第七章-粘彈塑性模型的基本概念

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 粘彈塑性模型的基本概念7 . 1 引言為了描述土體應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系受時(shí)間的影響，需要采用與時(shí)間有關(guān)的類模型（如粘彈勝模酬、粘塑性模型，粘彈塑隆模型）來(lái)描述土的性狀。 彈性、塑性和粘性是連續(xù)介質(zhì)的三種基本性質(zhì)，各在定條件F 獨(dú)自反映材料本構(gòu)關(guān)系的一個(gè)方面的特性。理想彈性模型、理想塑勝模型（或稱剛塑性模型）和理想粘性模型是反映這三種性質(zhì)的理想模型，通常稱為簡(jiǎn)單模型。實(shí)際工程材料的本構(gòu)關(guān)系可以用這些簡(jiǎn)單模型的各種組合來(lái)構(gòu)成。 理想彈性模型又稱虎克彈性模型，通常用理想彈簧表示（圖7-1( a )）。其本構(gòu)方程為虎克定律。一維條件下，如單軸壓縮和純剪清況下，表達(dá)式分別為：

2、 （7.1.1） （7.1.2） 式中E 彈性模量、G剪切模量。剪切模量與彈性模量和泊松比的關(guān)系如下式所示： （7.1.3）式中 泊松比。三維條件下本構(gòu)方程可表示為下述形式： （7.1.4）式中 K體積彈性模量。（a） （b）圖7-1 理想彈性模型體積彈性模量與彈性模量和泊松比的關(guān)系如下式所示： （7.1.6）理想粘性模型又稱牛頓粘滯體模型。通常用一粘壺（或稱阻尼器）表示（圖7-2 ( a ) ）。粘壺內(nèi)充滿粘滯液體和一個(gè)可移動(dòng)的活塞?；钊谡硿后w中的移動(dòng)速度與所受阻力成正比關(guān)系，反映了粘性介質(zhì)內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力與該點(diǎn)處應(yīng)變速率成正比例關(guān)系的性質(zhì)。一維條件如單軸壓縮或純剪情況下，表達(dá)式分別為： （

3、7.1.7） （7.1.8）式中 、 粘滯系數(shù)。由上兩式可以看出，從數(shù)學(xué)表達(dá)的形式上與理想彈性體單軸壓縮和純剪時(shí)的本構(gòu)方程相類似。 與理想彈性體的方程相對(duì)應(yīng)，類似式7.1.3，存在下述關(guān)系： （7.1.9）式中 粘性應(yīng)變速率的橫向比值。 （a） （b）圖7-2 理想粘性模型理想粘性體的體積變化與形狀變化速率無(wú)關(guān)，即不具有體積粘性。因此，應(yīng)等于0.5 。于是式7.1.9成為： （7.1.10）這與彈性不可壓縮時(shí)的E=3G相對(duì)應(yīng)。在三維條件下理想粘性體本構(gòu)方程可表示為： （7.1.11）理想塑性模型又稱Saint-Venant 塑性模型，或稱剛塑性模型。通常采用兩塊接觸的粗糙面表示（圖7-3 （a

4、）。面上存在有一稱晰腳擦阻力，與作用在面上的法向壓力無(wú)關(guān)，是一常數(shù)。若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物體不發(fā)生變形。一維條件如單軸壓縮或此鉀扮況，當(dāng)軸向應(yīng)力或剪應(yīng)力小于某一數(shù)值時(shí)，物體不發(fā)生變形當(dāng)軟祠應(yīng)力或剪應(yīng)力等于某數(shù)值時(shí)，物體產(chǎn)生流動(dòng)，變形無(wú)限制增長(zhǎng)理想塑性模刮的體積應(yīng)變等于零，即體積不發(fā)生改變。在三維條件下理想塑性體的本構(gòu)方程可表示為： （a） （b）圖 7-3 理想塑性體模型當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， （7.1.12）式中 起始摩擦阻力，或稱塑性條件；比例常數(shù)。式7.1.12表明，理想塑性體的塑性應(yīng)變偏量的變化率與應(yīng)力偏量成正比。由理想彈性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等簡(jiǎn)單模型可以組合成許多復(fù)

