電磁場(chǎng)與電磁波—靜電場(chǎng)

1、第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)第二章第二章 靜靜 電電 場(chǎng)場(chǎng) 2.1 庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度 2.2 高斯定理高斯定理 2.3 靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位 2.4 電偶極子電偶極子 2.5 電介質(zhì)中的場(chǎng)方程電介質(zhì)中的場(chǎng)方程 2.6 靜電場(chǎng)的邊界條件靜電場(chǎng)的邊界條件 2.7 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 2.8 電場(chǎng)能量與能量密度電場(chǎng)能量與能量密度 2.9 電場(chǎng)力電場(chǎng)力 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 靜電場(chǎng)是相對(duì)觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推廣到恒定電場(chǎng),恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)

2、。概概 述述第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法數(shù)值法解析法邊值問(wèn)題邊界條件電位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本實(shí)驗(yàn)定律（庫(kù)侖定律）靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)E 的旋度直接積分法第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.1 2.1 庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度 2.1.1 庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律 公元前公元前600年的記錄表明，當(dāng)時(shí)已具有了一些靜電學(xué)知識(shí)：年的記錄表明，當(dāng)時(shí)已具有了一些靜電學(xué)知識(shí)：希臘人用衣袖摩擦琥珀，觀察它如何吸引一些軟毛和毛織希臘人用衣袖摩擦琥珀，觀察它如何吸引一些軟毛和毛織物。然而，他們的主要興趣在于哲學(xué)和邏輯，而不在于實(shí)物

3、。然而，他們的主要興趣在于哲學(xué)和邏輯，而不在于實(shí)驗(yàn)科學(xué)。驗(yàn)科學(xué)。吉爾伯特博士（英國(guó)女王的醫(yī)生）第一個(gè)對(duì)電的吸引作用吉爾伯特博士（英國(guó)女王的醫(yī)生）第一個(gè)對(duì)電的吸引作用進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，在進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，在1600年就陳述了玻璃、硫磺、琥珀和年就陳述了玻璃、硫磺、琥珀和其他一些材料其他一些材料“不僅吸引稻草和谷殼，而且吸引所有的金不僅吸引稻草和谷殼，而且吸引所有的金屬、木材、樹(shù)葉、石頭、泥土，甚至水和油屬、木材、樹(shù)葉、石頭、泥土，甚至水和油”。其后不久，法國(guó)物理學(xué)家查利其后不久，法國(guó)物理學(xué)家查利奧古斯丁奧古斯丁庫(kù)侖庫(kù)侖 ，利用他自，利用他自己發(fā)明的精巧的扭秤完成了一系列精細(xì)實(shí)驗(yàn)，定量測(cè)出了己發(fā)明的精

4、巧的扭秤完成了一系列精細(xì)實(shí)驗(yàn)，定量測(cè)出了兩個(gè)帶靜電荷物體之間的作用力。兩個(gè)帶靜電荷物體之間的作用力。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)圖 2 1 庫(kù)侖定律用圖 230044q qq qRRRFR適用條件：點(diǎn)電荷之間的作用力靠什么來(lái)傳遞？思考兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間的相互作用力;真空中的介電常數(shù)120108.85129018.854 1010/36F m庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)點(diǎn)電荷:是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。 電荷體密度: 若體積元V中的電量為q，則電荷體密度為 dVdqVqV0lim2 .電荷密度：電荷密度：(C/m3)dSdq

5、SqV0lim電荷面密度:若面積元S內(nèi)的電量為q，則面密度為電荷線密度:若線元l內(nèi)的電量為q，則線密度為：dldqlqV0lim第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.1.2 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 由庫(kù)侖定律：()qFErr310()4niiiiq Err r - - r rr r - - r r3300( )44qqRRE rr r - - r rr r - - r r030230(444)qRq qq qqRRRRRF得：n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 ( 矢量疊加原理 )r、r 分別表示源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 301()

6、()( )4VdVrr - rErr - r同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 30()()1( )4SSdSrErr r - - r rr r - - r r30()()1( )4lldlrE rr r - - r rr r - - r r310()4niiiiq Err r - - r rr r - - r riqrd Vn 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的進(jìn)一步討論對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的進(jìn)一步討論：1、當(dāng)空間中電場(chǎng)強(qiáng)度處處相同時(shí)，稱為均勻電場(chǎng)。2、電場(chǎng)強(qiáng)度大小等于單位點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力，它只與產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷有關(guān)，而與受力電荷電量無(wú)關(guān)。3、對(duì)靜電場(chǎng)和時(shí)變電場(chǎng)上式均適用。第二章第二章 靜電

