談談拉格朗日中值定理的證明(考研中的證明題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上談談拉格朗日中值定理的證明 引言 眾所周至拉格朗日中值定理是幾個中值定理中最重要的一個，是微分學應用的橋梁，在高等數(shù)學的一些理論推導中起著很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理證明的關鍵在于引入適當?shù)妮o助函數(shù). 實際上，能用來證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)有無數(shù)個，因此如果以引入輔助函數(shù)的個數(shù)來計算，證明拉格朗日中值定理的方法可以說有無數(shù)個. 但事實上若從思想方法上分，我們僅發(fā)現(xiàn)五種引入輔助函數(shù)的方法. 首先對羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義作一概述.1羅爾中值定理如果函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連

2、續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導；（3）,則在內(nèi)至少存在一點 ,使得羅爾中值定理的幾何意義：如果連續(xù)光滑曲線在點處的縱坐標相等，那么，在弧 上至少有一點 ，曲線在點的切線平行于軸，如圖1，注意 定理中三個條件缺少其中任何一個，定理的結(jié)論將不一定成立；但不能認為定理條件不全具備，就一定不存在屬于的，使得. 這就是說定理的條件是充分的，但非必要的.2拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導；則在內(nèi)至少存在一點，使拉格朗日中值定理的幾何意義：函數(shù)在區(qū)間上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧 上至少有一點，曲線在點的切線平行于弦. 如圖2，從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見，若在閉區(qū)間兩端點的函數(shù)值相等

3、，即，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理. 換句話說，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形.正因為如此，我們只須對函數(shù)作適當變形，便可借助羅爾中值定理導出拉格朗日中值定理.3 證明拉格朗日中值定理3.1 教材證法證明 作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，而且于是由羅爾中值定理知道，至少存在一點，使.即.3.2 用作差法引入輔助函數(shù)法證明 作輔助函數(shù) 顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點，使得，即 推廣1 如圖3過原點作，由與直線對應的函數(shù)之差構成輔助函數(shù)，因為直線的斜率與直線的斜率相同，即有：，的直線方程為：，于是引入的輔

4、助函數(shù)為：. （證明略）推廣2 如圖4過點作直線，直線的方程為：，由與直線函數(shù)之差構成輔助函數(shù)，于是有：. （證明略）推廣3 如圖5過點作直線，直線的方程為，由與直線函數(shù)之差構成輔助函數(shù)，于是有：.事實上，可過軸上任已知點作得直線為，從而利用與直線的函數(shù)之差構成滿足羅爾中值定理的輔助函數(shù)都可以用來證明拉格朗日中值定理. 因是任意實數(shù)，顯然，這樣的輔助函數(shù)有無多個.3.3 用對稱法引入輔助函數(shù)法在第二種方法中引入的無數(shù)個輔助函數(shù)中關于軸的對稱函數(shù)也有無數(shù)個，顯然這些函數(shù)也都可以用來證明拉格朗日中值定理.從幾何意義上看，上面的輔助函數(shù)是用曲線函數(shù)減去直線函數(shù)，反過來，用直線函數(shù)減曲線函數(shù)，即可得與

5、之對稱的輔助函數(shù)如下： 等等.這類能用來證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)顯然也有無數(shù)個. 這里僅以為例給出拉格朗日中值定理的證明. 證明 顯然，函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導；.由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得，從而有，顯然可用其它輔助函數(shù)作類似的證明.3.4 轉(zhuǎn)軸法由拉格朗日中值定理的幾何圖形可以看出，若把坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)適當?shù)慕嵌龋眯轮苯亲鴺讼?，若平行于弦，則在新的坐標系下滿足羅爾中值定理，由此得拉格朗日中值定理的證明.證明 作轉(zhuǎn)軸變換，為求出，解出得 由得 ，從而，取滿足上式即可.由在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，知在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，因此，由羅爾中值定