5、雜模型。由理想彈性模型和理想塑性模型可以組合成理想彈塑性模型。由彈性模型和粘性模型可以組合成各種粘彈性模型。由粘性模型和塑性模型可以組合成各種粘塑性模型。由彈性模型、粘性模型和塑性模型可以組合成各種粘彈塑性模型。理想彈塑性模型已在第六章作了介紹。在以下幾節(jié)將對(duì)幾種由簡(jiǎn)單模型組成的粘彈性模型、粘塑性模型和粘彈塑勝模型作簡(jiǎn)單介紹。 利用簡(jiǎn)單模型可以組合成各種復(fù)雜模型，從而可以建立各種材料的本構(gòu)方程。但是進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，許多材料的實(shí)際性狀并不能滿意地用簡(jiǎn)單的組合模型來(lái)描述，而目采用復(fù)雜的組合模型又常遇到數(shù)學(xué)上的困難。因此，常常在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)假設(shè)一實(shí)驗(yàn)一理論的方法建立材料的本構(gòu)力程。在本章的最

6、后一節(jié)將簡(jiǎn)要介紹描述材料蠕變現(xiàn)象的蠕變力程。7 . 2 粘彈性模型既具有彈性又具有粘性的性質(zhì)稱為粘彈性。蠕變和應(yīng)力松弛現(xiàn)象是人們熟悉的也是特別受重視的粘彈性勝質(zhì)粘彈性性質(zhì)的特點(diǎn)是在本構(gòu)方程中除了有應(yīng)力和應(yīng)變項(xiàng)外，還包括有它們對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。對(duì)線性粘彈勝材料，其本構(gòu)方程的一般表達(dá)式為： （7.2.1） 式中 與材料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)。下面首先介紹幾種簡(jiǎn)單的粘彈性模型，然后再介紹較復(fù)雜的情況。7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又稱松弛模型。它是由線性彈簧和牛頓枯壺串聯(lián)組成，如圖7 -4 (a）所示。在串聯(lián)條件下，作用在兩元件上的應(yīng)力相同，而總的應(yīng)變應(yīng)為兩個(gè)元件應(yīng)變的和，即 （7.2.2

7、）或 （7.2.3）式中 分別為線性彈簧和粘壺的應(yīng)變；分別為線性彈簧和粘壺的應(yīng)變率?？紤]到線性彈簧有和牛頓粘壺有，則式7.2.3可改寫成： （7.2.4） （a） （b） （c）圖7-4 Maxwoll 模型寫成如式7.2.1的標(biāo)準(zhǔn)形式，上式可改寫為： （7.2.5）式中 松馳時(shí)間，量綱為時(shí)間。式7.2.5稱為Maxwell方程。 若物體獲得初始應(yīng)變以后總應(yīng)變保持不變（圖7-4b) ，即，式7.2.5成為： （7.2.6）積分上式，得 （7.2.7) 式中 積分常數(shù)。應(yīng)用初始條件，代人式7.2.7解出，再代人式7.2.7 , 得 (7.2.8 ) 式7.2.8表示，Maxwell模型在保持總應(yīng)

8、變不變的條件下，發(fā)生應(yīng)力隨時(shí)間衰減的松弛現(xiàn)象，如圖7-4c所示。 若物體獲得初始應(yīng)力以后，保持應(yīng)力不變，即，則式7.2.5成為： （7.2.9 )式7.2.9表示材料應(yīng)變率為常數(shù)，即應(yīng)變隨時(shí)間成比例地增長(zhǎng)，因此變形隨時(shí)間無(wú)限地發(fā)展。 下面討論松弛試驗(yàn)的情況。在松弛試驗(yàn)中，首先對(duì)試件施加應(yīng)變，然后保持應(yīng)變?yōu)槎ㄖ担M(jìn)而測(cè)量作為時(shí)間函數(shù)的應(yīng)力值，確定松弛規(guī)律。松弛試驗(yàn)中應(yīng)變可記為： (7.2.10) 式中 單位階梯函數(shù)。單位階梯函數(shù)定義為： （7.2.11）在松弛試驗(yàn)中可表示為。將式7.2.10代人式7.2.5，得 （7.2.12） 式中 脈沖函數(shù)，。脈沖函數(shù)定義為： （7.2.13） （7.2.1