7、場(chǎng)靜電場(chǎng)例例 2 - 1 一個(gè)半徑為 a 的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：解： 取坐標(biāo)系如圖 2 - 2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為l ，圓環(huán)的半徑為a圖圖 2 -2 例 2 - 1 用圖 rRrax第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)221/ 2cossin()zxyzaazadladrereer r - - r r得： 30()()1()4lld l rErr r - - r rr r - - r r由線電荷場(chǎng)強(qiáng)：2223 / 200223 / 20(cossin)( )4()2()zxyllzzaaE radazazazeeee第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2

8、.2 2.2 高斯定理高斯定理 圖 2 3 立體角 1、立體角：、立體角：由過(guò)一點(diǎn)的射線繞過(guò)該點(diǎn)的某軸旋轉(zhuǎn)一周所掃出的錐面限定的空間： 32cos()dSddRr r - - r rr r - - r rS曲面S對(duì)o點(diǎn)所張立體角： 3) (rrdSrrS若S是封閉曲面， 則： 34()0SrSrrdSrSrr 在 內(nèi)在 外第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 2、高斯定理：、高斯定理：描述通過(guò)一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。30044SSSqdqdd ESSr r - - r rr r - - r r 若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分

9、布電荷，由疊加原理得出高斯定理為 SQdSE0(2 - 15)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過(guò)任意閉曲面S的通量：32cos()dSddRr r - - r rr r - - r rS3300( )44qqRRE rr r - - r rr r - - r r第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)3、高斯定理的微分形式：、高斯定理的微分形式： 設(shè)閉合面內(nèi)的電荷是密度為的體分布電荷，則式(2 - 15)可以寫(xiě)為 dVdSESV0101VVdV =dV E由于體積V是任意的， 所以有 0 E由散度定理： SVddASA V 得： 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 2 - 2 假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為0的電荷，試

10、求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：解： 當(dāng)ra時(shí)， 3002344arEr故故 3020()3raErarrErdVdSESV01高斯定理：高斯定理：301()()( )4VdVrr - rErr - r第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)當(dāng)當(dāng)ra) (r0 的結(jié)論。的結(jié)論。 對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)，對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)， 電位為電位為 22 1/20( )()2Szazz2200( ) ()2aSzz2220( ) ()2Szazz第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)例例 2 - 5 求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。 解：解： 00203033rEraErr(ra) (ra時(shí)，時(shí)， radrradrErr

11、r030203033220023arrrarE drE dra當(dāng)當(dāng)ra 時(shí)，時(shí)， 例例22的結(jié)論的結(jié)論()PPEdl第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 2-6 若半徑為若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為的導(dǎo)體球面的電位為U0, 球外無(wú)電荷，求空球外無(wú)電荷，求空間的電位。間的電位。020122drdrdrdr12Cdrdr即即 21rCdrd22222222111sinsinsinrrrrrr 解：解： 0 E第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)再對(duì)其積分一次，再對(duì)其積分一次， 得得 21CrC 在導(dǎo)體球面上，電位為在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將，無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、 r=代入上式

12、，得代入上式，得 210CaCU0,201CaUC這樣解出兩個(gè)常數(shù)為這樣解出兩個(gè)常數(shù)為 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)所以所以 raUr0)(總之，總之， 真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為 00EE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.4 2.4 電偶極子電偶極子 圖圖 2 -5 電偶極子電偶極子 1、定義：指由間距很小的兩個(gè)、定義：指由間距很小的兩個(gè)等量等量異種點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)。異種點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)。2、電偶極矩：、電偶極矩：qpl3、電偶極子在空間任意點(diǎn)、電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為：的電位為：210120121144rrqqrrr r當(dāng)當(dāng)l r時(shí)：時(shí)： 表示電偶極子的大小和

13、空間取向，它定義表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷為電荷q乘以有向距離乘以有向距離 ， 即：即：l0( )4qrrr- -第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)12222212cos2cos2cos4lrrlrrlr rrr210124rrqr r 20cos4qlr從而有從而有或或304r rpqplc o s2l第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度球坐標(biāo)中的表示式為：電場(chǎng)強(qiáng)度球坐標(biāo)中的表示式為： 30(2 cossin)4rprEee圖 2 6：電偶極子的等位線和電力線11sinrrrreee20cos4qlr E第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)作 業(yè)2-1 2-2* 2-3 2-4 2-5第二章第二