6、理知，至少存在一點，使得 ，即 3.5 用迭加法引入輔助函數(shù)法讓迭加一個含待頂系數(shù)的一次函數(shù)，例如令或，通過使，確定出，即可得到所需的輔助函數(shù). 例如由 ，令 得，從而，而可取任意實數(shù)，這樣我們就得到了輔助函數(shù)，由的任意性易知迭加法可構造出無數(shù)個輔助函數(shù)，這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理.3.6 用行列式引入輔助函數(shù)法證明 構造一個含且滿足羅爾中值定理的函數(shù)，關鍵是滿足.我們從行列式的性質(zhì)想到行列式的值在時恰恰均為0，因此可設易證，展開得.因為在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，所以在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，所以由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得. 因為即： 3.7 數(shù)形相結(jié)合法引

7、理 在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為，則面積為，這一引理的證明在這里我們不做介紹，下面我們利用這一引理對拉格朗日中值定理作出一種新的證明. 這種方法是將數(shù)形相結(jié)合，考慮實際背景刻意構造函數(shù)使之滿足羅爾中值定理的條件.如圖， 設是直線與從點開始的第一個交點，則構造，易驗證滿足羅爾中值定理的條件：在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，而且，則至少存在一點，使，即： 但是，這是因為，如果，則，這樣使得成為直線與從點的第一個交點，與已知矛盾）. 故，即. 若只從滿足羅爾中值定理的要求出發(fā)，我們可以擯棄許多限制條件，完全可以構造來解決問題，從而使形式更簡潔，而且啟發(fā)我們做進一步的推廣：可構造來證明

8、柯西中值定理. 3.8 區(qū)間套定理證法證明 將區(qū)間二等分，設分點為，作直線，它與曲線 相交于，過作直線弦. 此時，有如下兩種可能: 若直線與曲線僅有一個交點，則曲線必在直線 的一側(cè).否則，直線不平行于直線. 由于曲線在點處有切線，根據(jù)曲線上一點切線的定義，直線就是曲線在點處的切線，從而.由作法知，在區(qū)間內(nèi)部，取于是有 若直線與曲線還有除外的其他交點，設為另外一個交點，這時選取以為端點的區(qū)間，記作，有, ，把作為新的“選用區(qū)間”，將二等分，并進行與上面同樣的討論，則要么得到所要求的點，要么又得到一個新“選用區(qū)間”.如此下去，有且只有如下兩種情形中的一種發(fā)生: (a) 在逐次等分“選用區(qū)間”的過程

9、中，遇到某一個分點，作直線它與曲線交于，過點作直線弦, 它與曲線只有一個交點，此時取即為所求.(b) 在逐次等分“選用區(qū)間”的過程中，遇不到上述那種點，則得一閉區(qū)間序列，滿足: 由知，構成區(qū)間套，根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的一點，此點即為所求. 事實上，存在，由，所以，從“選用區(qū)間”的取法可知，確在的內(nèi)部. 3.9 旋轉(zhuǎn)變換法證明 引入坐標旋轉(zhuǎn)變換: 因為 所以有逆變換: 由于滿足條件: 在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導，因此式中函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導.為使?jié)M足羅爾中值定理的第三個條件，只要適當選取旋轉(zhuǎn)角，使, 即，也即 .這樣，函數(shù)就滿足了羅爾中值定理的全部條件，從而至少存在一點，使

10、即. 由于所選取旋轉(zhuǎn)角滿足，所以.結(jié)論本論文僅是對拉格朗日中值定理的證明方法進行了一些歸納總結(jié)其中還有很多方法是我沒有想到的，而且里面還有很多不足之處需要進一步的修改與補充. 通過這篇論文我只是想讓人們明白數(shù)學并不是純粹的數(shù)字游戲，里面包含了很多深奧的內(nèi)容. 而且更重要的是我們應該學會去思考，學會凡是多問幾個為什么，不要讓自己僅僅局限于課本上的內(nèi)容，要開動腦筋學會舉一反三，不要單純?yōu)榱藢W習而學習，讓自己做知識的主人！ 總之，數(shù)學的發(fā)展并非是無可置疑的，也并非是反駁的復雜過程，全面的思考問題有助于我們思維能力的提高，也有助于創(chuàng)新意識的培養(yǎng). 參考文獻 1 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析（上冊）（

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