全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)

1、（預(yù)賽）全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)Page 2 一、極限和連續(xù)2.lim,2cos2cos2cos2nnnnaa求設(shè)3.lim, 1|),1 ()1)(1 (22nnnxaaaaxn求其中設(shè).,)(lim20給定的正整數(shù)是其中求極限nneeexenxxxx4.)11 (lim2xxxxe求1.Page 3.)1ln(1 ()1 (lim220 xxexxx求.) !(lim21nnn求.)11(limennnn求5.6.7. 0, 0, 0,)3(lim111cbacbannnnn其中求8.Page 4).1(),lnlnln()lnln(lim0aaxaxaxx求9.10.

2、11.12.)sin(limcos110 xxxx求).2111(limnnnnnn求.sincossinlim222220 xxxxxx求Page 513.15.16.14.1)1tan2(lim613xexxxxx求.cossinlim131dttttxxxx求極限.|sin|02dxxex計算.120等價的無窮大量時與求nnxxPage 62)(1lim )()2(,1)0(1.1710222dxxfxnnxfyyxexydxdynx證明為上述方程的解，若）求解微分方程（Page 7軸上的截距。在處的切線上點(diǎn)是其中求二階可導(dǎo)，且設(shè)函數(shù)xxfxPxfyuuxfufxffxfxfyx)(,(

3、)(,sin)()(lim, 0)0(, 0)0(, 0)()(.18330 Page 8.lim,)(lim)2(,lim,lim1,.19210pnaaapanaaaaaaannnpnnnnnnnn則，使得如果存在正整數(shù)則）若求證：（為有限數(shù)，為數(shù)列，且設(shè)Page 9存在。證明連續(xù)可導(dǎo)，在設(shè))(lim,)11ln(1)(11)()1 )(.202xfxxxfxfxfxPage 10 二、一元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)._, 129ln)(. 222)(dxydffexexyyyyf具有二階導(dǎo)數(shù)且其中確定，由方程設(shè)202._)(, 2)(3)()(. 1xfdxxfxxfxf則是連續(xù)函數(shù)，滿足設(shè)).

4、, 2 , 1( , 0. 30ndxxeIsnsxn求設(shè)Page 11).(123)()(,)1 (43) 1()(2)(. 5221222ttedueytyttdxydttyttxxfytu函數(shù)處相切，求在與曲線具有二階導(dǎo)數(shù)，其中確定，且所由參數(shù)方程設(shè)函數(shù).)()(1| )(|,. 41010cdxxfxfdxxfc都有函數(shù)的連續(xù)的使得滿足求最小實數(shù)Page 12.0)()(,)(lim)()()(. 6100處的連續(xù)性在并討論為常數(shù)，求且連續(xù)，xxgxgAAxxfdxxtfxgxfx).001. 0(50121sin. 72到精確的近似解，求方程xxx.,arctan)1ln(. 822

5、2dxydetyextt求已知Page 13最小。體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)圖形繞使此，試確定所圍成圖形的面積為軸及直線又由已知該拋物線與時過原點(diǎn)，當(dāng)設(shè)拋物線Vxcbaxxyxcbxaxy,311, 0,10ln2. 92. 3)(,) 1 , 1(0)0(, 1) 1 (, 0) 1( 1 , 1)(.1000 xfxfffxf使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)求證：在的三階導(dǎo)數(shù)，且上具有連續(xù)在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)Page 14恰有兩實根。在證明：使得存在一點(diǎn)且上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且在設(shè)函數(shù)),(0)(. 0)(, 0)(lim, 0)(lim, 0)(),()(.1000 xfxfxxfxfxfxfxx.tan)

6、cos(sinlim, 2) 1 (, 0) 1 (11)(.11220 xxxxxfffxxxfx求點(diǎn)可導(dǎo)，并已知點(diǎn)附近有定義，且在在設(shè)Page 15. 1)()(0)2()(121) 1 (, 1)21(, 0) 1 ()0(1 , 0 1 , 0)(.13ffffffxf）使得，（存在一個；）使得，（存在一個證明：可微，且）內(nèi)上連續(xù)，在（在設(shè)函數(shù)Page 16. 0)0()3()2()(lim,)0(),0(),0(0)(.1423210321 hfhfkhfkhfkkkkfffxxfh使得數(shù)證明：存在唯一一組實均不為零，且導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)在設(shè).)11 (.151dxexxIxx

7、求不定積分.)1ln(arctan.162dxxxx求不定積分Page 17. 0)()(,)2 , 2(, 4)0()0(, 1| )(|2 , 2)(.1722 ffffxfxf使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明：在又且上二階可導(dǎo)，在設(shè)函數(shù)所需費(fèi)用最少？的直徑之比為何值時計方案：即高與上下底試給出最節(jié)省的設(shè)元的材料費(fèi)為單位面積元，而側(cè)面位面積上下兩底的材料費(fèi)為單的圓柱體的容器，已知設(shè)計一個容積為.18baVPage 18 三、空間解析幾何的距離。：直線與：求直線13214200. 121zyxlzyxl).1 , 3, 4(034550232. 221過點(diǎn)，使其中一個平面和互相垂直的平面的兩個：求通過