14、章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.5 2.5 電介質(zhì)中的場(chǎng)方程電介質(zhì)中的場(chǎng)方程2.5.1 介質(zhì)的極化介質(zhì)的極化 極性分子極性分子非極性分子非極性分子正負(fù)電荷的中心重合。如：氫氣正負(fù)電荷的中心重合。如：氫氣(H2)、氮?dú)?、氮?dú)?N2)正負(fù)電荷的中心不重合。如水分子正負(fù)電荷的中心不重合。如水分子(H2O)宏觀電矩為宏觀電矩為01. 介質(zhì)的極化特性第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)極性分子的極化：取向極化無(wú)外加電場(chǎng)加外加電場(chǎng)外加電場(chǎng)增強(qiáng)EE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)電介質(zhì)在外電場(chǎng)作用下發(fā)生極化，形成有向排列；極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 (polarized charge)； 無(wú)極性分

15、子的極化：位移極化無(wú)外加電場(chǎng)加外加電場(chǎng)外加電場(chǎng)增強(qiáng)EE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)0limVVpP（極化強(qiáng)度的單位是（極化強(qiáng)度的單位是C/m2。）。） 2. . 極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度P P ( polarization intensity )：表示電介質(zhì)的極化表示電介質(zhì)的極化 程度，即：程度，即：物理意義：等于單位體積內(nèi)電偶極矩矢量和。物理意義：等于單位體積內(nèi)電偶極矩矢量和。 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.5.2 極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位 圖圖 2 -7 極化介質(zhì)的電位極化介質(zhì)的電位 304R pR單個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：體積 V 內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位：30()()4rVrrrrPr-

16、- -0limVVpP304r pr第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分：整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分： 031()( )(4)VPdVrrrrrr- - -對(duì)上式進(jìn)行變換，利用對(duì)上式進(jìn)行變換，利用 31rrrrrr- - - -此處運(yùn)算是針此處運(yùn)算是針對(duì)介質(zhì)區(qū)域?qū)橘|(zhì)區(qū)域變換為變換為 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)00001( )14|41( )1( )4|( )|4|VVSVPdVdVPPdSdPV （ ）rrrrrnrrrr| rrrr- - - - -01()1()4VdPV rrrr- -再利用矢量恒等式：再利用矢量恒等式： )(uu AA1,( ),u A

17、P rrr- -令 散度散度定律定律代入 面電荷密度的電位面電荷密度的電位體電荷密度的電位體電荷密度的電位得：uA01()4()Vd V rrrr- -第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)( )( )P rP r定義：定義： 極化電荷面密度：極化電荷面密度： ()S PPrn極化電荷體密度：極化電荷體密度： 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例2-7 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是 ， 求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。 解：取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。解：取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。 極化電荷體密度為：極化電荷體密度

18、為： ( )( )0prP r 極化電荷面密度為：極化電荷面密度為： 00cosspzrP nPe eP ze0P( )( )P rP r()S PPrn第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)分布電荷對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩由下式計(jì)算：分布電荷對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩由下式計(jì)算： Sprdq積分區(qū)域積分區(qū)域D是電荷分布的區(qū)域。是電荷分布的區(qū)域。 因此因此 SPSprdS2(sincossin sincos )sinxyzra eeedSad d 如果是對(duì)如果是對(duì)2r求電矩，則求電矩，則只需對(duì)半球面求積分只需對(duì)半球面求積分第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2(sincossin sincos )sinxyzra eeedSad d

19、 3043zapeP2320002300cossin2coscoszzpPa eddea Pd 積分為積分為000cosspzrP n Pe eP 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 2.5.3 介質(zhì)中的場(chǎng)方程介質(zhì)中的場(chǎng)方程 1、真空中高斯定理：、真空中高斯定理： 2、介質(zhì)中的高斯定律：、介質(zhì)中的高斯定律：01()P E00()P EPE自由電荷密度自由電荷密度自由體電荷密度自由體電荷密度極化體電荷密度極化體電荷密度定義定義0DEP 電位移矢量電位移矢量 （displacement vector）0 E將將 代入，得代入，得 PP 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)D 介質(zhì)中靜電場(chǎng)的方程歸納如下：介質(zhì)中靜電場(chǎng)