9、4）脈沖函數(shù)具有下述性質(zhì)，對(duì)于任何連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 （7.2.15）利用式7.2.15，積分式7.2.12，可得 （7.2.16）式7.2.16表示Maxwell模型的應(yīng)力松弛規(guī)律，簡(jiǎn)記為： （7.2.17）式中 松弛函數(shù)，其表達(dá)式為 （7.2.18）7.2.2 Kelvln 模型Kelvln模型又稱非松弛模型。這種模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又稱為VoigtKelvin模型。它是由線性彈簧和牛頓粘壺并聯(lián)組成，如圖7-5 (a）所示。在并聯(lián)條件下，兩個(gè)元件的應(yīng)變相同，而總的應(yīng)力應(yīng)為兩個(gè)元件的應(yīng)力之和，即 （7.2.19） 若在時(shí)，瞬時(shí)地加上應(yīng)力，并保持不變，則由式7.

10、2.19可得 （7.2.20）積分上式，得 （7.2.21） 式中 衰減系數(shù)，；滯后時(shí)間。 （a） （b）圖7-5 Kelvln模型由式7.2.21可知，當(dāng)，應(yīng)變趨于個(gè)穩(wěn)定值。若物體獲得初始彈性應(yīng)變之后保持應(yīng)變不變，即。由式7.2.19得常量 （7.2.22）上式表明在這種情況下應(yīng)力不衰減。下面討論蠕變?cè)囼?yàn)的情況。在蠕變?cè)囼?yàn)中，首先對(duì)試件施加應(yīng)力，然后保持應(yīng)力為定值來(lái)量取作為時(shí)間函數(shù)的應(yīng)變值。若取瞬時(shí)加載的時(shí)刻為，則加載過(guò)程可表示為： （7.2.23）式中 單位階梯函數(shù)。將式7.2.23代人式7.2.19，得 （7.2.24）注意到單位階梯函數(shù)有如下性質(zhì) （7.2.25）此處為積分變量。積分式

11、7.2.24，得 （7.2.26）式中 式7.2.26表示Kelvin 模型的蠕變規(guī)律，可簡(jiǎn)記為： （7.2.27）式中 蠕變函數(shù)。蠕變函數(shù)的表達(dá)式為 （7.2.28）7.2.3 三元件粘彈性模型圖7-6a 表示個(gè)三元件粘彈性模型。它是由線性彈簧和Kelvin模型串聯(lián)組成，包括二個(gè)線性彈簧和一個(gè)牛頓粘壺，共三個(gè)元件，故稱三元件粘彈性模型。用表Kelvin模型的應(yīng)變，表示與Kelvin模型串聯(lián)的線性彈簧的應(yīng)變，表示Kelvin模型中線性彈簧中的應(yīng)力，表示牛頓粘壺中的應(yīng)力，和分別表示總應(yīng)力和總應(yīng)變。分析各元件的應(yīng)力或應(yīng)變相互間關(guān)系，不難得到下列各式： （7.2.29） （7.2.30） （7.2.

12、31） （7.2.32） （7.2.33）式中 與Kelvin模型串聯(lián)的線性彈簧的彈性模量；Kelvin模型中線性彈簧的彈性模量；牛頓粘壺的粘滯系數(shù)。結(jié)合式7.2.29至式7.2.33各式，消去組成元件中的應(yīng)力和應(yīng)變，得 （7.2.34）式7.2.34還可改寫為： （7.2.35）式中 （7.2.36）圖7-6 三元件粘彈性模型 (7.2.37) (7.2.38) 若物體作用有初始應(yīng)力，且保持不變，即，且在時(shí)，。于是，由式7.2.35可求得應(yīng)變的變化規(guī)律為： （7.2.39）上式表示的應(yīng)變隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖7-6 (b）所示。圖中應(yīng)變起始值為，最終值為，其應(yīng)變速率由起始時(shí)的最大值逐漸趨于零。