8、直線zyxzyxlPage 19 四、多元微分學(xué)和積分學(xué)區(qū)域。與兩坐標(biāo)軸所圍三角形直線是由其中區(qū)域計算1,1)1ln()(. 1yxDdxdyyxxyyxD.),1(),(,)(. 3222222ygxgrfyxgyxrtf求有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)切平面方程。的平行于平面曲面02222. 222zyxyxzPage 20.),(2) 1 (.) 1,0(1),1(),(. 4222222222和最小值的最大值向）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方（求其轉(zhuǎn)動慣量；旋轉(zhuǎn)繞密度為其中若均勻橢球其中的直線是過原點(diǎn)且方向為設(shè)labcczbyaxl.20 , 20| ),(,) 1sgn(. 5yxyxDdxdyxyD其

9、中求Page 21.)(23)(20)(2. 1)2(1.)(2)(. 624242224CLCyxdyxxydxCxyxdyxxydxyxLyxdyxxydxCx曲線，求正向閉是圍繞原點(diǎn)的光滑簡單）設(shè)（；）求函數(shù)（；證明：為正向閉曲線）設(shè)（的值為常數(shù)上，曲線積分任意光滑的簡單閉曲線繞原點(diǎn)的具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍設(shè)Page 22.).0()0,)0,(. 7求射線對該質(zhì)點(diǎn)的引力其中的質(zhì)點(diǎn)處有一質(zhì)量為，在點(diǎn)（其線密度為向右的射線，在平面上，有一條從點(diǎn)hmha.2521,0 ,0| ),(. 82sinsinsinsinsinsinLxyxLyLxydxyedyxedxyedyxedxyedyxeD

10、LyxyxD）（；）（的正向邊界，試證：為已知平面區(qū)域Page 2311222222.)(2.)(, 1)(. 9duucbafIdSczbyaxfIzyxcbaxf求證：曲面積分記第一型是單位球面為常數(shù)，連續(xù)，且設(shè)函數(shù). 0),(, 0,),(.1022zyzxzyxzyxzzbayxueyxuzbyax滿足：使和常數(shù)確定且已知函數(shù)Page 24).()()2(, 1)2()(.113xuudyuxudxyxuxuuL面上與路徑無關(guān)，求在右半平且連續(xù)可微，設(shè)).()(.)()(, 0)(.12222222222tFtFdVzyxftFtzyxyxztxf的導(dǎo)數(shù)求上半部分，令所圍起來的由區(qū)域為

11、連續(xù)函數(shù)，設(shè)Page 25.0,)(.132222222的常數(shù)為大于半球面為下其中計算ayxazzyxdxdyazaxdydz.),()(,),(),(),(.142，并求其通解所滿足的一階微分方程求足具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿設(shè)xxfexyuvvufvufvufxvu.2730272210.15222方程的切平面，求此切平面作曲面過直線zyxzyxzyxPage 26.1., 21 ,.16222間的引力之的質(zhì)點(diǎn)和求在原點(diǎn)處的質(zhì)量為為常數(shù)其面密度：設(shè)曲面zyxz.),(),(. 0, 02),(.182222xyyxfzzxyyffffffffyxfyxxyxyyxyyx數(shù)，求所確定的函是由方程且

12、足有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿設(shè)函數(shù).|.1722122dxdyyxyxIyx求二重積分Page 27.)0(2.192222所為立體的表面積和求曲面ayxazazyx.)2()2(.),(0),(),(.2022dxzyxzdyyzxzILvuFyzxyxzFyxzzL圓周，試求：為正向單位有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)唯一確定，其中由方程設(shè)連續(xù)可微函數(shù)Page 28.)2() 1 ().()0 ,(),0( , 1.212222222值積是否有最大值和最小討論橢圓薄板的面對于固定的轉(zhuǎn)動慣量，；旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量繞求薄板其中于薄板的旋轉(zhuǎn)軸且垂直為通過橢圓焦點(diǎn)的均質(zhì)薄板；為面密度為橢圓形設(shè)JlDbacclbabyaxDP

13、age 29 五、無窮級數(shù).)(,) 1 ()()()(. 111之和求函數(shù)項級數(shù)為正整數(shù)）且滿足：已知xuneunexxuxuxunnnxnnnn.212212. 2121221的和的和函數(shù)，并求級數(shù)求冪級數(shù)nnnnnnxnPage 30.)()., 2 , 1(),(ln, 10),(| )(|),()(. 31110絕對收斂證明：定義實數(shù)任取其中且內(nèi)的可微函數(shù)，是在設(shè)nnnnnaanafaamxmfxfxf., 0)1(lim2, 0)1(lim1. 4111111111發(fā)散則發(fā)散，且）若（收斂；則）若（為正項級數(shù)，那么：與設(shè)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabbbaaabbaabaPage 31.)(1211, 0. 5111發(fā)散時，級數(shù)，且）當(dāng)（收斂；時，級數(shù)）當(dāng)（證明：設(shè)nnnnnnnnkknnSanSSaaSa.|.,. 611收斂試證明級數(shù)都是收斂的級數(shù)序列若對于任何收斂于零的nnnn