20、的方程歸納如下： 所以：所以：D（高斯定律的微分形式）（高斯定律的微分形式）取體積分：取體積分：ddVVVVD有：有：SqSD d（高斯定律的積分形式）（高斯定律的積分形式）SdqDS0 E0ldEl微分式：微分式：積分式：積分式：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中e 0PE 電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率e 各向同性各向同性媒質(zhì)：媒質(zhì)： 媒質(zhì)特性不隨電場(chǎng)的方向改變媒質(zhì)特性不隨電場(chǎng)的方向改變, ,反之，反之，稱為各向異性稱為各向異性媒質(zhì)媒質(zhì)； 線性線性媒質(zhì)：媒質(zhì)： 媒質(zhì)參數(shù)不隨電場(chǎng)的強(qiáng)度而變化，反之，媒質(zhì)參數(shù)不隨電場(chǎng)的

21、強(qiáng)度而變化，反之，稱為非線性稱為非線性媒質(zhì)媒質(zhì)； 均勻均勻媒質(zhì)：媒質(zhì)： 媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)而變化，反之，媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)而變化，反之，稱為非均勻稱為非均勻媒質(zhì)媒質(zhì)。2.5.4 介電常數(shù)介電常數(shù) 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2()()() DEEEE在均勻、各向同性、線性介質(zhì)在均勻、各向同性、線性介質(zhì)(為常數(shù)為常數(shù))中：中：在各向同性介質(zhì)中 介電常數(shù) （F/m）r0其中 相對(duì)介電常數(shù)，無(wú)量綱量。er1000001eer DEPEEEEE構(gòu)成方程介介質(zhì)質(zhì)中中的的泊泊松松方方程程e 0PE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 2 - 8 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為a的的導(dǎo)體球?qū)w球，帶電量為，帶電量為Q，

22、在導(dǎo)體球外套，在導(dǎo)體球外套有外半徑為有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，的同心介質(zhì)球殼， 殼外是空氣，如圖殼外是空氣，如圖 2 - 8 所示。所示。求空間任一點(diǎn)的求空間任一點(diǎn)的D、 E、 P以及束縛電荷密度。以及束縛電荷密度。圖圖 2 -8 例例 2 - 8 用圖用圖 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 解：解： 由于對(duì)稱性，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理由于對(duì)稱性，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理24rQDer(ra) 介質(zhì)內(nèi)介質(zhì)內(nèi)(arb)： 20021414rrrrrrQEDerEQPDEDer 0DEPSqSDd24DrQ第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)200140rQEDerP介質(zhì)外介質(zhì)外(br)：介質(zhì)內(nèi)表面介質(zhì)內(nèi)表面(r=a

23、)的束縛電荷面密度：的束縛電荷面密度： 214rSPrrQP nP ea 介質(zhì)外表面介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：的束縛電荷面密度： 214rSPrrQP nP eb第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.6 2.6 靜電場(chǎng)的邊界條件靜電場(chǎng)的邊界條件 圖 2 -9 法向邊界條件 包圍點(diǎn) P 作高斯面 ( )。0L1. D 的邊界條件21sSSSDnDn則有dSqDS根據(jù)2n1nsDD（D 的法向分量不連續(xù)）當(dāng) 時(shí)， （D 的法向分量連續(xù)）0s2n1n0DD即：21()snDD注：s 為分界面上的自由電荷面密度，不包括極化電荷。結(jié)論1：若邊界面上不存在自由電荷，則D D 法向連續(xù)。12sPn第二章

24、第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2. E E 的邊界條件d0lEl根據(jù)設(shè)n、l0、S0分別為介質(zhì)面、矩形回路、矩形面積的方向矢量：00lSn11220 得:ElEl0021, ll 因?yàn)閘lll21()0 上式變?yōu)?EEl圖 2 - 10 切向邊界條件 1E2Eln0l0S211tE2tE1l2l210h 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)21()0n EE()()由矢量恒等式:可得CCABBA201()0SnEE210()0EEnSttEE12(E E 的切向分量連續(xù))結(jié)論結(jié)論2 2：在兩種媒質(zhì)分界面上，：在兩種媒質(zhì)分界面上，E E 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)1200limd0d