13、若物體獲得初始彈性應(yīng)變后總應(yīng)變保持不變，即，且在時(shí)，。于是，由式7.2.35可求得應(yīng)力隨時(shí)間的變化規(guī)律為： （7.2.40）上式表示的應(yīng)力變化規(guī)律如圖7-6（b）所示。由圖可以看到，物體中的應(yīng)力從最初的衰減到最終值。 若物體初始時(shí)作用有應(yīng)力，以后隨時(shí)間變化作用有應(yīng)力。根據(jù)疊加原理，由式7.2.39可以得到在時(shí)刻時(shí)物體的變形，（7.2.41）對(duì)上式右端進(jìn)行分部積分，得 （7.2.42）記 （7.2.43）則式7.2.42可改寫為 （7.2.44）式7.2.44通常稱為線性遺傳方程。式中H 稱為瞬時(shí)彈性模量，稱為遺傳函數(shù)，它表示在時(shí)刻作用的應(yīng)力對(duì)時(shí)刻的變形的影響。三元件粘彈性模型除了上述介紹的基本

14、形式外，還有其它組成方式的三元件粘彈性模型。如由Maxwell模型與一個(gè)粘壺并聯(lián)組成，或由一個(gè)粘壺與Kelvin 模型串聯(lián)組成。這些形式的本構(gòu)方程讀者自己不妨加以推導(dǎo)。7.2.4廣義Maxwell 模型和廣義Kelvin 模型增加組成模型的元件數(shù)，可以得到更為復(fù)雜的模型應(yīng)用得較多的是廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型。圖7-7 廣義Maxwell模型 廣義Maxwell模型是由一個(gè)線性彈簧和一系列Maxwell模型并聯(lián)而成，如圖7-7 所示。若時(shí)模型獲得單位彈性應(yīng)變后，保持總應(yīng)變不變，模型中的應(yīng)力隨時(shí)間的變化應(yīng)等于各簡(jiǎn)單模型之和，即 （7.2.45）式中 松弛彈性模量，等于單位總應(yīng)變

15、所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力；松弛時(shí)間，。若模型的應(yīng)變可用表示其本構(gòu)力程可由疊加原理得到， （7.2.46） 利用分部積分法，上式可改寫為： （7.2.47） 上式又可簡(jiǎn)寫為： （7.2.48）式中 ； 圖7-8 廣義Kelvln 模型廣義Kelvin 模型是由一個(gè)Maxwell模型和一系列Kelvin 模型串聯(lián)而成，如圖7-8所示。若時(shí)模型受到單位應(yīng)力后保持不變，它的總應(yīng)變等于各個(gè)簡(jiǎn)單模型的應(yīng)變之和，即 （7.2.49）式中 蠕變?nèi)岫龋扔趩挝粦?yīng)力引起的應(yīng)變；衰減系數(shù)，其倒數(shù)為延遲時(shí)間。若模型的應(yīng)力用表示，其本構(gòu)力程可由疊加原理得到， （7.2.50）利用分部積分法，上式可改寫為： （7.2.51）記，這樣

16、就得到了與式7.2.44相同的線性遺傳力程， （7.2.52）7.3 粘塑性模型既具有粘性又具有塑性性質(zhì)稱為粘塑性。粘塑性體在荷載作用下，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到某臨界值時(shí)，屈服和流動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生，其變形速率與物體的粘性有關(guān)。材料的粘塑性可由粘性元件（粘壺）和塑性元件（摩擦件）組合來(lái)描述。 Bingham 模型是由理想剛塑性模型和牛頓粘壺并聯(lián)而成，如圖7-9 (a）所示。顯然，Bingham 模型只有當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，才開始變形。在此以前表現(xiàn)為剛性，屈服以后，呈現(xiàn)出粘塑性性質(zhì)。其本構(gòu)關(guān)系為： （7.3.1）當(dāng)時(shí)，物體不發(fā)生變形。當(dāng)時(shí)，由式7.3.1，得 （7.3.2）（a） （b）圖7-9 Bingham模

17、型對(duì)Bingham 模型，應(yīng)力時(shí)，應(yīng)變?yōu)榱?。如?yīng)力時(shí)，應(yīng)力可由式7.3.1確定，而應(yīng)變無(wú)限地增大。7 . 4 粘彈塑性模型粘彈塑性是包含了彈性、粘性和塑性三力面的性質(zhì)。粘彈塑性可以由彈簧、粘壺和摩擦元件的各種組合來(lái)描述。下面簡(jiǎn)略介紹一個(gè)三元件粘彈塑性模型。 圖7-10 表示一個(gè)三元件粘彈塑性模型，由線性彈簧、牛頓粘壺和一個(gè)摩擦件組成。首先考慮線性強(qiáng)化情況，然后再分析理想粘彈塑性情況。對(duì)這一模型，總的應(yīng)變?yōu)椋?（7.4.1） 式中 彈性應(yīng)變；粘塑性應(yīng)變。彈簧中應(yīng)力與總的應(yīng)力相等，即 （7.4.2）摩擦件中應(yīng)力取決于是否已經(jīng)達(dá)到屈服應(yīng)力，可表示為： （7.4.3） （7.4.4）式中 強(qiáng)化參數(shù)，定

