3,12222202030022030300DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy1352022-3-7由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、應(yīng)力分量為)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx1362022-3-7PyOhlx只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個(gè)大小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù) 上再添加一個(gè)與純剪

50、應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ： 2443hd34xydxyb2xybxyd234圖4 例題例題5 5 如圖所示，右端固定懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。 34xyd1、用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項(xiàng)式函數(shù)的半逆解法來(lái)求解。顯然，應(yīng)力函數(shù) 所對(duì)應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，解：解：1372022-3-7左端部： Pdyhhxxyxx2200)(,0)(解得： 233342623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx2、由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式為：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用邊界條件確

51、定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyy1382022-3-7彈性力學(xué)彈性力學(xué)機(jī)電工程學(xué)院陳濤第八章第八章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法8-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中8-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式8-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程8-5 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧?-7 曲梁的純彎曲曲梁

52、的純彎曲8-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力8.1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在處理彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，選擇什么形式的坐標(biāo)系統(tǒng)，雖不會(huì)影響對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的描繪，但卻直接關(guān)系到解決問(wèn)題的難易程度。如坐標(biāo)選得合適，可使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。例如對(duì)于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便的多。圖81 考慮平面上的一個(gè)微分體 ，沿 方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用 表示，沿 方向的正應(yīng)力稱為切向正應(yīng)力，用 表示，剪應(yīng)力用 表示，各應(yīng)力分量

53、的正負(fù)號(hào)的規(guī)定和直角坐標(biāo)中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用 及 表示。如圖8-1。PACBrrrrKKrrrrdrrrrrdddrrdrrdrKrKyxoPABC2022-3-7141 考慮圖示單元體的平衡，有三個(gè)平衡方程：0, 0, 0MFFr由 ，可以得出剪應(yīng)力互等關(guān)系： 0Mrr 0rF由 ，有：0)(22)()(drrdKdrdrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr 0F由 ，有：022)()()(drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr2022-3-7142因?yàn)?很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上兩式，得：d22sindd12cosdrr

54、02101KrrrKrrrrrrrrr這就是極坐標(biāo)的平衡微分方程。 兩個(gè)平衡微分方程中包含三個(gè)未知函數(shù) 、 和 ，所以問(wèn)題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關(guān)系。rrr 上述方程和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量?jī)H以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。2022-3-7143第八章第八章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法8-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中8-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式8-3 極坐標(biāo)中

55、的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程8-5 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧?-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲8-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力一、幾何方程一、幾何方程位移與形變間的微分關(guān)系8.2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程在極坐標(biāo)中規(guī)定:rrruu -徑向正應(yīng)變-

56、環(huán)向正應(yīng)變-剪應(yīng)變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)-徑向位移-環(huán)向位移用疊加法討論極坐標(biāo)中的形變與位移間的微分關(guān)系。圖8-2drdrruo（1）假定只有徑向位移，而無(wú)環(huán)向位移。如圖8-2所示。2022-3-7145徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜Arudrudrruurrrrr)(環(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜Brurdrddurrr)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PA0環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：PBrrrrurrduduu1)(可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋簉rur12022-3-7146drPP BB A Adruo（2）假定只有環(huán)向位移，而無(wú)徑向位移。如圖8-3所示。圖8-3徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜A0r環(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

57、PBurrduduu1)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PArudrudrruu)(環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：PBru可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋簉urur2022-3-7147 如果同時(shí)存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：ruruururrururrrrr11這就是極坐標(biāo)中的幾何方程。二、物理方程二、物理方程（1 1）平面應(yīng)力情況：）平面應(yīng)力情況：rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(12022-3-7148（2 2）平面應(yīng)變情況：）平面應(yīng)變情況：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 將上式中的 換為 ， 換為 。E21E12022-3-7149第八章第八章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法8-1 極

58、坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程8-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中8-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式8-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程8-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程8-5 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移8-6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α毫λ矶磮A環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧?-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲8-8 圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移8-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力8-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力8

59、.3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程 為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：sin,cosarctan,222ryrxxyyxr得到：rrxyrryxryyrrxxrcos,sin,sin,cos22rryyrryrrxxrrxcossinsincos2022-3-7151222222222222222222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cosrrrrrrryrrrrrrrx222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrr

60、rrrryx 在=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）：yxxyxyyx22222（a）（b）（c）2022-3-7152得到：)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryyxryxr可以證明，當(dāng)體力為零時(shí)，這些應(yīng)力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），得：22222222211rrrryx于是由直角坐標(biāo)的相容方程：0)(22222yx得到極坐標(biāo)中的相容方程：0)11(222222rrrr2022-3-7153 用極坐標(biāo)求解平面問(wèn)題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù) ，然后求出應(yīng)力分量，再考