25、dEl3、 的邊界條件設(shè) P1 與 P2 位于分界面兩側(cè)， 0dnEDnED22n22n211n11n1,21因此（電位連續(xù)）1212snn得（）由 ，其中2n1nsDD第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)4. 折射定理當(dāng)交界面上 時(shí)，0s1122tantan（折射定律）（折射定律） n2n1DD 1 11222coscosEEt 2t 1EE 1122sinsinEE1E2Eln0l0S211tE2tE1l2l21結(jié)論：從上式可知，在分界面兩側(cè)電場(chǎng)矢量方向?qū)l(fā)生改變，結(jié)論：從上式可知，在分界面兩側(cè)電場(chǎng)矢量方向?qū)l(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)。改變量與媒質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)

26、5. 金屬表面邊界條件I 分界面邊界條件：2n1n1t2t sDDEE，211221 snn，const n sD導(dǎo)體中 E0 ，分界面介質(zhì)側(cè)：結(jié)論： （1）導(dǎo)體表面是等位面，E 線與導(dǎo)體表面垂直。 （2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的 D 等于該點(diǎn)的s。t 0E 0 sn第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)II.金屬表面的電場(chǎng)強(qiáng)度：設(shè)金屬表面的電荷密度為s ，過(guò)P點(diǎn)作高斯面( l 0) ，由高斯定律12sP金屬介質(zhì)0SQEdS得：11220coscosssEsEs對(duì)金屬有：E E1=0；2= 0所以：220;0sntEE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 2-9 同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為

27、a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為1，下半部分的，下半部分的介電常數(shù)為介電常數(shù)為2，如圖，如圖 2 - 11 所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為q和和-q， 求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。 圖圖 2 -11 例例 2 - 9 用圖用圖 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)解：解： 12rEEEe在半徑為在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有的球面上作電位移矢量的面積分，有 2221122122121121222212222 ()2 ()2 ()2 ()rrr

28、Er Er EqqErqDerqDer ttEE12第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.7 2.7 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 2.7.0 電容電容UQC 1、孤立導(dǎo)體的電容：、孤立導(dǎo)體的電容：孤立導(dǎo)體電容的定義：孤立導(dǎo)體所帶電荷與其電位之比。即關(guān)于孤立導(dǎo)體電容的說(shuō)明： 空氣中半徑為a的孤立帶電導(dǎo)體球的電容:00()44QQaCaa第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)電容的計(jì)算思路： d lQQUCUEEl 電容C只與導(dǎo)體的幾何尺寸和周圍介質(zhì)有關(guān)、與q和無(wú)關(guān)。 2、兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷導(dǎo)體的電容：、兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷導(dǎo)體的電容：兩個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成電容器，若導(dǎo)體間電位分別是1、2,帶電量分別為Q和-Q，則定義電容器電

29、容為：12 QC第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)關(guān)于電容器電容的說(shuō)明： 電容C只與導(dǎo)體的幾何尺寸、導(dǎo)體間距離和周圍介質(zhì)有關(guān)。平行板電容器：0012 sssSSQSCdddE220;0sntEE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)解： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q ，則SdqDS220,44rrqqrrDeEe011d()4baqUabEr同心球殼間的電壓ababUqC04球形電容器的電容當(dāng) 時(shí)baC04（孤立導(dǎo)體球的電容） 例:試求同心球殼電容器的電容。 d lQQUCUEEl第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.7.2 部分電容部分電容 若電容器由多個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成，則導(dǎo)體之間、導(dǎo)體與地之間均存在電容。 1、單個(gè)導(dǎo)體上的電量：q

30、 = C。 2、兩個(gè)導(dǎo)體存在，且考慮大地的影響時(shí)，相當(dāng)于三個(gè)導(dǎo)體的情況，其中一個(gè)導(dǎo)體上的電量為：q1 = C11 1C12（1 - 2 ）C11C22其中C12為導(dǎo)體1、2間的電容，C11為導(dǎo)體與大地間的電容。q2 = C21（2 1 ）+C22 2同理同理第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)C11C22C33nnnnnnnnnnnnCCCqCCCqCCCq)()()()()()(221122222122121121121111 3、N個(gè)導(dǎo)體存在，導(dǎo)體i上的電量與它和其它導(dǎo)體之間的電位差（包括大地）有關(guān)，即：關(guān)于電容的說(shuō)明：Cii：導(dǎo)體與地之間的電容，稱導(dǎo)體自電容自電容。Cij：導(dǎo)體之間的電容，稱導(dǎo)體互