18、義為： （7.4.5）式中 切線模量。當(dāng)時(shí)，還有 （7.4.6）圖7-l0三元件粘彈塑性模型結(jié)合式7.4.4和式7.4.6，得 （7.4.7）結(jié)合式7.4.1、式7.4.2和式7.4.7，得 （7.4.8）記，稱為介質(zhì)流動(dòng)參數(shù)，則式7.4.8可改寫為： （7.4.9）因此，粘塑性應(yīng)變率為： （7.4.10）式7.4.10表明粘塑性應(yīng)變率是由超過(guò)穩(wěn)態(tài)屈服應(yīng)力的那部分應(yīng)力值（稱為“過(guò)應(yīng)力”）所決定的。 若作用于模型的應(yīng)力為常值時(shí)，即，式7.4.8可改 寫為： （7.4.11）式7.4.11的解為： （7.4.12）對(duì)于理想粘塑性材料，利用羅比達(dá)法則，式7.4.12可改寫為 （7.4.13）對(duì)于更復(fù)

19、雜的彈粘塑性模型讀者可參閱有關(guān)專著，這里不作進(jìn)步介紹了。7 . 5 蠕變物體的蠕變現(xiàn)象可以采用由一定數(shù)量的彈性、粘性和塑性元件組成的模型來(lái)描述。但元件多了，計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，且其關(guān)系不容易由試驗(yàn)確定。在實(shí)際應(yīng)用中，常常直接由試驗(yàn)來(lái)確定應(yīng)力、應(yīng)變和時(shí)間之間的關(guān)系。下面簡(jiǎn)單介紹幾種主要的蠕變方程的形式。1 老化理論老化理論假設(shè)蠕變應(yīng)變與應(yīng)力、時(shí)間之間具有某種函數(shù)關(guān)系，即 （7.5.1）式中 蠕變應(yīng)變。物體的總應(yīng)變將由三部分組成，即 （7.5.2）式中 分別為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。當(dāng)應(yīng)力未超過(guò)屈服應(yīng)力時(shí)，則式7.5.2可改寫為： （7.5.3）圖7-11 應(yīng)力-應(yīng)變-時(shí)間實(shí)測(cè)曲線Buisman（1936）

20、根據(jù)大量的試驗(yàn)資料，認(rèn)為飽和粘土的時(shí)間與沉降關(guān)系在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)上呈線性關(guān)系（圖7-11 ) ，即 （7.5.4）式中 沉降；土層或試樣起始高度；豎向應(yīng)力增量；主固結(jié)系數(shù)；時(shí)間效應(yīng)系數(shù)。式7.5.4可改寫成： （7.5.5）式中 ； ；。2 流動(dòng)理論流動(dòng)理論認(rèn)為蠕變應(yīng)變速率與應(yīng)力、時(shí)間之間存在某種簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系，即 （7.5.6）式中蠕變應(yīng)變速率。物體的總應(yīng)變速率可表示為： （7.5.7）式中 分別表示彈性應(yīng)變速率和塑性應(yīng)變速率。試驗(yàn)資料表明，正常固結(jié)粘土和超固結(jié)粘土，在排水或不排水條件下，其應(yīng)變速率和蠕變時(shí)間的關(guān)系在全對(duì)數(shù)坐標(biāo)上呈線性關(guān)系。應(yīng)變速率與應(yīng)力的關(guān)系也是線性關(guān)系（圖7-12 ）。應(yīng)變速率與時(shí)問(wèn)的關(guān)系為： （7.5.8） 式中 應(yīng)變速率；單位時(shí)間的應(yīng)變速率，為應(yīng)力q 的函數(shù)；單位時(shí)間（即1 分鐘）；關(guān)