對坐標(biāo)曲面積分

1、第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲面積分 第十一章 曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面

2、叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對一般的有向曲面 ,

3、用“分割, 近似, 求和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q

4、, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量函數(shù)xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量函數(shù) A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義定義.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲面積分;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情況：特殊情況：3. 性質(zhì)性質(zhì)d dd dd dP yzQ

5、 zxR x y(1) 積分區(qū)域的可加性；(2) 用 表示 的反向曲面, 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d dd dd dP yzQ zxR x y 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法yxzyxRdd),( , , )x yDR x y),(yxz定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:如果積分曲面 取下側(cè), 則yxdd口訣口訣: 一投、二代、三定號一投、二代、三定號 若,),( , ),(:z

6、yDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2

7、(yxDyxadd333axzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2yxDd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx dd機

8、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè)S 是球面1222zyx的外側(cè) , 計算SxxzyI2cosdd2解解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1d102221cos1d41tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0l

9、im0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxz111例例5. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2d)1(d210202yxDyx

10、yxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221cosyxx例例6. 計算曲面積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212d)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機

11、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān), 上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用計算公式及方法常

12、用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),ddddddzyxyxzxzyI備用題備用題 求求1:222222czbyax取外側(cè) .解解:zyxdddxdycyxDbya