31、電容互電容。 Cij = Cji 。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 : 半徑為a和b （a b）的導(dǎo)體球殼，其間介質(zhì)為空氣，且外球離地甚遠(yuǎn)；求部分電容、內(nèi)球?qū)Υ蟮氐碾娙菁皟汕驓ぶg的工作電容。 解解 : 兩導(dǎo)體球殼與大地之間的部分電容可用方程組表示：111101212221212220qC UC UqC UC U設(shè)q1=0，q2=1庫(kù)侖，則r b的場(chǎng)可近似為球?qū)ΨQ，則外殼對(duì)大地的電位：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)22201000144qUUbb代入部分電容方程組有：111202212201004104CCbqCCb再假設(shè)q1=1C，q2=0，則：11022000121221011;444UUa

32、bbaUUab 解之得：112200;4CCb第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)1200210001104410444baCaababCbabb代入部分電容方程組有：解之得：01221124;abCCCba 故此三導(dǎo)體的電容：011122122040;4abCCCCbba 內(nèi)球殼對(duì)大地的電容：122211012224CCCaCC 兩球殼間工作電容：011221211224abCCCCCba第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 2 - 12 一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a， 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b, 內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，arr0的介電常數(shù)為1，r0rb的介電常數(shù)為2， 如圖 2 - 14 所示， 求單位長(zhǎng)

33、度的電容。 圖 2 -14 例 2 - 12 用圖 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 解：解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電分別為l、-l，內(nèi)、外導(dǎo)體間的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位移為 reDlr2各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為reElr112)(0rrareElr222)(0brr d lQQUCUEEl第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為 arnrbndrEdrEdrEUlbrraba0102211111200因此，單位長(zhǎng)度的電容為 brnrbnUCl010211112 d lQQUCUEEl第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.8 2.8 電場(chǎng)能量與能量密度電場(chǎng)能量與能量密度 2.

34、8.1 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 120122224RqqqW)(423231103333RqRqqqWq3 從 移到 c點(diǎn)，所需能量q2 從 移到 b 點(diǎn)，需克服 q1 的電場(chǎng)力做功：q1 從 移到 a 點(diǎn)不受力，所需能量 W1=0：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)總能量12311232323112301()4q qRq qRq qWWWWR323101331323211212223111 ()()()2 4qqqqRRqqqRqRRqRiiiqqqq3133221121)(21推廣 1： 若有 n 個(gè)點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，靜電能量為iniiqW121單位：J（焦耳）第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)推廣 2 ： 若是連

35、續(xù)分布的電荷：d( )d, ( )d , ( )dSlqVSlrrr1()()d2lVWlrr線分布電荷的電場(chǎng)能量：1()()d2SVWSrr面分布電荷的電場(chǎng)能量：1()()d2VWVrr體分布電荷的電場(chǎng)能量：CqCUqUWe2212122帶電量+q，電壓U的電容器儲(chǔ)存的場(chǎng)能量：iniiqW121第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2.8.2 能量密度能量密度 圖 2 -15 能量密度 設(shè)體電荷分布在S和S限定的區(qū)域內(nèi)，面電荷分布在導(dǎo)體表面S上，則該系統(tǒng)的能量為：SSVedSdVW21211212eSVWd Sd V DnD利用矢量恒等式 ()() DDDDED將 和 代入上式，有： sD nD第二章第

36、二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)則： 111()2221122111222VVVSSVSSVdVdVdVdSdVdSdSdVDDE DDE DD nD nE D1122eVSWd Vd SEDDn并且注意在導(dǎo)體表面S上n = - n，得 散度定律因 當(dāng) 時(shí)，上式中第二項(xiàng)面積分為零，故：31 ,DRr2,sR第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)12eVWdVED12ewED對(duì)于各向同性介質(zhì)： 212ewE 能量密度（J/m3）： 系統(tǒng)的能量（J）：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例2-13 若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場(chǎng)能量。 解：解： 用高斯定理可以得到電場(chǎng)為 302044rrqrEeaqEer(ra) 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)所以所以 202222034002012114424320eVaaWE dVqrr drr drarqa320044rrqrqEeEear第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例2-14 若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的電位為零)時(shí)，求單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量。 解：解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓為U時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為l， 則導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ()2lrEearbr兩導(dǎo)體間的電壓為 122bbllaabUE drdrnra12eVWd V